数学选修2（理科）导数练习题

这是一份数学选修2（理科）导数练习题，文件包含第25讲专题利用导数研究恒能成立问题十一大题型原卷版docx、第25讲专题利用导数研究恒能成立问题十一大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共121页， 欢迎下载使用。

\l "_Tc169104511" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169104511 \h 2
\l "_Tc169104512" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169104512 \h 3
\l "_Tc169104513" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc169104513 \h 3
\l "_Tc169104514" 题型二：端点恒成立 PAGEREF _Tc169104514 \h 9
\l "_Tc169104515" 题型三：端点不成立 PAGEREF _Tc169104515 \h 13
\l "_Tc169104516" 题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离 PAGEREF _Tc169104516 \h 18
\l "_Tc169104517" 题型五：洛必达法则 PAGEREF _Tc169104517 \h 25
\l "_Tc169104518" 题型六：同构法与朗博同构 PAGEREF _Tc169104518 \h 28
\l "_Tc169104519" 题型七：必要性探路 PAGEREF _Tc169104519 \h 34
\l "_Tc169104520" 题型八：max，min函数问题 PAGEREF _Tc169104520 \h 41
\l "_Tc169104521" 题型九：构造函数技巧 PAGEREF _Tc169104521 \h 48
\l "_Tc169104522" 题型十：双变量最值问题 PAGEREF _Tc169104522 \h 58
\l "_Tc169104523" 题型十一：恒成立问题求参数的具体值 PAGEREF _Tc169104523 \h 63
\l "_Tc169104524" 03过关测试 PAGEREF _Tc169104524 \h 68
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，．
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．
4、法则1若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
法则2若函数和满足下列条件：（1）及；
（2），和在与上可导，且；
（3），
那么=．
法则3若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，且，则有：
若，则，即；
若，则，即；
若，则，即.
（2）若恒成立，则，
构建，
原题意等价于在内恒成立，
则，
1、若，则
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，不符合题意；
2、若，则有：
（ⅰ）若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，符合题意；
（ⅱ）若时，令，解得或，
①若，即时，当时，，
可知在内单调递减，此时，不合题意；
②若，即时，则，
可知在内单调递增，
当时，此时，不合题意；
③若，即时，则，
由（1）可知：当时，，
则，
可得，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
【典例1-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1），
当时，恒成立，从而在上单调递增，
当时，，，，，
从而在上递增，在上单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题可知，要使恒成立，只要，
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为的定义域为，
当时，，所以1是的一个零点，
，
令，则，
当，即时，在上单调递增，则，
故，在上单调递增，结合，
可知此时有1个零点；
当，即时，若，则时，，
故，在上单调递增，结合，
可知此时有1个零点；
若，则时，则的判别式，
不妨设两根为，则，
即有2个正数根，且不妨设，
则当时，，即；当时，，即；
当时，，即；
则可知在上单调递减，则，
在上单调递减，则，
由当x无限趋近于0时，的变化幅度要大于的变化幅度，
故趋近于负无穷，
当x趋近于正无穷时，x的变化幅度要大于的变化幅度，
故趋近于正无穷，
此时函数有3个零点，
综上：当时，有3个零点，当时，有1个零点
（2）不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，则.
对于函数，，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故需，即.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以.
由在上单调递增，
得.
【变式1-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题设当时，，
所以，得，
又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）若，不等式恒成立，则，
，
当时，对于，，所以在上单调递增，
所以时，，即满足题意；
当时，若，则，在上单调递减，
所以，与矛盾，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）设
(1)当，求函数的零点个数.
(2)函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围
【解析】（1）当时，，，
当时，，，，在上无零点.
当时，，在上单增.
，，，
，，在上有一个零点.
当时，又，
，
在上无零点.
综上所述， 在上只有一个零点.
（2）时，，
，设，
，
当，在递增，在上递减，
，，
，，
当时，在递减，在递增，在递减，
只需， ，
，与 矛盾，舍去；
当时，在上递减，只需，，矛盾，舍去；
不满足条件.
当，在上递减，在上递增，在上递减.
，，只需，
，
，，
又， ，
，满足条件.
