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沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第09讲分式与分式运算(11大考点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第09讲分式与分式运算(11大考点)(原卷版+解析)，共46页。
第09讲分式与分式运算（11大考点）考点考向一．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．二．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．八．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．九．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．十．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．十一．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．考点精讲一．分式的定义（共2小题）1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．分式有意义的条件（共2小题）3．（2021秋•宝山区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．4．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是 ．三．分式的值为零的条件（共2小题）5．（2021秋•普陀区期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．6．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1四．分式的值（共3小题）7．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．8．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于 ．9．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ．五．分式的基本性质（共2小题）10．（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．11．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝六．约分（共1小题）12．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣七．最简分式（共1小题）13．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（ ）A． B． C． D．八．分式的乘除法（共6小题）14．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝ ．15．（2020秋•嘉定区期末）计算：＝ ．16．（2020秋•黄浦区期末）计算：．17．（2021秋•徐汇区月考）计算：．18．（2020秋•上海期末）计算：÷．19．（2020秋•浦东新区期末）计算：÷．九．分式的加减法（共3小题）20．（2021秋•普陀区期末）计算：＝ ．21．（2021秋•宝山区期末）计算：＝ ．22．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．一十．分式的混合运算（共2小题）23．（2022•闵行区校级开学）已知，求：（1）； （2）（）2﹣的值．24．（2021秋•浦东新区期末）化简：．一十一．分式的化简求值（共2小题）25．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．26．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．巩固提升一、单选题1．（2022·上海普陀·七年级期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．2．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列约分正确的是（ ）A． B． C． D．3．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式的值为，如果把分式中的同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．4．（2022·上海·七年级期末）计算的结果为（ ）A． B． C． D．5．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C．单项式是5次单项式D．若，则6．（2022·上海·七年级期末）把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值… （ ）A．不变 B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的7．（2022·上海·七年级单元测试）如果，那么代数式的值为（ ）A． B． C．1 D．2二、填空题8．（2022·上海·七年级单元测试）已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝_____．9．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为零，则x＝_______．10．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式有意义，那么的取值范围是________．11．（2022·上海·七年级期末），的最简公分母为___．12．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．三、解答题13．（2022·上海·七年级期末）化简：14．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．15．（2022·上海·七年级期末）计算：16．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．17．（2022·上海·七年级期末）对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．18．（2022·上海·七年级开学考试）阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由知x≠0，所以，即x+=3．所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：，求的值．19．（2022·上海·七年级期末）计算：．20．（2022·上海·七年级单元测试）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，．(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数；(3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是）21．（2022·上海·七年级单元测试）请仿照例子解题：恒成立，求M、N的值．解：∵，∴则，即故，解得：请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．22．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．23．（2022·上海宝山·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足．24．（2022·上海·七年级单元测试）先化简，再求值，，其中的值从不等式组的整数解中选取． 第09讲分式与分式运算（11大考点）考点考向一．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．二．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．八．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．九．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．十．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．十一．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．考点精讲一．分式的定义（共2小题）1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．二．分式有意义的条件（共2小题）3．（2021秋•宝山区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠1． ．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．4．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是 x≠2 ．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当x﹣2y≠0时，即x﹣2≠0分式有意义，解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．三．分式的值为零的条件（共2小题）5．（2021秋•普陀区期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．