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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第04讲整式乘法(10种题型)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第04讲整式乘法(10种题型)(原卷版+解析)，共61页。
第04讲整式乘法（10种题型）考点考向整式的乘法法则：一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：=．三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．考点精讲题型一：单项式与单项式相乘一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）下列运算不正确的是（ ）．A． B．C． D．3．（2021·上海·七年级期中）下列算式中，计算正确的是（ ）A．3a•4a2＝7a2 B．3a•4a2＝12a2C．3a•4a2＝7a3 D．3a•4a2＝12a3二、解答题4．计算：（1）； （2）；（3）．5．计算：（1）； （2）；（3）（把作为整体看作一个因式的底数）．6．（2022·上海·七年级专题练习）7．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．8．计算：（1）； （2）；（3）．9．计算：（1）； （2）．10．计算：（把作为整体看作一个因式的底数）．题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值1．已知：，求的值．2．先化简，后求值：．题型三：计算单项式乘多项式及求值一、填空题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）（________）（________）．2．（2019·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．3．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）计算 __________________________4．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）计算：2x（x-y）-3y（y-x）=___________.5．（2019·上海市西南模范中学七年级阶段练习）计算：_______.二、解答题6．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．7．先化简，再求值：，其中．8．先化简，后求值：，其中 ．9．已知，求的值．题型四：单项式乘多项式的应用一、填空题1．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级阶段练习）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于________二、解答题2．解关于的方程：．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．4．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）请阅读以下材料：[材料]若，，试比较，的大小．解：设，那么，．因为，所以．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：，．题型五：计算多项式乘多项式一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）己知，，且，则__________2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3），则a＋b＋c＝________．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝________．4．（2022·上海·七年级期末）计算：________．二、解答题5．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．6．（2022·上海·七年级期中）解不等式：7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求题型六：（x+P）（x+P）型多项式乘法一、单选题1．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( )A．p=5，q=6 B．p=1，q=6 C．p=5，q=-6 D．p=1，q=-6二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝____．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）计算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．4．（2021·上海黄浦·七年级期中）计算：（x﹣1）（5＋x）＝___．5．（2021·上海·七年级期末）计算：（x－2y）（x＋5y）＝ ______ ．6．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）A．3 B．﹣3 C． D．﹣2．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;二、填空题3．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）若二项式3x+a与x+2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a的值是 ___．4．（2021·上海·七年级期中）已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为___________．三、解答题5．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？6．（2021·上海·七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．7．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级阶段练习）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相乘在合并同类项后的结果存在缺项的可能．比如x+2和x- 2相乘的结果为 , x的一次项没有了．（1）请计算 与x-2相乘后的结果，并观察x的几次项没有了?（2）请想一下，与x+a相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么a应该是多少呢?8．（2020·上海·文来实验学校七年级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积题型八：多项式乘多项式-化简求值一、解答题1．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）先化简，再求值：，其中3．（2019·上海市闵行区龙茗中学七年级阶段练习）先化简,再求值: ,其中x=1，y=2.4．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值.5．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值其中题型九：多项式乘多项式与图形面积一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x二、填空题2．（2019·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是________张.3．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，一个边长为、的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形，将图中阴影部分的面积表示为=__________；4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．三、解答题5．（2019·上海市玉华中学七年级课时练习）阅读材料并解答问题：七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________；（2）请画一个图形，使它的面积能表示．6．（2019·上海市吴泾中学七年级阶段练习）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路.根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识，（1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积；（2）当米时，计算出绿地的面积.7．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．8．（2021·上海·七年级期中）如图，用一张高为30，宽为的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多.（1）请用的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？9．（2021·上海黄浦·七年级期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 （用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 （用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？10．（2022·上海·七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．题型十：规律问题一、解答题1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定：那么，，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……根据以上规律，写出的展开式：=________2．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值3．（2021·上海·七年级期中）寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）根据上面的等式，你能发现当n个连续的的偶数相加时，它们的和S=2+4+6+8+……+2n= .（2）并按照此规律计算：①2+4+6+……300的值；②162+164+166+……+400的值.4．（2021·上海·七年级期中）阅读下文，回答问题：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.巩固提升一、单选题1．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;2．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与多项式的积中不含一次项，则常数的值为（ ）A． B．C． D．3．（2020·上海复旦二附中七年级月考）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A． B． C． D．二、填空题4．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．5．（2020·上海文来实验学校）计算：=_____________6．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．7．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．8．（2020·上海复旦二附中七年级月考）计算（x-2y)(2y+x)=______；三、解答题9．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．10．（2020·上海市梅陇中学）11．（2020·上海市梅陇中学）12．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：13．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值 第04讲整式乘法（10种题型）考点考向整式的乘法法则：一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：=．三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．