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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第10章分式(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)
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第10章分式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·七年级期中）2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（ ）A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm2．（2022·上海·七年级开学考试）下列变形不正确的是( )A． B．C． D．3．（2022·上海·七年级开学考试）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．一切实数4．（2022·上海·七年级单元测试）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）A． B．C． D．5．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期末）下列各数中，是负数的是（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·七年级单元测试）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．8．（2022·上海·七年级期末）计算：____．9．（2022·上海浦东新·七年级期末）新型冠状病毒外包膜直径最大约140纳米（1纳米毫米）．用科学记数法表示其最大直径为_____毫米．10．（2022·上海浦东新·七年级期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式_______11．（2022·上海·七年级期末）已知，则__________．12．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式________．13．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为0，则的值为______．14．（2022·上海·七年级期末）计算： ＝_____．15．（2022·上海·七年级单元测试）方程的最简公分母是_____________________．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）（ ）-1+（π-3.14）0=___ ．17．（2022·上海·七年级单元测试）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是_____．18．（2022·上海·七年级专题练习）计算：________．19．（2022·上海·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．三、解答题20．（2022·上海浦东新·七年级期末）解方程：．21．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：（计算结果不含负指数）22．（2022·上海浦东新·七年级期末）化简：．23．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足不等式的最小整数．24．（2022·上海浦东新·七年级期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格．【常考】1．（2020秋•浦东新区期末）如果x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（ ）A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变2．（2020秋•虹口区期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．不变3．（2020秋•宝山区期末）已知＝3，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．4．（2020秋•虹口区期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0二．填空题（共4小题）5．（2020秋•浦东新区期末）当x 时，分式有意义．6．（2020秋•浦东新区期末）计算：＝ ．7．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ．8．（2020秋•宝山区期末）如果分式的值为零，那么x＝ ．三．解答题（共2小题）9．（2020秋•松江区期末）解方程：＝+1．10．（2020秋•嘉定区期末）先化简，再求值：﹣（x2﹣y2+），其中x＝，y＝3．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•浦东新区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A． B． C． D．2．（2020秋•松江区期末）下列各式中，正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2020秋•浦东新区期末）下列变形不正确的是（ ）A． B． C． D．4．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共2小题）5．（2021秋•浦东新区校级期中）当x 时，代数式有意义．6．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·七年级专题练习）当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 A．1 B． C．1009 D．02．（2021·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4二、填空题3．（2021·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+=__________．4．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．5．（2021·上海·七年级专题练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.6．（2021·上海·七年级专题练习）计算：________________.三、解答题7．（2021·上海·七年级专题练习）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)(2)已知．①若，求对称式的值②若，求对称式的最大值8．（2021·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍．（1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？9．（2021·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．① ② ③ ④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．10．（2021·上海·七年级专题练习）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.【分数运算】怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.11．（2022·上海·七年级单元测试）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？12．（2021·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1?13．（2021·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．14．（2021·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 第10章分式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·七年级期中）2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（ ）A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：150纳米＝150×10﹣7cm＝1.5×10﹣5cm，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，熟知科学记数法表示数的特征是解决本题的关键.2．