【分析】将x＝3代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【解答】解：A、当x＝3时，3﹣x＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B、当x＝3时，x2﹣9＝0，x+3≠0，原分式的值为0，故此选项符合题意；C、当x＝3时，x﹣3＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D、当x＝3时，x2﹣9＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．6．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．四．分式的值（共3小题）7．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 5 ．【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．8．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于 ﹣3 ．【分析】将a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：当a＝﹣2时，＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查求分式的值，熟练掌握求分式的值的方法是解决本题的关键．9．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 x＞﹣2且x≠1 ．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．五．分式的基本性质（共2小题）10．（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：因为a、b同时扩大为原来的3倍后变为3a，3b，所以＝＝，∵分式的值为，∴＝3•＝3×＝，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键．11．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A、若A、B表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A不符合题意．B、如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B不符合题意．C、单项式23ab是2次单项式，故C不符合题意．D、若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．六．约分（共1小题）12．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A.＝x4，故此选项不符合题意；B.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D.＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式（共1小题）13．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义计算判断．【解答】解：A、＝，所以A选项不符合；B、＝，所以B选项不符合；C、＝＝，所以C选项不符合；D、为最简分式，所以D选项符合．故选：D．【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．八．分式的乘除法（共6小题）14．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝ 1 ．【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出m的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出m的值，最后把m，n代入（﹣）5求解即可．【解答】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是xn﹣1y，∴n﹣1+1＝5，∴n＝5，∴原式＝x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2＝x4y+（﹣2xy3+4xy3）﹣（5x2y+mx2y）+2＝x4y+2xy3﹣（5+m）x2y+2，∴﹣（m+5）＝0∴m＝﹣5，∴（﹣）5＝，故答案为：1．【点评】本题考查了分式的乘除法及多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．15．（2020秋•嘉定区期末）计算：＝ ．【分析】首先除法边乘法，同时进行分解因式，再约分即可．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法计算．16．（2020秋•黄浦区期末）计算：．【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可．【解答】解：原式＝•＝．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则、约分法则是解题的关键．17．（2021秋•徐汇区月考）计算：．【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案．【解答】解：原式＝﹣••＝﹣．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．18．（2020秋•上海期末）计算：÷．【分析】把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【解答】解：原式＝×＝．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、多项式的因式分解是解题的关键．19．（2020秋•浦东新区期末）计算：÷．【分析】直接利用分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．九．分式的加减法（共3小题）20．（2021秋•普陀区期末）计算：＝ ．【分析】根据分式加减法的法则计算，即可得出结果．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键．21．（2021秋•宝山区期末）计算：＝ 1 ．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ x+y ．【分析】首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案为x+y．【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．一十．分式的混合运算（共2小题）23．（2022•闵行区校级开学）已知，求：（1）；（2）（）2﹣的值．【分析】化简分式可得x＝y，代入可求解．【解答】解：∵，∴4x﹣2y＝2x+3y，∴2x＝5y，∴x＝y，（1）原式＝＝，（2）原式＝（）2﹣＝﹣1＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，化简分式得到x＝y是解题的关键．24．（2021秋•浦东新区期末）化简：．【分析】将能进行因式分解的分母进行因式分解，然后先算除法，再算减法．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．一十一．分式的化简求值（共2小题）25．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．【分析】原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．26．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝（+）•＝•（x+2）＝x2+x+2，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝2+3＝5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．巩固提升一、单选题1．（2022·上海普陀·七年级期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【详解】解：A.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B.当时， ，，原分式的值为，故此选项符合题意；C.当时， ，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．2．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列约分正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【详解】解：A、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，，故A错误；B、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，原式=，故B错误；C、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，不满足分式基本性质，故C错误；D、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．3．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式的值为，如果把分式中的同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用分式的基本性质进而化简得出答案．【详解】解：把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是正确化简分式．4．