综上所述，
题型二：端点恒成立
【典例2-1】（2024·广西·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，求的取值范围.
【解析】（1），得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）对任意，即，
设，
①当时，在单调递增，单调递增，
，成立；
②当时，令在单调递增，
在单调递增，
，成立；
③当时，当时，单调递减，
单调递减，
，不成立.
综上可知.
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）由，得，
由存在极值，则，知，则有3个不相等实数根，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．
则在时取极小值在处取得极大值，
又时，时，，又．
所以，有3个不相等实数根时，，即，
所以，有3个极值点时，的取值范围是．
（2）由，得，
令，得，知，
令，则，
又令，则，知，
当时，即时，
由于单调递增，则，
故当时，即单调递增，则，
所以，当时，即单调递增，则，
故当时，单调递增，则，
所以，当恒成立．则时满足条件．
当时，即时，
由于单调递增，由于，
故，使得，
当时，，则时，即单调递减，
故，
故当时，即单调递减，
所以，此时单调递减，，不满足条件．
综上所述，当恒成立时，的取值范围是．
【变式2-1】（2024·山西·三模）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，恒成立，求的取值范围
【解析】（1）当时，，
曲线在点处的切线方程为，
即，
直线在轴，轴上的截距分别为，
因此所求三角形的面积为.
（2）当时，不等式恒成立，即恒成立.
令，
则，设
令，解得.
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以.
所以在上单调递增，且，
所以当时，恒成立.
所以当时，恒成立.
令，则.
由于时，恒成立，即，所以，则，
当时，单调递增；当，单调递减；
因此当时，取得极大值也是最大值，则，
所以，所以，实数的取值范围是.
【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，无极小值.
（2）因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
即在上恒成立，
当时，解得，
设，，
则，
令，则，
当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
因为，，，，
当，即时在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以恒成立，
当时使得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，则，解得，
综上可得，即的取值范围为.
题型三：端点不成立
【典例3-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知．（）
(1)讨论的单调性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范围．
【解析】（1）因为,
所以,
若时,单调递减,时,,单调递增；
若,由得或,
设,则,
时,单调递减,
时,单调递增,
所以，所以,
所以时,单调递减,
，时,,单调递增.
综上得,当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在，上单调递增.
（2）当时,,
存在,使得成立,
即成立,即成立，
设,则,
设,，则在上单调递增，
且,
所以存在,使得,
所以
令，，在上单调递增,得,
所以,时,单调递减,
时,,单调递增，
所以,
所以,即的取值范围是.
【典例3-2】（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
【解析】（1）.解：因为的定义域为，可得.
当时，令，可得；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值.
（2）解：当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为.
【变式3-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数（，）在点处的切线方程为．
(1)求函数的极值；
(2)设（），若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题，，
由题意可得，解得，
所以，．
令，解得，令，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极小值，极小值为，无极大值．
（2）由题意可知：，且，
整理得，原题意等价于在内恒成立，
设，则，
设，则．
当时，；当时，，
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，即当时，恒成立，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
由恒成立，可得，
所以的取值范围为．
【变式3-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）.
(1)若的图象在点处的切线经过原点，求；
(2)对任意的，有，求的取值范围.
【解析】（1）由函数，可得，
所以且，即切线的斜率为，切点为
因为的图象在点处的切线经过原点，
可得，解得.
（2）任意的，有，即在恒成立，
令，
若，则，可得，所以，符合题意；
若，可得，令，则，
当时，，在递增，而，
所以，存在唯一的，使得，
所以，当时，，在递减，
当时，，在区间递增，
故当，函数取得极小值，
所以，此时，，可得，
即；
当时，，
因而，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是求.
【变式3-3】（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
【解析】（1）∵，
∴，
∵函数在点处取得极值，
∴，
∴，经检验，符合题意，
∴；
（2）∵，
∴恒成立，
即对任意恒成立．
令，则．
设，易得是增函数，
而，
∴时，，即，
时，，即，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，
∴．
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，当时，，
求导得，由，得，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2）函数，，，
设，，求导得，函数在上单调递减，
则，即，因此，
令，，求导得，
令，，求导得，当时，，
当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
则，即，因此函数在上是增函数，，
所以，即实数的取值范围为.