（2022·上海·七年级开学考试）下列变形不正确的是( )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：A. ，此选项正确；B. ，此选项正确；C. ，故此选项错误；D. ，此选项正确．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变．3．（2022·上海·七年级开学考试）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．一切实数【答案】C【分析】根据零指数幂的性质，得x-5≠0，求得x的值即可.【详解】解：∵，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查零指数幂，解题的关键是熟练掌握查零指数幂的性质.4．（2022·上海·七年级单元测试）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．【详解】解：设原计划每天制作x套防护服，可列方程为：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．5．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期末）下列各数中，是负数的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．【详解】是正数，故A选项不符合题意；是正数，故B选项不符合题意；是正数，故C选项不符合题意；是负数，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．6．（2022·上海·七年级单元测试）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个，是整式．故选B．【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．二、填空题7．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】1【分析】根据分式的减法法则计算即可．【详解】解：故答案为：1．【点睛】此题考查的是分式的减法运算，掌握分式的减法法则是解题关键．8．（2022·上海·七年级期末）计算：____．【答案】1【分析】根据零指数幂法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查了零指数幂运算，需熟练掌握零指数幂的运算法则．9．（2022·上海浦东新·七年级期末）新型冠状病毒外包膜直径最大约140纳米（1纳米毫米）．用科学记数法表示其最大直径为_____毫米．【答案】【详解】解：因为1纳米毫米毫米，所以140纳米毫米毫米，故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．10．（2022·上海浦东新·七年级期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式_______【答案】【分析】先根据负整数指数幂的定义将分子分母中的负整数指数幂化成正整数指数幂，再计算除法运算即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟记负整数指数幂的定义（任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（为正整数））是解题关键．11．（2022·上海·七年级期末）已知，则__________．【答案】【分析】设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案．【详解】解：设，则，，；解得，进而可得，，代入分式可得，故答案为：．【点睛】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．12．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式________．【答案】【分析】先分母提取公因式b，再进行约分即可．【详解】解：原式 故答案为：．【点睛】本题主要考查分式的约分．根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．13．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为0，则的值为______．【答案】-2【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：且或2，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．14．（2022·上海·七年级期末）计算： ＝_____．【答案】2【分析】根据分式的性质，先将异分母化成同分母，再相加计算即可.【详解】解：原式＝＝2，故答案为2【点睛】考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2022·上海·七年级单元测试）方程的最简公分母是_____________________．【答案】【分析】根据最简公分母的定义进行解答即可．【详解】解：，，∴最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是明确最简公分母的定义，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）（ ）-1+（π-3.14）0=___ ．【答案】3【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．【详解】（ ）-1+（π-3.14）0=2+1，=3．故答案为：3．【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．17．（2022·上海·七年级单元测试）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是_____．【答案】k≠1【分析】先去分母，然后再根据会产生增根的条件确定x的值，然后代入方程确定存在增根时k的取值范围，然后作相反回答即可．【详解】解： 去分母得，2k+x＝2x+4，因为x＝﹣2是分式方程的增根，把x＝﹣2代入整理后的方程得，2k﹣2＝﹣4+4，解得k＝1，所以当k＝1时，方程会产生增根，所以当k≠1时，方程不会产生增根．故答案是：k≠1．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，确定有增根时的x的值是解答本题的关键．18．（2022·上海·七年级专题练习）计算：________．【答案】【分析】先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．19．（2022·上海·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．【答案】【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可．【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程．三、解答题20．（2022·上海浦东新·七年级期末）解方程：．【答案】．【分析】先方程两边同乘以将分式方程化为整式方程，再按照解一元一次方程的步骤即可得．【详解】解：，方程两边同乘以，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，经检验，是原方程的解，所以原方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．需注意的是，解分式方程需进行检验．21．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：（计算结果不含负指数）【答案】【分析】先根据负整数指数幂计算，再将分子分母因式分解，即可求解．【详解】解： ．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，分式混合运算，熟练掌握负整数指数幂，分式混合运算法则是解题的关键．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）化简：．【答案】【分析】有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案．