（2022·上海·七年级期末）计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将其化为分式形式，根据负指数幂的性质和分式的基本性质化简即可．【详解】解：====故选C．【点睛】此题考查的是分式的化简和负指数幂的性质，掌握分式的基本性质是解题关键．5．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C．单项式是5次单项式D．若，则【答案】D【分析】根据分式的定义（如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）、分式的基本性质、单项式的次数的定义（一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）、同底数幂除法的逆用逐项判断即可得．【详解】解：A、如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，则此项错误；B、，则此项错误；C、单项式是2次单项式，则此项错误；D、若，则，则此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了分式与分式的基本性质、单项式的次数、同底数幂除法的逆用，掌握理解各定义和性质是解题关键．6．（2022·上海·七年级期末）把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值… （ ）A．不变 B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的【答案】A【详解】解：把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，可得，由此可得分式的值不变，故选A.7．（2022·上海·七年级单元测试）如果，那么代数式的值为（ ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．【详解】解：由可得======-2故答案为A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．二、填空题8．（2022·上海·七年级单元测试）已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝_____．【答案】11【分析】a2﹣3a﹣1＝0两边同时除以a得，即可得，再给两边同时平方有，开方得，移向即得．【详解】∵a2﹣3a﹣1＝0，且a≠0，∴∴∴∴∴．故答案为：11．【点睛】本题考查了已知式子值求代数式的值，将已知式子通过计算化简为所求代数式的形式是解题的关键．9．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为零，则x＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2-9=0，x-3≠0，解出x即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．10．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式有意义，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．11．（2022·上海·七年级期末），的最简公分母为___．【答案】a（a+b）（a-b）【分析】确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】 ，的分母分别是：a（a-b），a（a+b），∴它的最简公分母是：a（a+b）（a-b）．故答案为a（a+b）（a-b）．【点睛】本题考查了最简公分母，关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．12．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．【答案】【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．【详解】，，，， 故答案为：．【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．三、解答题13．（2022·上海·七年级期末）化简：【答案】-【分析】先通分化为同分母分式再进行相加减,最后化为最简分式即可．【详解】解：原式=====．【点睛】本题考查了分式的加减运算,掌握分式的加减运算法则是解题的关键．14．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】－；－【分析】先根据分式的四则运算法则进行化简，再把代入求解即可．【详解】解：原式= ===，当时，原式= =．【点睛】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法是解题的关键．15．（2022·上海·七年级期末）计算：【答案】【分析】找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可．【详解】解：=====．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题关键是找出最简公分母和通分，将异分母化成同分母．16．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．【答案】（1）；（2）2或4或-10或16【分析】（1）按照定义拆分即可，＝．（2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可，故x=2或4或-10或16．【详解】（1）＝．（2）＝若要值为整数，只需为整数即可当x=2时当x=4时当x=-10时当x=16时故x=2或4或-10或16．【点睛】本题考查了分式的化简构造新形式以及求使分式值为整数的未知数，理解逆用分数加减法的化简方法是解题的关键．17．（2022·上海·七年级期末）对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1） =， =，,+=1，（2），理由为：，则．（3）原式．【点睛】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．18．（2022·上海·七年级开学考试）阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由知x≠0，所以，即x+=3．所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：，求的值．【答案】【分析】根据“倒数法”的解题思路即可求出答案．【详解】解：∵，且x≠0，∴，∴x+﹣3=5，∴x+=8，∴=x2++1=（x+）2﹣1=63，∴=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．19．（2022·上海·七年级期末）计算：．【答案】【分析】先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，正确的对分式中的分子、分母进行因式分解成为解答本题的关键．20．（2022·上海·七年级单元测试）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，．(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数；(3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是）【答案】(1)(2)m=-3，n=3；a=2或4．(3)80【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；（2）将分子转化为（a2-a）-3（a-1）+3的形式，即可假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式；（3）利用（1）和（2）方法，将化简转化即可．（1）原式=；（2）原式=，∴m=-3，n=3，∵分式为正整数，∴为整数且a-3+＞0，∴a=2或4．（3）原式=∴A=999 999 998，所以A的数字和为80．故答案为：80．【点睛】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．21．（2022·上海·七年级单元测试）请仿照例子解题：恒成立，求M、N的值．解：∵，∴则，即故，解得：请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．【答案】M、N的值分别为，【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．【详解】解：∵，∴即故，解得答：M、N的值分别为，．【点睛】此题考查了分式混合运算，解题的关键是读懂例题的解法并熟练运用分式运算法则．22．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．【详解】解：====，把代入得：原式==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是掌握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．23．（2022·上海宝山·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足．【答案】，5【分析】先利用分式的运算进行化简，再由方程可求得，再代入求值即可．【详解】解：=== ∵∴ ∴原式=3+2=5【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．24．（2022·上海·七年级单元测试）先化简，再求值，，其中的值从不等式组的整数解中选取．【答案】，．【分析】先根据分式的运算法则化简原式，然后再求出不等式的整数解，然后选择合适的整数解代入已化简的分式即可．【详解】解：原式所以不等式组的整数解是0,1,2,3要使分式有意义，x的值只能取1，所以原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及求不等式组的整数解等知识点，正确化简分式和求不等式组的整数解是解答本题的关键．