【典例4-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，函数．
(1)若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处的切线与函数在点B处的切线相互平行或重合，求a的取值范围；
(2)函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，，
所以，，
所以，；
因为在处的切线与在处的切线相互平行或重合，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的值域为，
所以，
所以，
所以a的取值范围为；
（2）因为，，
所以，
所以；
因为是的两个极值点，
所以，，所以；
因为，，
则由得：，
所以，即，
所以；
令，则；
令，
则；
①当时，恒成立，在上单调递增，
所以，即恒成立，满足题意；
②当时，若，则，所以在上单调递减，
此时，即，不合题意；
所以由不等式恒成立，可得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【变式4-1】已知函数．
(1)若函数，，讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数b的取值范围．
【解析】（1）由题，，
，
当时，，∴在上单调递增；
当时，若，则，若，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题知，恒成立，
即恒成立，∵，∴，
不等式两边同除以，得，
设，，则不等式恒成立．
∵，当时，，
当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．∵，当时，
，当时，，∴在上单调递增，
在上单调递减，∴，
∴，∴，∴实数b的取值范围为．
【变式4-2】（2024·山东济南·三模）已知函数，其中且．
(1)若是偶函数，求a的值；
(2)若时，，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意，，即，
解得，或（舍），经检验时，是偶函数，
所以a的值为；
（2）当时，，成立；
当且时，，，
又已证，故此时符合题意；
当时，，
因为函数都是增函数，
所以函数在上单调递增，且，
故存在，使得当时，，从而单调递减，
所以，存在，使得，此时不合题意．
综上所述，且．
【变式4-3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数的两个极值点分别为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题，定义域为．
则，
由题可得有两个不等实数根，
于是有两个不同的实数根，
等价于函数与图像在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又有极大值为，当时，，
所以可得函数的草图（如图所示）．
所以，要使函数与图像在有两个不同的交点，
当且仅当，即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：是方程的两个实数根，且，
则，
即，令，
令，则，
所以在上单调递增，且，所以，
于是，当时，有，即，
综上所述，，即的取值范围是．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）解：因为函数，可得，
所以，即曲线在点处的切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，
故实数的值为．
（2）解：由（1）知，
因为，所以由，即．
设，
则在上恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是．
【变式4-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，，所以，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
综上所述：在上为减函数，在上为增函数；
（2）若，不等式恒成立，
则对均成立，所以
令，
则，
令，显然为上的减函数，
又，
所以，，则在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
所以，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
题型五：洛必达法则
【典例5-1】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
函数在处取得极值，；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令，则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
【典例5-2】设函数.当时，，求的取值范围.
【解析】由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
【变式5-1】设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】，
若，则；
若，则等价于，即
则.
记，
因此，当时，，在上单调递减，且，
故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，
因此.
【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意的恒成立，求的范围.
【解析】（1），
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，符合题意，此时；
当时，因为恒成立，即恒成立，
令，则，
再令，则恒成立，
则在单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以
题型六：同构法与朗博同构
【典例6-1】已知函数.
(1)若，判断的零点个数；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，定义域为，
令，可得，设，则，
令，得在上单调递增；
令，得，
在上单调递减，
.当时，；
当时，，从而可画出的大致图象，

①当或时，没有零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有两个零点.
（2）当时，不等式恒成立，
可化为在上恒成立，
该问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
即，即
①当时，，不等式恒成立；
②当时，令，显然单调递增，
且，故存在，使得，
所以，
即，而，此时不满足，
所以实数不存在.
综上可知，使得恒成立的实数的取值范围为.
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题知的定义域为，
由，得．
若，则，在上单调递减，
若，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上可得，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
设，则恒成立，
因为，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
所以恒成立，即，
因为，所以，，
所以实数的取值范围是．
【变式6-1】已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意知：定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，

则当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递减，无极值点；
当时，与有两个不同交点，
此时有两个变号零点，有两个极值点；
当时，与有且仅有一个交点，
此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；
综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.
（2）由题意知：当时，恒成立；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即，，
又恒成立，，即实数的取值范围为.
【变式6-2】（2024·海南海口·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为，
所以，∴令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又∵，∴当时，，∴，
∴函数在，上单调递减.