【详解】解：原式；【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．23．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足不等式的最小整数．【答案】，【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后解不等式，求出x的值，代入求值即可．【详解】解：===解不等式，得x＞2∵为满足不等式的最小整数∴x=3当x=3时，原式==．【点睛】此题考查的是分式的化简求值和解不等式，掌握分式的各个运算法则是解题关键．24．（2022·上海浦东新·七年级期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格．【答案】调整后每度电的价格是1.2元．【分析】设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元”建立方程，解分式方程即可得．【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元，由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，当时，，答：调整后每度电的价格是1.2元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．需注意的是，解分式方程需要进行检验．【常考】1．（2020秋•浦东新区期末）如果x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（ ）A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：原式＝＝，故选：A．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．2．（2020秋•虹口区期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．不变【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：＝，则分式的值扩大为原来的3倍．故选：A．【点评】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．3．（2020秋•宝山区期末）已知＝3，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．【分析】由＝3得出＝3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式＝，计算可得．【解答】解：∵＝3，∴＝3，∴x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．4．（2020秋•虹口区期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2x﹣4≠0，即x≠2．故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．二．填空题（共4小题）5．（2020秋•浦东新区期末）当x ≠﹣ 时，分式有意义．【分析】根据分式有意义的条件可得2x+3≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+3≠0，解得：x≠﹣，故答案为：≠﹣．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．6．（2020秋•浦东新区期末）计算：＝ ．【分析】直接通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：＝﹣＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的加减，正确进行通分运算是解题关键．7．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ﹣2 ．【分析】分式的值为零，分子为0，分母不为0．【解答】解：根据题意，得x2﹣4＝0且x2﹣x﹣2≠0，解得，x＝﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8．（2020秋•宝山区期末）如果分式的值为零，那么x＝ ﹣3 ．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：分式的值为零，那么x2﹣9＝0，解得x＝3或﹣3．x﹣3≠0，解得x≠3．∴x的值是﹣3．故答案为﹣3．【点评】分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．三．解答题（共2小题）9．（2020秋•松江区期末）解方程：＝+1．【分析】按解分式方程的一般步骤，求解即可．【解答】解：去分母，得3x＝2x+3x+6，整理，得2x＝﹣6，解，得x＝﹣3．经检验，x＝﹣3是原方程的解．所以原方程的解为x＝﹣3．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．10．（2020秋•嘉定区期末）先化简，再求值：﹣（x2﹣y2+），其中x＝，y＝3．【分析】（a+b）c＝ac+bc，运用分配律可约去各个分式的分母，使计算简便，再把数代入求值．【解答】解：原式＝﹣（x+y）（x﹣y）﹣（2分）＝﹣（x﹣y）﹣（3分）＝﹣（x﹣y）（4分）＝y﹣x（5分）当x＝，y＝3时，原式＝3﹣．（6分）【点评】此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•浦东新区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：A、＝2×，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；B、＝，分式的值保持不变，故此选项符合题意；C、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；D、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．2．（2020秋•松江区期末）下列各式中，正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；B、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；C、＝，原变形正确，故此选项符合题意；D、＝，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．要注意：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．3．（2020秋•浦东新区期末）下列变形不正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝﹣，原变形错误，故此选项符合题意；B、＝，原变形正确，故此选项不符合题意；C、，原变形正确，故此选项不符合题意；D、＝﹣，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．4．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：（A）是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（B）是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（C）是分式方程，故本选项符合题意；（D）不是方程，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．二．填空题（共2小题）5．（2021秋•浦东新区校级期中）当x ≠﹣1且x≠0 时，代数式有意义．【分析】根据分式有意义的条件和负整数指数幂a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1+1≠0，x≠0，∴≠﹣1，x≠0，∴x≠﹣1，x≠0，故答案为：x≠﹣1且x≠0．【点评】本题考查了分式有意义的条件和负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．6．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ﹣2 ．【分析】分式的值为零，分子为0，分母不为0．【解答】解：根据题意，得x2﹣4＝0且x2﹣x﹣2≠0，解得，x＝﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·七年级专题练习）当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 A．