考点精讲题型一：单项式与单项式相乘一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项正确，符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）下列运算不正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】A选项：利用单项式相乘的法则即可作出判断；B选项：利用同底数幂乘法计算，再化简即可；C选项：利用同底数幂乘法计算，再化简即可；D选项：利用同底数幂乘法计算即可．【详解】解：A选项：，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：，故C正确；D选项：，故D正确．故选A．【点睛】此题主要考查了整式的计算，对于各种整式的运算法则要求学生应该都比较熟练．3．（2021·上海·七年级期中）下列算式中，计算正确的是（ ）A．3a•4a2＝7a2 B．3a•4a2＝12a2C．3a•4a2＝7a3 D．3a•4a2＝12a3【答案】D【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．【详解】解：3a•4a2＝3×4a•a2＝12a3，A. 选项A3a•4a2＝7a2系数与指数都不对，故不正确； B. 3a•4a2＝12a2指数不对 ，故不正确；C. 3a•4a2＝7a3系数不对，故不正确； D. 3a•4a2＝12a3正确．故选：D．【点睛】本题考查单项式与单项式乘法，掌握单项式乘法法则是解题关键．二、解答题4．计算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．5．计算：（1）； （2）；（3）（把作为整体看作一个因式的底数）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．6．（2022·上海·七年级专题练习）【答案】0【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可求解．【详解】解：原式＝＝＝＝0【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是注意运算顺序，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减与合并同类项．7．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．8．计算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．9．计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式=； （2）原式=．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．10．计算：（把作为整体看作一个因式的底数）．【答案】．【解析】原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值1．已知：，求的值．【答案】5【解析】原式=，由此可得，可解得，【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．2．先化简，后求值：．【答案】化简结果是，代入求值结果是【解析】原式=，代入求值得【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．题型三：计算单项式乘多项式及求值一、填空题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）（________）（________）．【答案】 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此解答即可．【详解】解：．故答案为：；．【点睛】本题考查单项式乘多项式以及去括号法则．掌握相关运算法则是解答本题的关键．2．（2019·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式的法则,将单项式与多项式的每一项相乘,再把各项乘积求和.【详解】,故答案为: .【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则.3．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）计算 __________________________【答案】【分析】利用成分分配律进行计算即可解答.【详解】==【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握计算法则是解题关键.4．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）计算：2x（x-y）-3y（y-x）=___________.【答案】2x2-3y2+yx【分析】先根据单项式乘多项式法则得到，再合并同类项即可得到答案.【详解】2x（x-y）-3y（y-x）=2x2-2xy-3y2+3yx=2x2-3y2+xy.【点睛】本题考查单项式乘多项式、合并同类项，解题的关键是掌握单项式乘多项式、合并同类项.5．（2019·上海市西南模范中学七年级阶段练习）计算：_______.【答案】【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可.【详解】原式==.故答案为.【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加.二、解答题6．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据单项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算：先进行整式的乘方运算，再进行整式的乘除运算，然后进行整式的加减运算；涉及到合并同类项，单项式乘多项式法则等知识点．能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．7．先化简，再求值：，其中．【答案】化简结果是，代入求值结果是．【解析】原式= 将代入计算得：．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．8．先化简，后求值：，其中 ．【答案】化简结果是，代入求值结果是1．【解析】原式 ． 将代入计算得：原式=．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．9．已知，求的值．【答案】174．【解析】原式 ．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．题型四：单项式乘多项式的应用一、填空题1．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级阶段练习）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于________【答案】6x3-8x2【分析】根据长方体的计算公式长×宽×高，列出算式，再进行计算即可．【详解】解：根据题意得：（3x-4）•2x•x=6x3-8x2；故答案为：6x3-8x2．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是根据长方体的体积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的法则进行计算即可．二、解答题2．解关于的方程：．【答案】．【解析】 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．【答案】(1)米；米；米(2)平方米【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．（1）解：盒子的长为：（米）；盒子的宽为：（米）；盒子的高为：a2（米）．故答案为：米；米；米．（2）∵纸片的面积是：（平方米），小正方形的面积是：（平方米），∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．4．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）请阅读以下材料：[材料]若，，试比较，的大小．解：设，那么，．因为，所以．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：，．【答案】【分析】令，，分别根据，的式子列出关于，的整式，然后相减并化简即可．【详解】解：令，，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，有理数的大小比较．理解例题的解题思路是解题的关键．题型五：计算多项式乘多项式一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）己知，，且，则__________【答案】1【分析】先将和变形为和，求出，再根据多项式乘多项式和来求解．【详解】解：∵，， ∴，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，理解多项式乘多项式的运算法则是解答关键．2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3），则a＋b＋c＝________．【答案】﹣9【分析】先根据多项式乘以多项式法则将已知等式右边展开，再根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出a、b、c的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3）=(x2-x-2)(x+3)=x3+2x2-5x-6∴a=2，b=-5，c=-5，∴a+b+c=2-5-6=-9．故答案为：-9．【点睛】本题考查多项法乘以多项式，熟练掌握多项法乘以多项式法则以用两多式相等，则对应在项系数相等是解题的关键．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝________．【答案】x3﹣27【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】解：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝x3＋3x2＋9x﹣3x2﹣9x﹣27＝x3﹣27．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2022·上海·七年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．【详解】=，故答案为：．【点睛】此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．二、解答题5．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．【答案】a﹣3﹣4a3＋12a2【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式＝[﹣（2a）2]（a﹣3）＝（1﹣4a2）（a﹣3）＝a﹣3﹣4a3＋12a2．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键．6．（2022·上海·七年级期中）解不等式：【答案】【分析】先去括号，再移项合并同类项，最后化系数为1．【详解】去括号得：移项合并得：系数化为1得：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，特别要注意的是最后化系数为1时，两边同除负数，不等号需改变方向．7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求【答案】【分析】先变成am×am+1的形式，再代入，最后把整式化简即可．【详解】∵；，∴===.【点睛】本题考查多项式乘多项式和同底数幂的乘法的逆运用，能利用同底数幂的乘法将化成是解决本题的关键，本题多项式与多项式相乘展开式较长，一定要细心，在合并同类项时不能出现遗漏.题型六：（x+P）（x+P）型多项式乘法一、单选题1．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( )A．p=5，q=6 B．p=1，q=6 C．p=5，q=-6 D．p=1，q=-6【答案】D【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，∴p=1，q=-6．故选：D．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝____．【答案】﹣3【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值．【详解】∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）计算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可．【详解】（x2﹣3）（x2＋5）故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．4．（2021·上海黄浦·七年级期中）计算：（x﹣1）（5＋x）＝___．