（2）∵，且，，∴，
∴，∴，∴.
∵，由（1）知，函数在上单调递减，
∴只需在上能成立，
∴两边同时取自然对数，得，即在上能成立.
令，则，
∵当时，，∴函数在上单调递增，
当时，，∴函数在上单调递减，
∴，∴，
又，∴，
∴实数的最大值为.
【变式6-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1），即，
函数在的切线的方程为，
代入得切线的方程为.
，
由切线的斜率为1，则令，解得：，
由，则函数在处的切线方程为，
代入得：，这与重合，所以得.
（2）由恒成立，等价于恒成立，
即：恒成立， 利用，
则令，则.
又，在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即.
令，所以，
因为当时，，所以在上的单调递增，
又因为当时，，所以在上的单调递减，
所以，即，
所以的取值范围是：.
【变式6-4】（2024·内蒙古·三模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为.
关于的方程，
当时，，，所以在上单调递增.
当时，，此时，
，所以在上单调递增.
当时，则是方程的两根.
又，所以，
令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，可得，即.
令，易知单调递增.
由，可得，则，即.
设，则，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
所以，则的取值范围为.
题型七：必要性探路
【典例7-1】（2024·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
【解析】（1）．
当时，，易知f(x)在R上单调递减．
当时，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
当时，令，可得且；令，可得，
∴在和上单调增，在上单调递减．
（2）当时，由，得
即，
令，则
∵，且，∴存在，使得当时，，
∴，即．
下面证明当时，对恒成立．
∵，且，
∴
设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴，∴，∴，
∴
综上，实数m的取值范围为．
【典例7-2】已知函数）在处的切线斜率为.
(1)求a的值；
(2)若，，求实数m的取值范围.
【解析】（1），
，
，，，.
（2）由（1）可知，，
由，得，
令，则，
，且，存在，使得当时，，
，即；
下面证明当时，，
，且，
，
设，，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
，，，
；
当时，令，则，
设，则，且为单调递增函数，
由于，故，仅在是取等号，
故在上单调递增，，故，即，
则在上单调递增，而，
当时，递增的幅度远大于递增的幅度，，
故必存在，使得，则时，，
故在上单调递减，则，与题意不符；
综上，实数m的取值范围为.
【变式7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的零点个数；
(2)已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）解：因为函数的定义域为，
可得，
又因为，
当时，，所以在上为增函数，
当时，；当时，，
所以存在，使得，
所以，当时，的零点个数为.
（2）解：由，
则.
当时，恒成立，所以，所以，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，，
所以，在是增函数，所以，
故若在上恒成立，则，所以实数的取值范围为.
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求的单调区间.
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，定义域为，
令，即，即，
解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）记，则，
所以，
根据题意原题可化为：在时恒成立，求的取值范围；
因为，所以在时恒成立的必要条件为，
即，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以有，即在上恒成立，
令，当时，有，
所以在上恒成立，
因为，不等式两边同时乘以，
有在上恒成立，
即在上恒成立，
即时，在上恒成立，
综上，是在时恒成立的充要条件，
所以的取值范围为.
【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，，又，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
即的单调减区间为，单调增区间为.
（2）设，则.
关于对称，不妨研究时的图象性质.
.
令，显然时，，
下面证明时，：
.
，
，则此时，
在上单调递增，则，
综上，时，均有，
在上单调递增，
.
.
【变式7-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，令，
则，
当时，，在单调递减，即在单调递减，
且，，
，使，
在单调递增，单调递减；
，，
在有1个零点；
（2），注意到，要使，则须满足，即，得．
下证：当时，，均有．
当时，
此时在单调递减，此时．
当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾．
综上所述：要使成立的的取值范围为：．
【变式7-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若，，求实数的取值范围.
【解析】（1）时，，，
因为，有，，所以，
于是函数在上单调递增.
（2）解法一：
，即.
因为，所以，于是.
令，则.
当时，，，，，
则有，
于是，所以在上是增函数，，所以.
即实数的取值范围为.
解法二：
令，.
当时，，在上是增函数，.
当时，，而，不满足条件；
当时，在上恒成立；
当时，，，在上恒成立.
