陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期开学收心检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期开学收心检测数学试卷（解析版），共13页。
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由纯虚数的概念列出等式即可求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以解得
故选：B
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，即可由交集定义求解.
【详解】由得，故，
故选：C
3. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ）
A. 150B. 110C. 70D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可.
【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为.
故选：D.
4. 已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两边平方求得,再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】根据题意得,得,
所以,所以.
故选：C
5. 已知，是两个不同的平面，“存在直线，，”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据面面平行的判定与性质判段其充分性和必要性即可.
【详解】当，是两个不同的平面，
对于其充分性：，可以推出；
对于其必要性：可以推出存在直线，，，
故其为充分必要条件，
故选：C.
6. 我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）的变化用指数模型描述，假定该药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.
【详解】由题意，则小时.
故选：D
7. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.
【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，
易知为正四棱台的高，

因为，
所以由勾股定理得，
又，
则在等腰梯形中，，
所以，
所以所求体积为
.
故选：.
8. 已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先根据余弦型函数性质求出在上的取值范围及相应单调性情况，再结合与有两个交点，从而可求解.
【详解】由题意知当时，，所以，
当时，fx单调递增，此时，
当时，fx单调递减，此时，
所以要使有两个不同实数根，
等价于函数与在及上各有一个交点，所以，
所以的取值范围为，故B正确.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.
【详解】选项A：为奇函数不是增函数，选项B：，为奇函数和增函数，
选项C：为奇函数和增函数，选项D：不是奇函数.
故选：BC.
10. 若复数，则（ ）
A. 的共轭复数B.
C. 复数的实部与虚部相等D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ABD
【解析】
分析】先化简，再计算即可；
【详解】
选项A：，故正确；
选项B：，故正确；
选项C：，实部为，虚部为，故错误；
选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确；
故选:ABD
11. 在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（ ）
A. 平面
B. 异面直线与所成的最大角为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理求解选项A，利用异面直线的定义得到直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角求解选项B，分析可知三棱锥的体积为正方体棱长，即可判断C，转化为求正方体外接球半径即可判断D.
【详解】选项A：连结，因为在正方体中，，
所以又易知四边形为矩形，所以所以，
又因为平面，平面，所以平面，故选项A正确.
选项B：又，因此，
因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，
当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，故选项B错误.
选项C：观察可知，三棱锥的体积为，
故三棱锥的体积为定值，故选项C正确.
选项D：由正方体的性质可知，当四棱锥的体积最大时，与重合，
此时四棱锥的外接球为正方体的外接球，表面积为，故选项D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得，根据诱导公式结合齐次化问题运算求解.
【详解】因为角终边经过点，则，
所以.
故答案为：.
13. 盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】记1个黑球为，2个白球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，
则可能结果有，共6种情况，
其中恰好摸出一个白球一个黑球的有，共4种情况，
所以恰好摸出一个白球一个黑球概率.
故答案为：.
14. 已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用平面向量的坐标运算求出，，再利用向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为向量，，，所以，.
因为，共线，所以，解得，或.
又，反向共线，代入验证可知时为同向，舍去.
而满足条件，所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）
15. 已知角，且．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）利用两角差的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
，且．
，
．
【小问2详解】
因为，，
所以.
16. 如图，在中，，点是的中点，设，

（1）用表示；
（2）如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
【答案】（1），
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；
（2）因为，化简，即可得到结论.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为是的中点，
可得
【小问2详解】
解：.
因为，
则
以，所以.
17. 已知函数仅满足下列四个条件中的三个：
①的最小正周期为；②的最大值为2；③；④．
（1）请找出函数满足的三个条件，并说明理由；
（2）求函数的解析式．
【答案】（1）满足条件①②④，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）发现条件③与题干矛盾，进而选出正确条件即可.
（2）利用三角函数的性质求解解析式即可.
【小问1详解】
若函数满足条件③，则，
这与矛盾，故不能满足条件③，
函数只能满足条件①②④，
【小问2详解】
由条件①，得，故，由条件②，得，
由条件④，得，
又，
函数的解析式为．
18. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为2，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.
【小问1详解】
由已知及正弦定理可得，
整理得，
，
．
【小问2详解】
外接圆的半径为2，
，得，
又，
当且仅当时，等号成立，
，
即面积的最大值为．
19. 如图，在四棱锥中，，，平面，分别为中点．
（1）求证：平面平面；
（2）设，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件得，根据线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理可证平面，又，进而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，连接，取的中点，连接，易证，再利用线面垂直的判定定理和性质定理证明，从而确定是二面角的平面角，再根据题中条件求其大小即可.
【小问1详解】
平面，平面，
，
，
，
又，平面，
平面，
分别为的中点，
，
平面，
又平面，
平面平面．
【小问2详解】
取的中点，连接，取的中点，连接，
由，平面，可得平面，
又平面，，，
又，，可得，
又,平面，
平面，又平面，故，
是二面角的平面角，
在中，，可得，
在中，，可得，
在中，，
可得，故，
则二面角的大小为.