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可．【详解】原式【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．5．（2021·上海·七年级期末）计算：（x－2y）（x＋5y）＝ ______ ．【答案】【分析】根据整式的乘法法则即可得．【详解】原式，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．6．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．【答案】-2【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式即可求解.题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【分析】先对（x+1）（3x+a）进行化简，然后再根据乘积中不含x的一次项建立方程求解即可．【详解】解：由题意得：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．2．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根据多项式乘法法则，先将两个多项式相乘得出结果，再根据结果不含一次项和二次项，说明一次项系数和二次项系数为0，从而建立关于a、b的方程，即可求解.【详解】==∵乘积不含一次项以及二次项∴，解得，故选B.【点睛】本题考查多项式乘法，除了掌握多项式乘法公式外，本题还需要掌握乘积不含一次项以及二次项即一次项系数和二次项系数为0.二、填空题3．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）若二项式3x+a与x+2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a的值是 ___．【答案】-6【分析】利用多项式乘以多项式法则将已知多项式化简，合并同类项后令一次项系数等于0，即可求出a的值．【详解】解：（3x+a）（x+2）=3x2+6x+ax+2a=3x2+（a+6）x+2a，∵此多项式不含x的一次项，∴a+6=0，即a=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决这类问题的方法是：不含哪一项，就合并同类项后让这一项的系数等于0．4．（2021·上海·七年级期中）已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为___________．【答案】1【分析】要求的值就必须知道的值，而的值通过两个多项式与作差合并后不含的项意味着系数为0而求得.【详解】∵不含项∴∴代入中，得【点睛】本题主要考查合并同类项、去括号以及代数式求值，利用两个多项式的差不含项得出的系数为0是解题关键.三、解答题5．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；（2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数．【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）（2）设一次项系数为，答案是不含三次项的【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．6．（2021·上海·七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【详解】解：（1），∵多项式、，与的乘积中不含有和项，∴，，解得：，；（2）由（1）得：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．7．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级阶段练习）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相乘在合并同类项后的结果存在缺项的可能．比如x+2和x- 2相乘的结果为 , x的一次项没有了．（1）请计算 与x-2相乘后的结果，并观察x的几次项没有了?（2）请想一下，与x+a相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么a应该是多少呢?【答案】（1）x的二次项没有了；（2）可能，a=-时，一次项消失.【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算后观察即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算后，合并关于x的同类项，然后令一次项的系数为零即可求解.【详解】（1）∵()(x-2)=x3-2x2+2x2-4x+3x-6= x3-x-6，∴x的二次项没有了；（2）可能.∵()(x+a)= x3+ax2+2x2+2ax+3x+3a= x3+(a+2)x2+(2a+3)x+3a，∴当2a+3=0，即a=-时，一次项消失.【点睛】本题考查了利用多项式的不含问题求字母的值，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可.8．（2020·上海·文来实验学校七年级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积【答案】【分析】先计算与的乘积，然后根据乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，可求出a，b，最后计算这两个多项式的乘积即可．【详解】解：，∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a−2b＝0，−2a＝10，解得：a＝−5，b＝−2.5，∴，故这两个多项式的乘积是：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．题型八：多项式乘多项式-化简求值一、解答题1．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．【答案】﹣2x2+x+4，﹣18．【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+x+2x2+4﹣x3﹣2x2+＝﹣2x2++4，当x＝﹣3时，原式＝﹣18﹣4+4＝﹣18．【点睛】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）先化简，再求值：，其中【答案】；【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，再代入即可求解.【详解】===把代入得==【点睛】此题主要考查化简求值，解题的关键是熟知整式的乘方法则.3．（2019·上海市闵行区龙茗中学七年级阶段练习）先化简,再求值: ,其中x=1，y=2.【答案】；5【分析】利用平方差公式、完全平方公式以及整式的混合运算将原式化简，再将x=1，y=2代入化简后的式子，求值即可.【详解】解：原式 当x=1，y=2时，原式【点睛】本题考查整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则以及平方差公式、完全平方公式是解题关键.4．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值.【答案】3（x2-2x）-5，1【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求值.【详解】解：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=x2-2x+1+x2-9+x2-4x+3=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5，把x2-2x=2代入，得（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=3×2-5=1．【点睛】此题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.5．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值其中【答案】；-4.【分析】先运用多项式乘以多项式的法则计算，然后合并同类项，再把代入原式求解即可.【详解】原式= =当时，原式=故答案为；-4.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键.题型九：多项式乘多项式与图形面积一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x【答案】A【分析】先将原图形的右上角补全，进而根据原图的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积列式即可求得答案．【详解】解：如图，由图可知：原图形的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝（x＋1）2﹣12，故选：A．【点睛】本题考查了用割补法表示不规则图形的面积，熟练掌握割补法是解决本题的关键．二、填空题2．（2019·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是________张.【答案】2、1、3【分析】根据拼成的长方形的面积等于各小卡片面积之和解答即可.【详解】∵ =2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2，∴需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是2张、1张、3张.故答案为2、1、3.【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.3．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，一个边长为、的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形，将图中阴影部分的面积表示为=__________；【答案】【分析】图中的阴影部分，由正方形与矩形组成，利用面积公式即可得到结论．【详解】解：由题意，S=x2+（ax）（bx）=；故答案为：．【点睛】本题考查列代数式，考查面积的计算，属于基础题．4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm，根据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积．而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm．所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2．即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．故答案为：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．【点睛】本题考查了空白区域面积的问题，掌握平移的性质、矩形的面积公式是解题的关键．三、解答题5．（2019·上海市玉华中学七年级课时练习）阅读材料并解答问题：七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________；（2）请画一个图形，使它的面积能表示．【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，化简即可；（2）先画出一个长和宽分别为的长方形，再按原式进行分割.【详解】解：（1）图2中的图形长和宽分别为，所以其面积可以表示为；图2中的面积又可以表示为，所以图2所表示的代数恒等式为（2）如图即为所求（图形不唯一）【点睛】本题考查了多项式乘多项式的图形表示，熟练运用图形表示代数恒等式是解题的关键.6．（2019·上海市吴泾中学七年级阶段练习）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路.根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识，（1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积；（2）当米时，计算出绿地的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）题干要求根据图中的设计方案，利用有关图形运动的知识，所以我们通过平移，可知绿地部分可以拼成一个矩形，其长为，宽为，继而求出其面积；（2）将代入（1）中的代数式即可计算出绿地的面积．【详解】解：（1）由题意得：通过平移，绿地部分可以拼成一个矩形，它的长为：；宽为：，面积为：．答：公共绿地的面积是．（2）当米时，绿地的面积．【点睛】本题考查了平移的性质及整式的混合运算，难度适中，解答本题注意平移的灵活运用．7．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．