内蒙古包头市第六中学等多校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版）

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这是一份内蒙古包头市第六中学等多校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版），共4页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列的前n项和为，若，，则=（）
A. B. C. D. 7
3. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 香农一维纳指数（H）是在生物学中衡量群落中的生物多样性的一个指标，其计算公式为，其中n为群落中物种总数，为第i个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为N，在引入数量为M的一个新物种后，指数（）
A.
B.
C.
D.
5. 若是偶函数，则a的值为（）
A. B. C. 0D. 1
6. 已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（）
A. B. C. D.
7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（）
A. B. C. 0D. 1
8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（）
A. B. C. eD. 2e
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的前n项和为，，且，则（）
A. B.
C. 当时，取最小值D. 当时，n的最大值为10
11. 已知函数，则（）
A. 曲线关于点成中心对称
B. ，无极值
C. 若在上单调递增，则
D. 若曲线与x轴分别交于点，，，且在这三个点处切线斜率分别为，，，则为定值
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设，，，则的最小值为______
13. 写出一个同时满足下列三个条件的数列的通项公式：______
①；②数列是递减数列；③数列的前n项和恒成立．
14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）若曲线过点，求解集；
（2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围．
16 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围．
17. 已知正项数列前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
18. 设函数，
（1）证明：有两个零点；
（2）记是的导数，为的两个零点，证明：．
19. 设，x是不超过x的最大整数，当时，x的位数记为，例如：，．
（1）求；（注）
（2）当时，记由曲线y=fx，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求数列an的前n项和；
（3）当，时，证明：．