综上：，即实数的取值范围为.
解法三：令，由得.
下证当时，.
因为且，，，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【变式7-6】（2024·重庆·三模）已知函数.
(1)若，求在点处的切线方程，并求函数的单调区间:
(2)若在定义域上的值域是的子集，求实数的取值范围.
【解析】（1）解：当时，可得，则，
所以，且，即切线的斜率为，切点为，
则在点处的切线方程为，即，
令，可得；令，可得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）解：若定义域区间，由值域区间是定义域的子集，
则且，即，
即，解得；
由，可得，
令，即，可得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以，解得，
下面证明，即，即，
令，可得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，所以，
所以，
因为，所以，则，
又因为，所以，即，
综上可得，实数的取值范围.
题型八：max，min函数问题
【典例8-1】已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），,
当时，，，则；
当时，，，则，
当时，．
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，．
（2）函数的定义域为，
由（1）得，当时，，又，
所以当时，恒成立．
由于当时，恒成立，
故等价于：当时，恒成立．
，．
当时，，，故；
当时，，，故．
从而当时，，单调递增．
①若，即，则当时，，单调递减，
故当时，，不符合题意；
②若，即，取，
则，且，
故存在唯一，满足，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
若，则当时，单调递增，，不符合题意；
若，则，符合题意，此时由得；
若，则当时，单调递减，，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数满足题意．
【典例8-2】已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，．
(1)求的单调区间；
(2)求的值；
(3)定义函数，在上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（1），
令，则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）,
设曲线的切点为，
则，解得.
（3）令，则，
当时，，所以，
设，则，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
所以，
所以，在单调递减，
当时，，故，
在单调递减，综上，在单调递减.
,
所以有一个零点，设为，则，
当时，，
当时，，且，
因为在上单调递增，则在恒成立，
当时，恒成立，
令，
，所以在单调递减，单调递增；
.
当时，由上可知，，
所以恒成立，合题.
综上所述：.
【变式8-1】已知函数，，设表示，的最大值，设.
(1)讨论在上的零点个数；
(2)当时，求的取值范围.
【解析】（1），令，则，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
①当时，在上单调递增，，无零点；
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
∴，而，，
∴，使得，∴在上有且只有一个零点.
综上所述，当时，在上无零点；
当时，在上有且只有一个零点.
（2）①当时，在上恒成立，显然；
②当时，若，；若，.
∴等价于在上恒成立.
∵，∴.
令，则；令，则.
∴在上单调递减，在上单调递增，
不妨令，则，则.
令，，易得在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，故，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴
，
令，∴，
∴在上单调递减，而，
∵在上恒成立，
∴，∴，即，
∴，
综上所述，的取值范围为.
【变式8-2】已知函数，，其中.
(1)证明：当时，；当时，；
(2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由.
【解析】（1），.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，
存在，使得，根据余弦函数的单调性可知，
在上递增，故当，，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
【变式8-3】已知为实数，函数.
(1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；
(2)讨论函数在上的零点个数；
(3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围.
【解析】（1），
因为函数在处的切线斜率为2，
所以；
（2），
令，
，
令，解得.
①当，即时，在恒成立，
在为严格增函数，
，
由零点存在定理知在上有唯一零点.
②当时，在恒成立，
在为严格增函数，
，故在恒成立，没有零点.
③当时
最小值，无零点.
综上，时有一个零点，时没有零点.
（3）当时，，
根据题中定义显然有.
当时，
时，，
根据题中定义显然有；
时，
根据题中定义显然有.
下考虑时的情况.
，
由解得，且
最小值.
令，则在为严格增函数.
①时，
，故，
故的最小值；
②时，
故在上的最小值，
而在上，，即在上，
此时.
综上，.
题型九：构造函数技巧
【典例9-1】已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【解析】（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
【典例9-2】已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
【解析】（1）[方法一]:判别式法
由可得在R上恒成立，
即和，
从而有即，
所以，
因此，．所以．
[方法二]【最优解】：特值+判别式法
由题设有对任意的恒成立.
令，则，所以.
因此即对任意的恒成立，
所以，因此.
故.
（2）[方法一]
令，.
又.
若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.
当时，，符合题意.