【答案】(1)(2)超过，理由见解析【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2．（2）超过．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分长方形面积能超过400 m2．【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．8．（2021·上海·七年级期中）如图，用一张高为30，宽为的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多.（1）请用的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.9．（2021·上海黄浦·七年级期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 （用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 （用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？【答案】（1），，（2）①；②【分析】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，分别计算面积，找到矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b计算面积即可.(2) ①AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，从而得到AE；②把S表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S与BC长度无关.【详解】(1) 右下角的图形为边长为a的正方形，面积为.左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，面积为 .矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b，面积为 故答案为：，，(2) ①∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG∴AE=PC+FH-QG即AE=x+4b-a②图2中，右下角的矩形长宽分别为x，a，则面积为xa.左上角矩形长宽分别为x+4b-a，3b，则面积为3b（x+4b-a）.则整理得到，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则时成立.【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式是解题的关键．10．（2022·上海·七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．【分析】（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．【详解】（1）长方形，如图所示：∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，∴重叠部分的面积=，∵且且，∴；（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，六边形的面积===．【点睛】本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．题型十：规律问题一、解答题1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定：那么，，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……根据以上规律，写出的展开式：=________【答案】五；1，4，6，4，1；【分析】由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．【详解】解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．故答案为：五；1，4，6，4，1．∴；故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．2．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）127；（2）【分析】（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．【详解】解：（1）由题意可得：，当x=2时，上式变为，所以=；（2）同理可得：，当x=2时，上式变为，所以．【点睛】本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）根据上面的等式，你能发现当n个连续的的偶数相加时，它们的和S=2+4+6+8+……+2n= .（2）并按照此规律计算：①2+4+6+……300的值；②162+164+166+……+400的值.【答案】（1）n（n＋1）；（2）①22650；②33720．【分析】（1）观察所给的算式，找出其中的规律，用含n的式子表示其中的规律；（2）依据规律进行计算即可．【详解】（1）∵1个最小的连续偶数相加时，S＝1×（1＋1），2个最小的连续偶数相加时，S＝2×（2＋1），3个最小的连续偶数相加时，S＝3×（3＋1），…∴n个最小的连续偶数相加时，S＝n（n＋1）；（2）①2＋4＋6＋…＋300＝150×（150＋1）＝22650；②162＋164＋166＋…＋400，＝（2＋4＋6＋…＋400）−（2＋4＋6＋…＋160），＝200×201−80×81，＝40200−6480，＝33720．【点睛】本题主要考查的是规律探究，找出其中的规律是解题的关键．4．（2021·上海·七年级期中）阅读下文，回答问题：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.【答案】（1） （2）（3）【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；(2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.【详解】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= ∴399+398+397…+32+3+1=【点睛】本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.巩固提升一、单选题1．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根据多项式乘法法则，先将两个多项式相乘得出结果，再根据结果不含一次项和二次项，说明一次项系数和二次项系数为0，从而建立关于a、b的方程，即可求解.【详解】==∵乘积不含一次项以及二次项∴，解得，故选B.【点睛】本题考查多项式乘法，除了掌握多项式乘法公式外，本题还需要掌握乘积不含一次项以及二次项即一次项系数和二次项系数为0.2．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与多项式的积中不含一次项，则常数的值为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把两多项式相乘，再令一次项的系数等于0即可得出a的值．【详解】解： ∵多项式与多项式的积中不含一次项则即故选A.【点睛】本题考查了多项式的系数，多项式的乘法，根据多项式的积中不含一次项列出关于x的方程是解答此题的关键．3．（2020·上海复旦二附中七年级月考）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( ) A． B． C． D．【答案】D【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．故选D．二、填空题4．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．【答案】【分析】先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．【详解】解：∵三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，∴此三角形的高为（a-1）米，∴根据三角形的面积公式得：（平方米）； 故答案为：．【点睛】此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．5．（2020·上海文来实验学校）计算：=_____________【答案】【分析】先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得．【详解】原式，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．6．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式的法则,将单项式与多项式的每一项相乘,再把各项乘积求和.【详解】,故答案为: .【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则.7．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．【答案】-2【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式即可求解.8．（2020·上海复旦二附中七年级月考）计算（x-2y)(2y+x)=______；【答案】【分析】根据整式的乘法法则计算即可.【详解】解：原式= 故答案为：.【点睛】本题主要考查了平方差公式的计算，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键.三、解答题9．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【详解】解：（1），∵多项式、，与的乘积中不含有和项，∴，，解得：，；（2）由（1）得：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．10．（2020·上海市梅陇中学）【答案】．【分析】先计算积的乘方，再计算整式的乘法即可得．【详解】原式，．【点睛】本题考查了积的乘方、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．11．（2020·上海市梅陇中学）【答案】．【分析】先计算括号内的整式乘法，再去括号，然后计算整式的加减法即可得．【详解】原式，，．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．12．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：【答案】【分析】根据幂的乘方运算法则和单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解.【详解】解:原式==【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则.13．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积【答案】【分析】先计算与的乘积，然后根据乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，可求出a，b，最后计算这两个多项式的乘积即可．【详解】解：，∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a−2b＝0，−2a＝10，解得：a＝−5，b＝−2.5，∴，故这两个多项式的乘积是：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）127；（2）【分析】（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．【详解】解：（1）由题意可得：，当x=2时，上式变为，所以=；（2）同理可得：，当x=2时，上式变为，所以．【点睛】本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