1 B． C．1009 D．0【答案】D【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【详解】解：设，将和代入代数式，，∴，则原式=，故选：D．【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为代入代数式后的值．2．（2021·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．【详解】解：==∴=∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．二、填空题3．（2021·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+=__________．【答案】79【分析】先将变形求出，再将原式通分得到将代入求值即可.【详解】∵，∴，∴，=，=，=，=79，故答案为：79.【点睛】此题考查分式的加法计算，分式的通分，正确将将原式变形后代入分式中进行计算是解题的关键.4．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．【答案】【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．【详解】，，，， 故答案为：．【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．5．（2021·上海·七年级专题练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.【答案】且【分析】先对分式方程进行通分，因式分解后得出m与x的关系，由于分式方程的解为正数，且要保证分式方程有意义，故可知x的取值范围，再利用m与x的关系，求出m的取值范围.【详解】等式左边为：等式右边：左边等于右边则有：解，得：，即要满足方程得解为正数，即，且必须保证分式方程有意义，故且，综合解得分式方程的解为且，故且，解得且，即为m的取值范围.【点睛】本题考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必须保证分式有意义（即分母不为0），再根据得到的关系式求出m的取值范围.6．（2021·上海·七年级专题练习）计算：________________.【答案】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵，……∴原式===.【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.三、解答题7．（2021·上海·七年级专题练习）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)(2)已知．①若，求对称式的值②若，求对称式的最大值【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2．【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，（2）已知．则，，①，，利用整式变形可求出的值；②时，即，由可以求出的最大值；【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，故答案为：①③④，（2）①．，，①当，时，即，，，②当时，即，所以当m=0时，有最大值-2，故代数式的最大值为．【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．8．（2021·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍．（1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？【答案】（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元由题意得：，解得：经检验，时，， ∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆∴型货车的数量为：辆设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，由题意得：，解得：，∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解．9．（2021·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．① ② ③ ④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．【详解】解：（1）①；②；③；④；∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；故答案为：②；（2）原式；（3）原式；根据题意得：原式；当原式的值为整数时，应该是2的因数，∴或或或解得：或或或，∵且且且，∴当时，该式的值为整数．【点睛】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．10．（2021·上海·七年级专题练习）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.【分数运算】怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；【详解】解：（1）①；故答案为；②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即. （2）①（）②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原长方形的，即. 【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．11．（2022·上海·七年级单元测试）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？【答案】25天.【分析】根据计划的天数列出相应的分式方程，解方程即可得到答案【详解】设工厂前5天每天加工x个，，得x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，（天）答：规定的时间是25天.【点睛】此题考察分式方程的实际应用，正确理解题意，找到题中的等量关系列方程，注意检验不能缺.12．（2021·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1?【答案】，且.【分析】先给方程两边乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程转化为整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出关于m的不等式，通过解不等式来求m的取值范围．【详解】由原方程得：，整理得：，解得：.∵分式方程的解不小于1，且、，∴，解得：，且.【点睛】本题考查了分式方程的解.可先将m看成常数，解关于x的分式方程，注意分式的分母不能为0.13．（2021·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．【答案】（1），；（2）．【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵，∴，解得：.(2)设分式=将等式的右边通分得：=，由=，得，解得.所以=.14．（2021·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．【答案】（1）小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是．【分析】（1）根据“时间路程速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；（2）根据“时间路程速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；（3）设，从而可得，再根据无关型问题求解即可得．【详解】（1）由题意得：，，（小时），答：走完全程所用的时间为小时；（2）甲走完全程所用的时间为，乙走完全程所用的时间为，因为，所以乙先到；（3）设，则，整理得：，∵分式对一切有意义的值都有相同的值，∴k的值与x的取值无关，∴，即，∴，解得，∴，故a，b应满足的条件是．【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