当时， 在上递减，在上递增，则，
即，符合题意.
综上所述，.
由
当，即时，在为增函数，
因为，
故存在，使，不符合题意.
当，即时，，符合题意.
当，即时，则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
[方法二]【最优解】：特值辅助法
由已知得在内恒成立；
由已知得，
令，得，∴(*)，
令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴当时在内恒成立；
由在内恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.
∴的取值范围是.
（3）[方法一]：判别式+导数法
因为对任意恒成立，
①对任意恒成立，
等价于对任意恒成立.
故对任意恒成立.
令，
当，，
此时，
当，，
但对任意的恒成立.
等价于对任意的恒成立.
的两根为，
则，
所以.
令，构造函数，，
所以时，，递减，.
所以，即.
[方法二]：判别式法
由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立．
（事实上，直线为函数的图像在处的切线）
同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立． ②
当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）；
当时，，从而或，又，从而成立；
当时，由①式得或，又，所以．
当时，将②式看作一元二次方程，进而有．
由，得，此时②式的解为不妨设，从而．
综上所述，．
[方法三]【最优解】：反证法
假设存在，使得满足条件的m，n有．
因为，所以．
因为，所以．
因为对恒成立，所以有
．则有
， ③
， ④
解得．
由③+④并化简得，．
因为在区间上递增，且，
所以，．
由对恒成立，即有 ⑤
对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有．
设，则，
所以在区间上递减，所以，即．
设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾．从而．
由均为偶函数．同样可证时，也成立．
综上所述，．
【整体点评】（1）的方法一利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质，使用判别式得到不等式组，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判别式进一步求解，简化了运算，是最优解；（2）中的方法一利用导数和二次函数的性质，使用分类讨论思想分别求得的取值范围，然后取交集；方法二先利用特殊值进行判定得到，然后在此基础上，利用导数验证不等式的一侧恒成立，利用二次函数的性质求得不等式的另一侧也成立的条件，进而得到结论，是最优解；（3）的方法一、方法二中的分解因式难度较大，方法三使用反证法，推出矛盾，思路清晰，运算简洁，是最优解.
【变式9-1】已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
，
的图像在处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意得，因为函数，
故有，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故，
由，得
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为.
解法二：因为函数，
故有，等价转化为：，
构造，
，所以可知在上单调递减，在上单调递增，
，即成立，令，
令， 在单调递增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
当时，可知恒成立，即此时不等式成立；
当时，又因为，
所以，与不等式矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
【变式9-2】已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
设
又，∴在上单调递增，
又，∴当时，当时，
∴的单调递增区间为.
（2）对函数求导得，，令，
则，∴在上单调递增，
又，当时，
故存在唯一正实数使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，
由恒成立，得，
由得，∴
∴，∴，
∴，
设，则恒成立，
故在上单调递增，而，
∴，
又且函数在上是增函数，
故的取值范围为
法2：同法一得，
由得，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴，
故的取值范围为
【变式9-3】已知函数．
(1)判断的导函数的零点个数；
(2)若，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且，
因为，则有：
当时，恒成立，在内无零点；
当时，构建，则恒成立，
则在上单调递增，
由于，取，
则，
，
故在内有且仅有一个零点，即在内有且仅有一个零点；
综上所述：当时，在内无零点；
当时，在内有且仅有一个零点.
（2）由题意可知：，
由（1）可知：在内有且仅有一个零点，设为，
可得：当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为，
则，且
可得，
整理得，
构建，
则，
对于，由，可得，
所以，
则在上单调递增，且，
所以的解集为，
又因为在定义域内单调递减，
可得，所以，
故a的取值范围.
【变式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数）．
(1)若函数的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数为增函数，没有最大值；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
所以当时，，
解得：.
（2）由，得，
化简得：，
所以对于任意正数x，都有恒成立，
设，则，
令，则，可得为增函数，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以的最小值为，
由可得， ，两边同时取对数，
得，
令，显然为增函数，由，
得，所以，
所以.
所以，即.
故实数a的取值范围为：.