第04讲整式乘法（10种题型）考点考向整式的乘法法则：一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：=．三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．考点精讲题型一：单项式与单项式相乘一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）下列运算不正确的是（ ）．A． B．C． D．3．（2021·上海·七年级期中）下列算式中，计算正确的是（ ）A．3a•4a2＝7a2 B．3a•4a2＝12a2C．3a•4a2＝7a3 D．3a•4a2＝12a3二、解答题4．计算：（1）； （2）；（3）．5．计算：（1）； （2）；（3）（把作为整体看作一个因式的底数）．6．（2022·上海·七年级专题练习）7．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．8．计算：（1）； （2）；（3）．9．计算：（1）； （2）．10．计算：（把作为整体看作一个因式的底数）．题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值1．已知：，求的值．2．先化简，后求值：．题型三：计算单项式乘多项式及求值一、填空题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）（________）（________）．2．（2019·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．3．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）计算 __________________________4．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）计算：2x（x-y）-3y（y-x）=___________.5．（2019·上海市西南模范中学七年级阶段练习）计算：_______.二、解答题6．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．7．先化简，再求值：，其中．8．先化简，后求值：，其中 ．9．已知，求的值．题型四：单项式乘多项式的应用一、填空题1．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级阶段练习）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于________二、解答题2．解关于的方程：．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．4．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）请阅读以下材料：[材料]若，，试比较，的大小．解：设，那么，．因为，所以．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：，．题型五：计算多项式乘多项式一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）己知，，且，则__________2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3），则a＋b＋c＝________．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝________．4．（2022·上海·七年级期末）计算：________．二、解答题5．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．6．（2022·上海·七年级期中）解不等式：7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求题型六：（x+P）（x+P）型多项式乘法一、单选题1．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( )A．p=5，q=6 B．p=1，q=6 C．p=5，q=-6 D．p=1，q=-6二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝____．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）计算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．4．（2021·上海黄浦·七年级期中）计算：（x﹣1）（5＋x）＝___．5．（2021·上海·七年级期末）计算：（x－2y）（x＋5y）＝ ______ ．6．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）A．3 B．﹣3 C． D．﹣2．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;二、填空题3．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）若二项式3x+a与x+2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a的值是 ___．4．（2021·上海·七年级期中）已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为___________．三、解答题5．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？6．（2021·上海·七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．7．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级阶段练习）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相乘在合并同类项后的结果存在缺项的可能．比如x+2和x- 2相乘的结果为 , x的一次项没有了．（1）请计算 与x-2相乘后的结果，并观察x的几次项没有了?（2）请想一下，与x+a相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么a应该是多少呢?8．（2020·上海·文来实验学校七年级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积题型八：多项式乘多项式-化简求值一、解答题1．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）先化简，再求值：，其中3．（2019·上海市闵行区龙茗中学七年级阶段练习）先化简,再求值: ,其中x=1，y=2.4．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值.5．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值其中题型九：多项式乘多项式与图形面积一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x二、填空题2．（2019·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是________张.3．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，一个边长为、的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形，将图中阴影部分的面积表示为=__________；4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．三、解答题5．（2019·上海市玉华中学七年级课时练习）阅读材料并解答问题：七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________；（2）请画一个图形，使它的面积能表示．6．（2019·上海市吴泾中学七年级阶段练习）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路.根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识，（1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积；（2）当米时，计算出绿地的面积.7．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．8．（2021·上海·七年级期中）如图，用一张高为30，宽为的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多.（1）请用的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？9．（2021·上海黄浦·七年级期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 （用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 （用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？10．（2022·上海·七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．题型十：规律问题一、解答题1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定：那么，，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……根据以上规律，写出的展开式：=________2．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值3．（2021·上海·七年级期中）寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）根据上面的等式，你能发现当n个连续的的偶数相加时，它们的和S=2+4+6+8+……+2n= .（2）并按照此规律计算：①2+4+6+……300的值；②162+164+166+……+400的值.4．（2021·上海·七年级期中）阅读下文，回答问题：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.巩固提升一、单选题1．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;2．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与多项式的积中不含一次项，则常数的值为（ ）A． B．C． D．3．（2020·上海复旦二附中七年级月考）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A． B． C． D．二、填空题4．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．5．（2020·上海文来实验学校）计算：=_____________6．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．7．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．8．（2020·上海复旦二附中七年级月考）计算（x-2y)(2y+x)=______；三、解答题9．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．10．（2020·上海市梅陇中学）11．（2020·上海市梅陇中学）12．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：13．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值 第04讲整式乘法（10种题型）考点考向整式的乘法法则：一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：=．三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．考点精讲题型一：单项式与单项式相乘一、单选题1．（2022·上海·七年级专题练习）下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项正确，符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）下列运算不正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】A选项：利用单项式相乘的法则即可作出判断；B选项：利用同底数幂乘法计算，再化简即可；C选项：利用同底数幂乘法计算，再化简即可；D选项：利用同底数幂乘法计算即可．【详解】解：A选项：，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：，故C正确；D选项：，故D正确．故选A．【点睛】此题主要考查了整式的计算，对于各种整式的运算法则要求学生应该都比较熟练．3．（2021·上海·七年级期中）下列算式中，计算正确的是（ ）A．3a•4a2＝7a2 B．3a•4a2＝12a2C．3a•4a2＝7a3 D．3a•4a2＝12a3【答案】D【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．【详解】解：3a•4a2＝3×4a•a2＝12a3，A. 选项A3a•4a2＝7a2系数与指数都不对，故不正确； B. 3a•4a2＝12a2指数不对 ，故不正确；C. 3a•4a2＝7a3系数不对，故不正确； D. 3a•4a2＝12a3正确．故选：D．【点睛】本题考查单项式与单项式乘法，掌握单项式乘法法则是解题关键．二、解答题4．计算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．