第10章分式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·七年级期中）2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（ ）A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm2．（2022·上海·七年级开学考试）下列变形不正确的是( )A． B．C． D．3．（2022·上海·七年级开学考试）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．一切实数4．（2022·上海·七年级单元测试）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）A． B．C． D．5．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期末）下列各数中，是负数的是（ ）A． B． C． D．6．（2022·上海·七年级单元测试）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．8．（2022·上海·七年级期末）计算：____．9．（2022·上海浦东新·七年级期末）新型冠状病毒外包膜直径最大约140纳米（1纳米毫米）．用科学记数法表示其最大直径为_____毫米．10．（2022·上海浦东新·七年级期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式_______11．（2022·上海·七年级期末）已知，则__________．12．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式________．13．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为0，则的值为______．14．（2022·上海·七年级期末）计算： ＝_____．15．（2022·上海·七年级单元测试）方程的最简公分母是_____________________．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）（ ）-1+（π-3.14）0=___ ．17．（2022·上海·七年级单元测试）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是_____．18．（2022·上海·七年级专题练习）计算：________．19．（2022·上海·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．三、解答题20．（2022·上海浦东新·七年级期末）解方程：．21．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：（计算结果不含负指数）22．（2022·上海浦东新·七年级期末）化简：．23．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足不等式的最小整数．24．（2022·上海浦东新·七年级期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格．【常考】1．（2020秋•浦东新区期末）如果x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（ ）A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变2．（2020秋•虹口区期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．不变3．（2020秋•宝山区期末）已知＝3，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．4．（2020秋•虹口区期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0二．填空题（共4小题）5．（2020秋•浦东新区期末）当x 时，分式有意义．6．（2020秋•浦东新区期末）计算：＝ ．7．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ．8．（2020秋•宝山区期末）如果分式的值为零，那么x＝ ．三．解答题（共2小题）9．（2020秋•松江区期末）解方程：＝+1．10．（2020秋•嘉定区期末）先化简，再求值：﹣（x2﹣y2+），其中x＝，y＝3．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•浦东新区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A． B． C． D．2．（2020秋•松江区期末）下列各式中，正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2020秋•浦东新区期末）下列变形不正确的是（ ）A． B． C． D．4．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共2小题）5．（2021秋•浦东新区校级期中）当x 时，代数式有意义．6．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·七年级专题练习）当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 A．1 B． C．1009 D．02．（2021·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4二、填空题3．（2021·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+=__________．4．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．5．（2021·上海·七年级专题练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.6．（2021·上海·七年级专题练习）计算：________________.三、解答题7．（2021·上海·七年级专题练习）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)(2)已知．①若，求对称式的值②若，求对称式的最大值8．（2021·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍．（1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？9．（2021·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．① ② ③ ④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．10．（2021·上海·七年级专题练习）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.【分数运算】怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.11．（2022·上海·七年级单元测试）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？12．（2021·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1?13．（2021·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．14．（2021·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 第10章分式（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·七年级期中）2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（ ）A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：150纳米＝150×10﹣7cm＝1.5×10﹣5cm，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，熟知科学记数法表示数的特征是解决本题的关键.2．（2022·上海·七年级开学考试）下列变形不正确的是( )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：A. ，此选项正确；B. ，此选项正确；C. ，故此选项错误；D. ，此选项正确．