题型十：双变量最值问题
【典例10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】设，，
若，对任意和正数恒成立，
则，对任意和正数恒成立，
如图，
时，，对任意和正数不恒成立；
如图，
时，
，则，
设，解得，且，
∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，
由直线的点斜式方程可得切线方程为，
即，
若，对任意和正数恒成立，则
∴
∴，
设，
，
∴，，，
∴，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
【典例10-2】（2024·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【答案】C
【解析】因为对于，恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
所以.
所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以的最小值为.
故选：C
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
【变式10-1】若对于任意正实数，都有( 为自然对数的底数)成立，则的最小值是 .
【答案】0
【解析】因为对于任意正实数x都有成立，
不妨将 代入不等式中，得.
下面证明时满足题意，
令， ，则 .
由 ，得 ，函数在 上单调递增，在上单调递减，
所以，即对任意正数x都成立，
即，时满足题意，所以的最小值为0.
故答案为:0
【变式10-2】已知函数，，其中
(1)若，且的图象与的图象相切，求的值；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值.
【解析】（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，
又，所以，解得，.
（2）因为等价于，令，
当时，对于任意正实数恒成立，单调递增，
故由得，此时
当时，由，得，
又当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以当时，有最小值，
所以，即，所以，
令，则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，故，所以的最大值为1，此时，
综上所述，的最大值为1.
【点睛】本题考查了切线问题和利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，其中分类讨论和将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.
【变式10-3】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点(1，0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；
（3）若恒成立，求的最大值．
【解析】（1）由题意知，则．
令得，所以在上单调递增．
令得，所以在上单调递减．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，得，
由曲线在处的切线为，可知，且，
所以
（3）设，则恒成立．
易得
（i）当时，因为，所以此时在上单调递增．
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取即且，
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
(ii)当时，令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增．
要使得“恒成立”，必须有
“当时， ”成立．
所以．则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，
从而，当时， 的最大值为．
题型十一：恒成立问题求参数的具体值
【典例11-1】已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
【解析】（1）当时，
．
因为，所以．
所以在区间上的单调递增．
（2），
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递减，
所以当时，，不满足题意
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递增，
所以当时，，不满足题意
所以．
下面证明时，
由（1）知，在区间上的单调递增，
所以当时，
所以只要证明.
令
令，
则
①当时，，得
所以，所以，
所以在区间上单调递增
且，
所以，使得.
且当时，；当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
且，
所以当时，
所以在区间上单调递减，
所以当时，
②当时，
因为，所以，所以
所以在区间上单调递减
且
所以，使得
当时，；当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减
且
所以当时，
综上，的值为1.
【典例11-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)证明：时，；
(2)求函数在内的零点个数；
(3)若，求的取值范围.
【解析】（1）令，则，
所以在单调递增，所以，
所以时，；
再令，则，
所以在单调递增，所以，
所以时，.
综上所述，时，.
（2），
，
①时，由（1）知，
，在没有零点；
②时，，所以是函数的零点；
③当时，，
令，则，
则函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递减，则，在没有零点；
④当，，没有零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
（3）由（2）知，当时，，
令
，
则，令
，故单调递增，
①当时，，
，
使得，
当时，，单调递减，不符合题意；
②当时，，若时，总有（不恒为零），
则在上为增函数，
但，故当时，，不合题意.
故在上，有解，故，使得，
又在时单调速增，所以当时，，单调递增，
故当时，，不符合题意，故不符合题意；
③当时，，由于单调递增，，
故时，，单调递减；
时，，单调递增，此时，
当时，；
综上可得，.
【变式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值集合.
【解析】（1）由，得，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，，得，
若，则显然，不符合题意，
若，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
则，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当满足时，，
所以的取值集合为.
【变式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值
【解析】（1）定义域为，由，得，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）定义域为，，
①当时，，不符合题意．
②当时，令，解得，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为．
所以.
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数（其中），.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）时，，，
，故，
故函数在点的切线方程为，即
（2）时，恒成立，
故，
令，定义域为，
则，令，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，的取值范围是.
2．（2024·甘肃酒泉·三模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
即对任意恒成立，
令，，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若为增函数，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，即，所以切点坐标为，
又因为，则，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）因为函数定义域为，且，
为上的增函数等价于在上恒成立，
由可得，令，
所以只需，求导可得，
令，则，
即是上的减函数，又，
故是的唯一零点，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取得极大值且为最大值，，
所以，当时，不恒为0，满足题意.