5．计算：（1）； （2）；（3）（把作为整体看作一个因式的底数）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．6．（2022·上海·七年级专题练习）【答案】0【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可求解．【详解】解：原式＝＝＝＝0【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是注意运算顺序，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减与合并同类项．7．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．8．计算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．9．计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式=； （2）原式=．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．10．计算：（把作为整体看作一个因式的底数）．【答案】．【解析】原式=．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值1．已知：，求的值．【答案】5【解析】原式=，由此可得，可解得，【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．2．先化简，后求值：．【答案】化简结果是，代入求值结果是【解析】原式=，代入求值得【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．题型三：计算单项式乘多项式及求值一、填空题1．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）（________）（________）．【答案】 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此解答即可．【详解】解：．故答案为：；．【点睛】本题考查单项式乘多项式以及去括号法则．掌握相关运算法则是解答本题的关键．2．（2019·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式的法则,将单项式与多项式的每一项相乘,再把各项乘积求和.【详解】,故答案为: .【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则.3．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学七年级期中）计算 __________________________【答案】【分析】利用成分分配律进行计算即可解答.【详解】==【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握计算法则是解题关键.4．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）计算：2x（x-y）-3y（y-x）=___________.【答案】2x2-3y2+yx【分析】先根据单项式乘多项式法则得到，再合并同类项即可得到答案.【详解】2x（x-y）-3y（y-x）=2x2-2xy-3y2+3yx=2x2-3y2+xy.【点睛】本题考查单项式乘多项式、合并同类项，解题的关键是掌握单项式乘多项式、合并同类项.5．（2019·上海市西南模范中学七年级阶段练习）计算：_______.【答案】【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可.【详解】原式==.故答案为.【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加.二、解答题6．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据单项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算：先进行整式的乘方运算，再进行整式的乘除运算，然后进行整式的加减运算；涉及到合并同类项，单项式乘多项式法则等知识点．能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．7．先化简，再求值：，其中．【答案】化简结果是，代入求值结果是．【解析】原式= 将代入计算得：．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．8．先化简，后求值：，其中 ．【答案】化简结果是，代入求值结果是1．【解析】原式 ． 将代入计算得：原式=．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．9．已知，求的值．【答案】174．【解析】原式 ．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．题型四：单项式乘多项式的应用一、填空题1．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级阶段练习）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于________【答案】6x3-8x2【分析】根据长方体的计算公式长×宽×高，列出算式，再进行计算即可．【详解】解：根据题意得：（3x-4）•2x•x=6x3-8x2；故答案为：6x3-8x2．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是根据长方体的体积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的法则进行计算即可．二、解答题2．解关于的方程：．【答案】．【解析】 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．【答案】(1)米；米；米(2)平方米【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．（1）解：盒子的长为：（米）；盒子的宽为：（米）；盒子的高为：a2（米）．故答案为：米；米；米．（2）∵纸片的面积是：（平方米），小正方形的面积是：（平方米），∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．4．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）请阅读以下材料：[材料]若，，试比较，的大小．解：设，那么，．因为，所以．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：，．【答案】【分析】令，，分别根据，的式子列出关于，的整式，然后相减并化简即可．【详解】解：令，，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，有理数的大小比较．理解例题的解题思路是解题的关键．题型五：计算多项式乘多项式一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）己知，，且，则__________【答案】1【分析】先将和变形为和，求出，再根据多项式乘多项式和来求解．【详解】解：∵，， ∴，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，理解多项式乘多项式的运算法则是解答关键．2．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）已知x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3），则a＋b＋c＝________．【答案】﹣9【分析】先根据多项式乘以多项式法则将已知等式右边展开，再根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出a、b、c的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3）=(x2-x-2)(x+3)=x3+2x2-5x-6∴a=2，b=-5，c=-5，∴a+b+c=2-5-6=-9．故答案为：-9．【点睛】本题考查多项法乘以多项式，熟练掌握多项法乘以多项式法则以用两多式相等，则对应在项系数相等是解题的关键．3．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝________．【答案】x3﹣27【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】解：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝x3＋3x2＋9x﹣3x2﹣9x﹣27＝x3﹣27．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2022·上海·七年级期末）计算：________．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．【详解】=，故答案为：．【点睛】此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．二、解答题5．（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．【答案】a﹣3﹣4a3＋12a2【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式＝[﹣（2a）2]（a﹣3）＝（1﹣4a2）（a﹣3）＝a﹣3﹣4a3＋12a2．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键．6．（2022·上海·七年级期中）解不等式：【答案】【分析】先去括号，再移项合并同类项，最后化系数为1．【详解】去括号得：移项合并得：系数化为1得：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，特别要注意的是最后化系数为1时，两边同除负数，不等号需改变方向．7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求【答案】【分析】先变成am×am+1的形式，再代入，最后把整式化简即可．【详解】∵；，∴===.【点睛】本题考查多项式乘多项式和同底数幂的乘法的逆运用，能利用同底数幂的乘法将化成是解决本题的关键，本题多项式与多项式相乘展开式较长，一定要细心，在合并同类项时不能出现遗漏.题型六：（x+P）（x+P）型多项式乘法一、单选题1．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级阶段练习）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( )A．p=5，q=6 B．p=1，q=6 C．p=5，q=-6 D．p=1，q=-6【答案】D【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，∴p=1，q=-6．故选：D．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．二、填空题2．（2021·上海·七年级期中）若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝____．【答案】﹣3【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值．【详解】∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．3．（2021·上海杨浦·七年级期中）计算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可．【详解】（x2﹣3）（x2＋5）故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．4．（2021·上海黄浦·七年级期中）计算：（x﹣1）（5＋x）＝___．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可．【详解】原式【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．5．（2021·上海·七年级期末）计算：（x－2y）（x＋5y）＝ ______ ．【答案】【分析】根据整式的乘法法则即可得．【详解】原式，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．6．（2020·上海市澧溪中学七年级阶段练习）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．【答案】-2【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式即可求解.题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值一、单选题1．