第09讲分式与分式运算（11大考点）考点考向一．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．二．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．八．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．九．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．十．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．十一．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．考点精讲一．分式的定义（共2小题）1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．分式有意义的条件（共2小题）3．（2021秋•宝山区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．4．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是 ．三．分式的值为零的条件（共2小题）5．（2021秋•普陀区期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．6．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1四．分式的值（共3小题）7．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．8．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于 ．9．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ．五．分式的基本性质（共2小题）10．（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．11．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝六．约分（共1小题）12．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣七．最简分式（共1小题）13．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（ ）A． B． C． D．八．分式的乘除法（共6小题）14．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝ ．15．（2020秋•嘉定区期末）计算：＝ ．16．（2020秋•黄浦区期末）计算：．17．（2021秋•徐汇区月考）计算：．18．（2020秋•上海期末）计算：÷．19．（2020秋•浦东新区期末）计算：÷．九．分式的加减法（共3小题）20．（2021秋•普陀区期末）计算：＝ ．21．（2021秋•宝山区期末）计算：＝ ．22．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ ．一十．分式的混合运算（共2小题）23．（2022•闵行区校级开学）已知，求：（1）； （2）（）2﹣的值．24．（2021秋•浦东新区期末）化简：．一十一．分式的化简求值（共2小题）25．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．26．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．巩固提升一、单选题1．（2022·上海普陀·七年级期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．2．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列约分正确的是（ ）A． B． C． D．3．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式的值为，如果把分式中的同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．4．（2022·上海·七年级期末）计算的结果为（ ）A． B． C． D．5．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C．单项式是5次单项式D．若，则6．（2022·上海·七年级期末）把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值… （ ）A．不变 B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的7．（2022·上海·七年级单元测试）如果，那么代数式的值为（ ）A． B． C．1 D．2二、填空题8．（2022·上海·七年级单元测试）已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝_____．9．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为零，则x＝_______．10．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式有意义，那么的取值范围是________．11．（2022·上海·七年级期末），的最简公分母为___．12．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．三、解答题13．（2022·上海·七年级期末）化简：14．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．15．（2022·上海·七年级期末）计算：16．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．17．（2022·上海·七年级期末）对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．18．（2022·上海·七年级开学考试）阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由知x≠0，所以，即x+=3．所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：，求的值．19．（2022·上海·七年级期末）计算：．20．（2022·上海·七年级单元测试）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，．(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数；(3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是）21．（2022·上海·七年级单元测试）请仿照例子解题：恒成立，求M、N的值．解：∵，∴则，即故，解得：请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．22．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．23．（2022·上海宝山·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足．24．（2022·上海·七年级单元测试）先化简，再求值，，其中的值从不等式组的整数解中选取． 第09讲分式与分式运算（11大考点）考点考向一．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．二．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．八．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．九．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．十．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．十一．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．考点精讲一．分式的定义（共2小题）1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．二．分式有意义的条件（共2小题）3．（2021秋•宝山区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠1． ．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．4．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是 x≠2 ．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当x﹣2y≠0时，即x﹣2≠0分式有意义，解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．三．分式的值为零的条件（共2小题）5．（2021秋•普陀区期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．【分析】将x＝3代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【解答】解：A、当x＝3时，3﹣x＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B、当x＝3时，x2﹣9＝0，x+3≠0，原分式的值为0，故此选项符合题意；C、当x＝3时，x﹣3＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D、当x＝3时，x2﹣9＝0，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．