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变．3．（2022·上海·七年级开学考试）若，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．一切实数【答案】C【分析】根据零指数幂的性质，得x-5≠0，求得x的值即可.【详解】解：∵，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查零指数幂，解题的关键是熟练掌握查零指数幂的性质.4．（2022·上海·七年级单元测试）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．【详解】解：设原计划每天制作x套防护服，可列方程为：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．5．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期末）下列各数中，是负数的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．【详解】是正数，故A选项不符合题意；是正数，故B选项不符合题意；是正数，故C选项不符合题意；是负数，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．6．（2022·上海·七年级单元测试）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个，是整式．故选B．【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．二、填空题7．（2022·上海·七年级期末）计算：________________．【答案】1【分析】根据分式的减法法则计算即可．【详解】解：故答案为：1．【点睛】此题考查的是分式的减法运算，掌握分式的减法法则是解题关键．8．（2022·上海·七年级期末）计算：____．【答案】1【分析】根据零指数幂法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查了零指数幂运算，需熟练掌握零指数幂的运算法则．9．（2022·上海浦东新·七年级期末）新型冠状病毒外包膜直径最大约140纳米（1纳米毫米）．用科学记数法表示其最大直径为_____毫米．【答案】【详解】解：因为1纳米毫米毫米，所以140纳米毫米毫米，故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．10．（2022·上海浦东新·七年级期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式_______【答案】【分析】先根据负整数指数幂的定义将分子分母中的负整数指数幂化成正整数指数幂，再计算除法运算即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟记负整数指数幂的定义（任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（为正整数））是解题关键．11．（2022·上海·七年级期末）已知，则__________．【答案】【分析】设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案．【详解】解：设，则，，；解得，进而可得，，代入分式可得，故答案为：．【点睛】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．12．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式________．【答案】【分析】先分母提取公因式b，再进行约分即可．【详解】解：原式 故答案为：．【点睛】本题主要考查分式的约分．根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．13．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为0，则的值为______．【答案】-2【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：且或2，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．14．（2022·上海·七年级期末）计算： ＝_____．【答案】2【分析】根据分式的性质，先将异分母化成同分母，再相加计算即可.【详解】解：原式＝＝2，故答案为2【点睛】考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2022·上海·七年级单元测试）方程的最简公分母是_____________________．【答案】【分析】根据最简公分母的定义进行解答即可．【详解】解：，，∴最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是明确最简公分母的定义，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）（ ）-1+（π-3.14）0=___ ．【答案】3【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．【详解】（ ）-1+（π-3.14）0=2+1，=3．故答案为：3．【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．17．（2022·上海·七年级单元测试）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是_____．【答案】k≠1【分析】先去分母，然后再根据会产生增根的条件确定x的值，然后代入方程确定存在增根时k的取值范围，然后作相反回答即可．【详解】解： 去分母得，2k+x＝2x+4，因为x＝﹣2是分式方程的增根，把x＝﹣2代入整理后的方程得，2k﹣2＝﹣4+4，解得k＝1，所以当k＝1时，方程会产生增根，所以当k≠1时，方程不会产生增根．故答案是：k≠1．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，确定有增根时的x的值是解答本题的关键．18．（2022·上海·七年级专题练习）计算：________．【答案】【分析】先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．19．（2022·上海·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．【答案】【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可．【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程．三、解答题20．（2022·上海浦东新·七年级期末）解方程：．【答案】．【分析】先方程两边同乘以将分式方程化为整式方程，再按照解一元一次方程的步骤即可得．【详解】解：，方程两边同乘以，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，经检验，是原方程的解，所以原方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．需注意的是，解分式方程需进行检验．21．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：（计算结果不含负指数）【答案】【分析】先根据负整数指数幂计算，再将分子分母因式分解，即可求解．【详解】解： ．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，分式混合运算，熟练掌握负整数指数幂，分式混合运算法则是解题的关键．22．（2022·上海浦东新·七年级期末）化简：．【答案】【分析】有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案．【详解】解：原式；【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．23．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足不等式的最小整数．【答案】，【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后解不等式，求出x的值，代入求值即可．【详解】解：===解不等式，得x＞2∵为满足不等式的最小整数∴x=3当x=3时，原式==．【点睛】此题考查的是分式的化简求值和解不等式，掌握分式的各个运算法则是解题关键．