（2021·上海浦东新·七年级期中）如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【分析】先对（x+1）（3x+a）进行化简，然后再根据乘积中不含x的一次项建立方程求解即可．【详解】解：由题意得：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．2．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根据多项式乘法法则，先将两个多项式相乘得出结果，再根据结果不含一次项和二次项，说明一次项系数和二次项系数为0，从而建立关于a、b的方程，即可求解.【详解】==∵乘积不含一次项以及二次项∴，解得，故选B.【点睛】本题考查多项式乘法，除了掌握多项式乘法公式外，本题还需要掌握乘积不含一次项以及二次项即一次项系数和二次项系数为0.二、填空题3．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）若二项式3x+a与x+2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a的值是 ___．【答案】-6【分析】利用多项式乘以多项式法则将已知多项式化简，合并同类项后令一次项系数等于0，即可求出a的值．【详解】解：（3x+a）（x+2）=3x2+6x+ax+2a=3x2+（a+6）x+2a，∵此多项式不含x的一次项，∴a+6=0，即a=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决这类问题的方法是：不含哪一项，就合并同类项后让这一项的系数等于0．4．（2021·上海·七年级期中）已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为___________．【答案】1【分析】要求的值就必须知道的值，而的值通过两个多项式与作差合并后不含的项意味着系数为0而求得.【详解】∵不含项∴∴代入中，得【点睛】本题主要考查合并同类项、去括号以及代数式求值，利用两个多项式的差不含项得出的系数为0是解题关键.三、解答题5．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；（2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数．【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）（2）设一次项系数为，答案是不含三次项的【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．6．（2021·上海·七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【详解】解：（1），∵多项式、，与的乘积中不含有和项，∴，，解得：，；（2）由（1）得：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．7．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级阶段练习）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相乘在合并同类项后的结果存在缺项的可能．比如x+2和x- 2相乘的结果为 , x的一次项没有了．（1）请计算 与x-2相乘后的结果，并观察x的几次项没有了?（2）请想一下，与x+a相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么a应该是多少呢?【答案】（1）x的二次项没有了；（2）可能，a=-时，一次项消失.【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算后观察即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算后，合并关于x的同类项，然后令一次项的系数为零即可求解.【详解】（1）∵()(x-2)=x3-2x2+2x2-4x+3x-6= x3-x-6，∴x的二次项没有了；（2）可能.∵()(x+a)= x3+ax2+2x2+2ax+3x+3a= x3+(a+2)x2+(2a+3)x+3a，∴当2a+3=0，即a=-时，一次项消失.【点睛】本题考查了利用多项式的不含问题求字母的值，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可.8．（2020·上海·文来实验学校七年级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积【答案】【分析】先计算与的乘积，然后根据乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，可求出a，b，最后计算这两个多项式的乘积即可．【详解】解：，∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a−2b＝0，−2a＝10，解得：a＝−5，b＝−2.5，∴，故这两个多项式的乘积是：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．题型八：多项式乘多项式-化简求值一、解答题1．（2019·上海市长宁中学七年级阶段练习）先化简，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．【答案】﹣2x2+x+4，﹣18．【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+x+2x2+4﹣x3﹣2x2+＝﹣2x2++4，当x＝﹣3时，原式＝﹣18﹣4+4＝﹣18．【点睛】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）先化简，再求值：，其中【答案】；【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，再代入即可求解.【详解】===把代入得==【点睛】此题主要考查化简求值，解题的关键是熟知整式的乘方法则.3．（2019·上海市闵行区龙茗中学七年级阶段练习）先化简,再求值: ,其中x=1，y=2.【答案】；5【分析】利用平方差公式、完全平方公式以及整式的混合运算将原式化简，再将x=1，y=2代入化简后的式子，求值即可.【详解】解：原式 当x=1，y=2时，原式【点睛】本题考查整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则以及平方差公式、完全平方公式是解题关键.4．（2019·上海市田林第三中学七年级期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值.【答案】3（x2-2x）-5，1【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求值.【详解】解：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=x2-2x+1+x2-9+x2-4x+3=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5，把x2-2x=2代入，得（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=3×2-5=1．【点睛】此题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.5．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值其中【答案】；-4.【分析】先运用多项式乘以多项式的法则计算，然后合并同类项，再把代入原式求解即可.【详解】原式= =当时，原式=故答案为；-4.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键.题型九：多项式乘多项式与图形面积一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期中）如图所示的图形面积为（ ）A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x【答案】A【分析】先将原图形的右上角补全，进而根据原图的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积列式即可求得答案．【详解】解：如图，由图可知：原图形的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝（x＋1）2﹣12，故选：A．【点睛】本题考查了用割补法表示不规则图形的面积，熟练掌握割补法是解决本题的关键．二、填空题2．（2019·上海浦东新区民办欣竹中学七年级阶段练习）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是________张.【答案】2、1、3【分析】根据拼成的长方形的面积等于各小卡片面积之和解答即可.【详解】∵ =2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2，∴需要A类卡片，B类卡片，C类卡片分别是2张、1张、3张.故答案为2、1、3.【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.3．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，一个边长为、的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形，将图中阴影部分的面积表示为=__________；【答案】【分析】图中的阴影部分，由正方形与矩形组成，利用面积公式即可得到结论．【详解】解：由题意，S=x2+（ax）（bx）=；故答案为：．【点睛】本题考查列代数式，考查面积的计算，属于基础题．4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm，根据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积．而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm．所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2．即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．故答案为：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．【点睛】本题考查了空白区域面积的问题，掌握平移的性质、矩形的面积公式是解题的关键．三、解答题5．（2019·上海市玉华中学七年级课时练习）阅读材料并解答问题：七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下：图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________；（2）请画一个图形，使它的面积能表示．【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，化简即可；（2）先画出一个长和宽分别为的长方形，再按原式进行分割.【详解】解：（1）图2中的图形长和宽分别为，所以其面积可以表示为；图2中的面积又可以表示为，所以图2所表示的代数恒等式为（2）如图即为所求（图形不唯一）【点睛】本题考查了多项式乘多项式的图形表示，熟练运用图形表示代数恒等式是解题的关键.6．（2019·上海市吴泾中学七年级阶段练习）在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路.根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识，（1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积；（2）当米时，计算出绿地的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）题干要求根据图中的设计方案，利用有关图形运动的知识，所以我们通过平移，可知绿地部分可以拼成一个矩形，其长为，宽为，继而求出其面积；（2）将代入（1）中的代数式即可计算出绿地的面积．【详解】解：（1）由题意得：通过平移，绿地部分可以拼成一个矩形，它的长为：；宽为：，面积为：．答：公共绿地的面积是．（2）当米时，绿地的面积．【点睛】本题考查了平移的性质及整式的混合运算，难度适中，解答本题注意平移的灵活运用．7．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．【答案】(1)(2)超过，理由见解析【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2．（2）超过．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分长方形面积能超过400 m2．【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．