6．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．四．分式的值（共3小题）7．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 5 ．【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．8．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于 ﹣3 ．【分析】将a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：当a＝﹣2时，＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查求分式的值，熟练掌握求分式的值的方法是解决本题的关键．9．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 x＞﹣2且x≠1 ．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．五．分式的基本性质（共2小题）10．（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：因为a、b同时扩大为原来的3倍后变为3a，3b，所以＝＝，∵分式的值为，∴＝3•＝3×＝，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键．11．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A、若A、B表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A不符合题意．B、如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B不符合题意．C、单项式23ab是2次单项式，故C不符合题意．D、若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．六．约分（共1小题）12．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A.＝x4，故此选项不符合题意；B.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D.＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．七．最简分式（共1小题）13．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（ ）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义计算判断．【解答】解：A、＝，所以A选项不符合；B、＝，所以B选项不符合；C、＝＝，所以C选项不符合；D、为最简分式，所以D选项符合．故选：D．【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．八．分式的乘除法（共6小题）14．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝ 1 ．【分析】先根据原多项式是一个五次三项式得出m的值，代入原式后，根据原式为三项式，得出m的值，最后把m，n代入（﹣）5求解即可．【解答】解：原多项式是一个五次三项式，最高项是xn﹣1y，∴n﹣1+1＝5，∴n＝5，∴原式＝x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2＝x4y+（﹣2xy3+4xy3）﹣（5x2y+mx2y）+2＝x4y+2xy3﹣（5+m）x2y+2，∴﹣（m+5）＝0∴m＝﹣5，∴（﹣）5＝，故答案为：1．【点评】本题考查了分式的乘除法及多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．15．（2020秋•嘉定区期末）计算：＝ ．【分析】首先除法边乘法，同时进行分解因式，再约分即可．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法计算．16．（2020秋•黄浦区期末）计算：．【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可．【解答】解：原式＝•＝．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则、约分法则是解题的关键．17．（2021秋•徐汇区月考）计算：．【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案．【解答】解：原式＝﹣••＝﹣．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．18．（2020秋•上海期末）计算：÷．【分析】把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【解答】解：原式＝×＝．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、多项式的因式分解是解题的关键．19．（2020秋•浦东新区期末）计算：÷．【分析】直接利用分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．九．分式的加减法（共3小题）20．（2021秋•普陀区期末）计算：＝ ．【分析】根据分式加减法的法则计算，即可得出结果．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键．21．（2021秋•宝山区期末）计算：＝ 1 ．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝ x+y ．【分析】首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案为x+y．【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．一十．分式的混合运算（共2小题）23．（2022•闵行区校级开学）已知，求：（1）；（2）（）2﹣的值．【分析】化简分式可得x＝y，代入可求解．【解答】解：∵，∴4x﹣2y＝2x+3y，∴2x＝5y，∴x＝y，（1）原式＝＝，（2）原式＝（）2﹣＝﹣1＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，化简分式得到x＝y是解题的关键．24．（2021秋•浦东新区期末）化简：．【分析】将能进行因式分解的分母进行因式分解，然后先算除法，再算减法．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．一十一．分式的化简求值（共2小题）25．（2021秋•普陀区期末）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣2．【分析】原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．26．（2021秋•宝山区期末）先化简，再求值（+1），其中x为满足x2+x﹣3＝0．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝（+）•＝•（x+2）＝x2+x+2，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝2+3＝5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．巩固提升一、单选题1．（2022·上海普陀·七年级期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【详解】解：A.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B.当时， ，，原分式的值为，故此选项符合题意；C.当时， ，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．2．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列约分正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【详解】解：A、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，，故A错误；B、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，原式=，故B错误；C、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，不满足分式基本性质，故C错误；D、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．3．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式的值为，如果把分式中的同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用分式的基本性质进而化简得出答案．【详解】解：把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是正确化简分式．4．（2022·上海·七年级期末）计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将其化为分式形式，根据负指数幂的性质和分式的基本性质化简即可．【详解】解：====故选C．【点睛】此题考查的是分式的化简和负指数幂的性质，掌握分式的基本性质是解题关键．