24．（2022·上海浦东新·七年级期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案．为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的1.5倍．已知某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元．求：调整后每度电的价格．【答案】调整后每度电的价格是1.2元．【分析】设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是3600元”建立方程，解分式方程即可得．【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元，由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，当时，，答：调整后每度电的价格是1.2元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．需注意的是，解分式方程需要进行检验．【常考】1．（2020秋•浦东新区期末）如果x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（ ）A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：原式＝＝，故选：A．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．2．（2020秋•虹口区期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．不变【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：＝，则分式的值扩大为原来的3倍．故选：A．【点评】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．3．（2020秋•宝山区期末）已知＝3，则代数式的值是（ ）A． B． C． D．【分析】由＝3得出＝3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式＝，计算可得．【解答】解：∵＝3，∴＝3，∴x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．4．（2020秋•虹口区期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2x﹣4≠0，即x≠2．故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．二．填空题（共4小题）5．（2020秋•浦东新区期末）当x ≠﹣ 时，分式有意义．【分析】根据分式有意义的条件可得2x+3≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+3≠0，解得：x≠﹣，故答案为：≠﹣．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．6．（2020秋•浦东新区期末）计算：＝ ．【分析】直接通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：＝﹣＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的加减，正确进行通分运算是解题关键．7．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ﹣2 ．【分析】分式的值为零，分子为0，分母不为0．【解答】解：根据题意，得x2﹣4＝0且x2﹣x﹣2≠0，解得，x＝﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8．（2020秋•宝山区期末）如果分式的值为零，那么x＝ ﹣3 ．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：分式的值为零，那么x2﹣9＝0，解得x＝3或﹣3．x﹣3≠0，解得x≠3．∴x的值是﹣3．故答案为﹣3．【点评】分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．三．解答题（共2小题）9．（2020秋•松江区期末）解方程：＝+1．【分析】按解分式方程的一般步骤，求解即可．【解答】解：去分母，得3x＝2x+3x+6，整理，得2x＝﹣6，解，得x＝﹣3．经检验，x＝﹣3是原方程的解．所以原方程的解为x＝﹣3．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．10．（2020秋•嘉定区期末）先化简，再求值：﹣（x2﹣y2+），其中x＝，y＝3．【分析】（a+b）c＝ac+bc，运用分配律可约去各个分式的分母，使计算简便，再把数代入求值．【解答】解：原式＝﹣（x+y）（x﹣y）﹣（2分）＝﹣（x﹣y）﹣（3分）＝﹣（x﹣y）（4分）＝y﹣x（5分）当x＝，y＝3时，原式＝3﹣．（6分）【点评】此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•浦东新区期末）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：A、＝2×，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；B、＝，分式的值保持不变，故此选项符合题意；C、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；D、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．2．（2020秋•松江区期末）下列各式中，正确的是（ ）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；B、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；C、＝，原变形正确，故此选项符合题意；D、＝，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．要注意：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．3．（2020秋•浦东新区期末）下列变形不正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝﹣，原变形错误，故此选项符合题意；B、＝，原变形正确，故此选项不符合题意；C、，原变形正确，故此选项不符合题意；D、＝﹣，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．4．（2020秋•徐汇区校级月考）下列各式中属于分式方程的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：（A）是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（B）是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；（C）是分式方程，故本选项符合题意；（D）不是方程，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．二．填空题（共2小题）5．（2021秋•浦东新区校级期中）当x ≠﹣1且x≠0 时，代数式有意义．【分析】根据分式有意义的条件和负整数指数幂a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1+1≠0，x≠0，∴≠﹣1，x≠0，∴x≠﹣1，x≠0，故答案为：x≠﹣1且x≠0．【点评】本题考查了分式有意义的条件和负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．6．（2020秋•上海期末）若分式的值为零，则x的值是 ﹣2 ．【分析】分式的值为零，分子为0，分母不为0．【解答】解：根据题意，得x2﹣4＝0且x2﹣x﹣2≠0，解得，x＝﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【压轴】一、单选题1．（2021·上海·七年级专题练习）当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 A．1 B． C．1009 D．0【答案】D【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【详解】解：设，将和代入代数式，，∴，则原式=，故选：D．