8．（2021·上海·七年级期中）如图，用一张高为30，宽为的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多.（1）请用的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为，上下页边距比左右页边距多，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.9．（2021·上海黄浦·七年级期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 （用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 （用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？【答案】（1），，（2）①；②【分析】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，分别计算面积，找到矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b计算面积即可.(2) ①AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，从而得到AE；②把S表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S与BC长度无关.【详解】(1) 右下角的图形为边长为a的正方形，面积为.左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，面积为 .矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b，面积为 故答案为：，，(2) ①∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG∴AE=PC+FH-QG即AE=x+4b-a②图2中，右下角的矩形长宽分别为x，a，则面积为xa.左上角矩形长宽分别为x+4b-a，3b，则面积为3b（x+4b-a）.则整理得到，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则时成立.【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式是解题的关键．10．（2022·上海·七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．【分析】（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．【详解】（1）长方形，如图所示：∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，∴重叠部分的面积=，∵且且，∴；（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，六边形的面积===．【点睛】本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．题型十：规律问题一、解答题1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定：那么，，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________……根据以上规律，写出的展开式：=________【答案】五；1，4，6，4，1；【分析】由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．【详解】解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．故答案为：五；1，4，6，4，1．∴；故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．2．（2021·上海·七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）127；（2）【分析】（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．【详解】解：（1）由题意可得：，当x=2时，上式变为，所以=；（2）同理可得：，当x=2时，上式变为，所以．【点睛】本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．3．（2021·上海·七年级期中）寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）根据上面的等式，你能发现当n个连续的的偶数相加时，它们的和S=2+4+6+8+……+2n= .（2）并按照此规律计算：①2+4+6+……300的值；②162+164+166+……+400的值.【答案】（1）n（n＋1）；（2）①22650；②33720．【分析】（1）观察所给的算式，找出其中的规律，用含n的式子表示其中的规律；（2）依据规律进行计算即可．【详解】（1）∵1个最小的连续偶数相加时，S＝1×（1＋1），2个最小的连续偶数相加时，S＝2×（2＋1），3个最小的连续偶数相加时，S＝3×（3＋1），…∴n个最小的连续偶数相加时，S＝n（n＋1）；（2）①2＋4＋6＋…＋300＝150×（150＋1）＝22650；②162＋164＋166＋…＋400，＝（2＋4＋6＋…＋400）−（2＋4＋6＋…＋160），＝200×201−80×81，＝40200−6480，＝33720．【点睛】本题主要考查的是规律探究，找出其中的规律是解题的关键．4．（2021·上海·七年级期中）阅读下文，回答问题：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.【答案】（1） （2）（3）【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；(2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.【详解】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= ∴399+398+397…+32+3+1=【点睛】本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.巩固提升一、单选题1．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）如果多项式与多项式相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么,的值分别是（ ）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根据多项式乘法法则，先将两个多项式相乘得出结果，再根据结果不含一次项和二次项，说明一次项系数和二次项系数为0，从而建立关于a、b的方程，即可求解.【详解】==∵乘积不含一次项以及二次项∴，解得，故选B.【点睛】本题考查多项式乘法，除了掌握多项式乘法公式外，本题还需要掌握乘积不含一次项以及二次项即一次项系数和二次项系数为0.2．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与多项式的积中不含一次项，则常数的值为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把两多项式相乘，再令一次项的系数等于0即可得出a的值．【详解】解： ∵多项式与多项式的积中不含一次项则即故选A.【点睛】本题考查了多项式的系数，多项式的乘法，根据多项式的积中不含一次项列出关于x的方程是解答此题的关键．3．（2020·上海复旦二附中七年级月考）如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( ) A． B． C． D．【答案】D【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．故选D．二、填空题4．（2020·上海南洋中学七年级期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为__________________平方米（用含的的代数式表示）．【答案】【分析】先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．【详解】解：∵三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，∴此三角形的高为（a-1）米，∴根据三角形的面积公式得：（平方米）； 故答案为：．【点睛】此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．5．（2020·上海文来实验学校）计算：=_____________【答案】【分析】先计算整式的乘法，再计算整式的加减法即可得．【详解】原式，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．6．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式的法则,将单项式与多项式的每一项相乘,再把各项乘积求和.【详解】,故答案为: .【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则.7．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为_____．【答案】-2【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式即可求解.8．（2020·上海复旦二附中七年级月考）计算（x-2y)(2y+x)=______；【答案】【分析】根据整式的乘法法则计算即可.【详解】解：原式= 故答案为：.【点睛】本题主要考查了平方差公式的计算，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键.三、解答题9．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）多项式、，与的乘积中不含有和项．（1）试确定和的值；（2）求．【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【详解】解：（1），∵多项式、，与的乘积中不含有和项，∴，，解得：，；（2）由（1）得：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．10．（2020·上海市梅陇中学）【答案】．【分析】先计算积的乘方，再计算整式的乘法即可得．【详解】原式，．【点睛】本题考查了积的乘方、整式的乘法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．11．（2020·上海市梅陇中学）【答案】．【分析】先计算括号内的整式乘法，再去括号，然后计算整式的加减法即可得．【详解】原式，，．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．12．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：【答案】【分析】根据幂的乘方运算法则和单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解.【详解】解:原式==【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则.13．（2020·上海文来实验学校）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求这两个多项式的乘积【答案】【分析】先计算与的乘积，然后根据乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，可求出a，b，最后计算这两个多项式的乘积即可．【详解】解：，∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a−2b＝0，−2a＝10，解得：a＝−5，b＝−2.5，∴，故这两个多项式的乘积是：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）先观察下列各式的规律：根据你的发现，试求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）127；（2）【分析】（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果；（2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果．【详解】解：（1）由题意可得：，当x=2时，上式变为，所以=；（2）同理可得：，当x=2时，上式变为，所以．【点睛】本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
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