5．（2022·上海浦东新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C．单项式是5次单项式D．若，则【答案】D【分析】根据分式的定义（如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）、分式的基本性质、单项式的次数的定义（一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）、同底数幂除法的逆用逐项判断即可得．【详解】解：A、如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，则此项错误；B、，则此项错误；C、单项式是2次单项式，则此项错误；D、若，则，则此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了分式与分式的基本性质、单项式的次数、同底数幂除法的逆用，掌握理解各定义和性质是解题关键．6．（2022·上海·七年级期末）把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值… （ ）A．不变 B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的【答案】A【详解】解：把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，可得，由此可得分式的值不变，故选A.7．（2022·上海·七年级单元测试）如果，那么代数式的值为（ ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．【详解】解：由可得======-2故答案为A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．二、填空题8．（2022·上海·七年级单元测试）已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+＝_____．【答案】11【分析】a2﹣3a﹣1＝0两边同时除以a得，即可得，再给两边同时平方有，开方得，移向即得．【详解】∵a2﹣3a﹣1＝0，且a≠0，∴∴∴∴∴．故答案为：11．【点睛】本题考查了已知式子值求代数式的值，将已知式子通过计算化简为所求代数式的形式是解题的关键．9．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为零，则x＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2-9=0，x-3≠0，解出x即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．10．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式有意义，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．11．（2022·上海·七年级期末），的最简公分母为___．【答案】a（a+b）（a-b）【分析】确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】 ，的分母分别是：a（a-b），a（a+b），∴它的最简公分母是：a（a+b）（a-b）．故答案为a（a+b）（a-b）．【点睛】本题考查了最简公分母，关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．12．（2022·上海·七年级单元测试）已知，则______．【答案】【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．【详解】，，，， 故答案为：．【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．三、解答题13．（2022·上海·七年级期末）化简：【答案】-【分析】先通分化为同分母分式再进行相加减,最后化为最简分式即可．【详解】解：原式=====．【点睛】本题考查了分式的加减运算,掌握分式的加减运算法则是解题的关键．14．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】－；－【分析】先根据分式的四则运算法则进行化简，再把代入求解即可．【详解】解：原式= ===，当时，原式= =．【点睛】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法是解题的关键．15．（2022·上海·七年级期末）计算：【答案】【分析】找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可．【详解】解：=====．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题关键是找出最简公分母和通分，将异分母化成同分母．16．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：＝．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．【答案】（1）；（2）2或4或-10或16【分析】（1）按照定义拆分即可，＝．（2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可，故x=2或4或-10或16．【详解】（1）＝．（2）＝若要值为整数，只需为整数即可当x=2时当x=4时当x=-10时当x=16时故x=2或4或-10或16．【点睛】本题考查了分式的化简构造新形式以及求使分式值为整数的未知数，理解逆用分数加减法的化简方法是解题的关键．17．（2022·上海·七年级期末）对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1） =， =，,+=1，（2），理由为：，则．（3）原式．【点睛】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．18．（2022·上海·七年级开学考试）阅读下面的解题过程：已知：，求的值．解：由知x≠0，所以，即x+=3．所以=x2+=（x+）2﹣2=32﹣2=7．故的值为．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：，求的值．【答案】【分析】根据“倒数法”的解题思路即可求出答案．【详解】解：∵，且x≠0，∴，∴x+﹣3=5，∴x+=8，∴=x2++1=（x+）2﹣1=63，∴=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．19．（2022·上海·七年级期末）计算：．【答案】【分析】先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，正确的对分式中的分子、分母进行因式分解成为解答本题的关键．20．（2022·上海·七年级单元测试）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，．(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数；(3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是）【答案】(1)(2)m=-3，n=3；a=2或4．(3)80【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；（2）将分子转化为（a2-a）-3（a-1）+3的形式，即可假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式；（3）利用（1）和（2）方法，将化简转化即可．（1）原式=；（2）原式=，∴m=-3，n=3，∵分式为正整数，∴为整数且a-3+＞0，∴a=2或4．（3）原式=∴A=999 999 998，所以A的数字和为80．故答案为：80．【点睛】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．21．（2022·上海·七年级单元测试）请仿照例子解题：恒成立，求M、N的值．解：∵，∴则，即故，解得：请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．【答案】M、N的值分别为，【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．【详解】解：∵，∴即故，解得答：M、N的值分别为，．【点睛】此题考查了分式混合运算，解题的关键是读懂例题的解法并熟练运用分式运算法则．22．（2022·上海·七年级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．【详解】解：====，把代入得：原式==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是掌握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．23．（2022·上海宝山·七年级期末）先化简，再求值：，其中为满足．【答案】，5【分析】先利用分式的运算进行化简，再由方程可求得，再代入求值即可．【详解】解：=== ∵∴ ∴原式=3+2=5【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．24．（2022·上海·七年级单元测试）先化简，再求值，，其中的值从不等式组的整数解中选取．【答案】，．【分析】先根据分式的运算法则化简原式，然后再求出不等式的整数解，然后选择合适的整数解代入已化简的分式即可．【详解】解：原式所以不等式组的整数解是0,1,2,3要使分式有意义，x的值只能取1，所以原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及求不等式组的整数解等知识点，正确化简分式和求不等式组的整数解是解答本题的关键．
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