【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为代入代数式后的值．2．（2021·上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．【详解】解：==∴=∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．二、填空题3．（2021·上海·七年级专题练习）已知：m2-9m+1=0，则m2+=__________．【答案】79【分析】先将变形求出，再将原式通分得到将代入求值即可.【详解】∵，∴，∴，=，=，=，=79，故答案为：79.【点睛】此题考查分式的加法计算，分式的通分，正确将将原式变形后代入分式中进行计算是解题的关键.4．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．【答案】【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．【详解】，，，， 故答案为：．【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．5．（2021·上海·七年级专题练习）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.【答案】且【分析】先对分式方程进行通分，因式分解后得出m与x的关系，由于分式方程的解为正数，且要保证分式方程有意义，故可知x的取值范围，再利用m与x的关系，求出m的取值范围.【详解】等式左边为：等式右边：左边等于右边则有：解，得：，即要满足方程得解为正数，即，且必须保证分式方程有意义，故且，综合解得分式方程的解为且，故且，解得且，即为m的取值范围.【点睛】本题考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必须保证分式有意义（即分母不为0），再根据得到的关系式求出m的取值范围.6．（2021·上海·七年级专题练习）计算：________________.【答案】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵，……∴原式===.【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.三、解答题7．（2021·上海·七年级专题练习）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)(2)已知．①若，求对称式的值②若，求对称式的最大值【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2．【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，（2）已知．则，，①，，利用整式变形可求出的值；②时，即，由可以求出的最大值；【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，故答案为：①③④，（2）①．，，①当，时，即，，，②当时，即，所以当m=0时，有最大值-2，故代数式的最大值为．【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．8．（2021·上海·七年级专题练习）某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍．（1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？【答案】（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元由题意得：，解得：经检验，时，， ∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆∴型货车的数量为：辆设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，由题意得：，解得：，∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解．9．（2021·上海·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．① ② ③ ④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．【详解】解：（1）①；②；③；④；∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；故答案为：②；（2）原式；（3）原式；根据题意得：原式；当原式的值为整数时，应该是2的因数，∴或或或解得：或或或，∵且且且，∴当时，该式的值为整数．【点睛】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．10．（2021·上海·七年级专题练习）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.【分数运算】怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.（2）①观察下图，填空：____________；②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；【详解】解：（1）①；故答案为；②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即. （2）①（）②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原长方形的，即. 【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．11．（2022·上海·七年级单元测试）某广告公司招标了一批灯箱加空工程，需要在规定时间内加工1400个灯箱，该公司按一定速度加工5天后发现，按此速度加工下去会延期十天完成，于是又抽调了一批工人投入灯箱加工，使工作效率提高了50%，结果如期完成工作，按规定时间是多少天？【答案】25天.【分析】根据计划的天数列出相应的分式方程，解方程即可得到答案【详解】设工厂前5天每天加工x个，，得x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，（天）答：规定的时间是25天.【点睛】此题考察分式方程的实际应用，正确理解题意，找到题中的等量关系列方程，注意检验不能缺.12．（2021·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1?【答案】，且.【分析】先给方程两边乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程转化为整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出关于m的不等式，通过解不等式来求m的取值范围．【详解】由原方程得：，整理得：，解得：.∵分式方程的解不小于1，且、，∴，解得：，且.【点睛】本题考查了分式方程的解.可先将m看成常数，解关于x的分式方程，注意分式的分母不能为0.13．（2021·上海·七年级专题练习）阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．【答案】（1），；（2）．【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵，∴，解得：.(2)设分式=将等式的右边通分得：=，由=，得，解得.所以=.14．（2021·上海·七年级专题练习）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．【答案】（1）小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是．【分析】（1）根据“时间路程速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；（2）根据“时间路程速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；（3）设，从而可得，再根据无关型问题求解即可得．【详解】（1）由题意得：，，（小时），答：走完全程所用的时间为小时；（2）甲走完全程所用的时间为，乙走完全程所用的时间为，因为，所以乙先到；（3）设，则，整理得：，∵分式对一切有意义的值都有相同的值，∴k的值与x的取值无关，∴，即，∴，解得，∴，故a，b应满足的条件是．【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
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