所以的取值范围是.
4．（2024·广西·模拟预测）设函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：．
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，
令，得，
令
因为，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，
所以当时，；
当时，，
所以函数的单调递减区间为，
单调递增区间为．
（2）证明：，
即，
的定义域为，
且．
在上单调递增，
当时，在上单调递增，
故在上单调递增，
又，当趋近于0时，，
根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点，
设该零点为．
当时，；
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值．
则，即，即，
两边同时取对数得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故当时，，
即．
5．（2024·江西·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间；
(3)已知，且，证明：对任意的，．
【解析】（1），
则．
因为，所以，
解得，．
（2）．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，无单调递减区间．
（3）证明：由，可得．
又，所以．
因为，，所以只需证明，，
即证明，．
先证明，即，令，
则，所以在上单调递增．
只需证，，
即，．
令，，则，
所以，故．
再证明，即．同理，只需证明，
即．
令，，则．
令，，则，所以在上单调递增．
又因为，，
则存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，所以，故．
综上，对任意的，．
6．（2024·河南·三模）已知函数.
(1)如果，求曲线在处的切线方程；
(2)如果对于任意的都有且，求实数满足的条件.
【解析】（1）当时，，
记，则，
所以切线方程为，即；
（2），且，
，
所以有，
，
，令，
，
，
如果在上单调递减，
即有在上单调递减，此时与矛盾，故，
令，
则，因为，
所以在上单调递减，，
而，
故由零点存在定理，可知存在，使得，
也就是当时，，当时，，
进一步分析可知存在，使得在上单调递增，
在上单调递减，
要使得恒成立，必有，
，
，因为，
所以由，
如果，此时在上单调递增，
，满足题意，
如果在上单调递增，在上单调递减，
要使恒成立，必有，
所以当时，恒成立，
综上有.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数先推导出时的的取值范围，再推导出时的的取值范围，综合两者所得即可得解.
7．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，.
令，解得.
与在区间上的情况如下：
故的增区间为，减区间为.
（2）当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立，
令，，则，.
当时，，所以在区间上单调递减.
当时，，所以在区间上单调递增.
而，，
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.
综上所述，满足题意的实数的取值范围是.
8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数，
(1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线与曲线，分别切于点，，其中．
①求证：；
②已知对任意恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，其中，
设，其中，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，；
令，其中，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）①因为，，则，，
所以，直线可表示为，即，
直线的方程也可表示为，即，
故有，所以，，
所以，，即，
设，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，，所以，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
因为，则，，
所以，函数在上无零点，
因为，所以，存在，使得，
所以，，则；
②由①可知，，当时，，
由可得，
设，其中，则对任意的恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，，解得，
故实数的取值范围是.
10．（2024·黑龙江·三模）设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若为正数，且存在，使得求的取值范围.
【解析】（1）
①当时，，在上单调递增;
②当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，由上问知的最小值为
由题意得即
令则
所以在上单调递增，又
所以时，，于是
当时，，于是
故的取值范围为.
11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；
(2)若，当时，，求的取值范围．
【解析】（1），当时，，当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
令，作出与的大致图象如图所示，
因为存在唯一的负整数，使得，则，
故，即，解得，
故的取值范围为．
（2）根据题意，对恒成立，
等价于对恒成立，
令，则有，
令，
则，所以在上单调递增，
又时，时，，
从而存在唯一的，使得，
即，
可得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
故原不等式恒成立只需，
即．
构造函数，
可得，
当时，令，因为，
从而可得在时恒成立，又，
所以的解集为，
又因为，
令，易得在定义域内单调递减，
所以，所以，
故的取值范围为．
12．（2024·福建厦门·三模）已知函数.
(1)若，设，讨论函数的单调性；
(2)令，若存在，使得，求的取值范围.
【解析】（1）.
∴.
令，
则，
令，解得，
令，解得，
在上单调递增，在上单调递减.
∴，即
∴在和上单调递减.
（2）函数的定义域为，，
∴.
①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，
∴存在，使得的充要条件是，即，
解得；
②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去.
③若时，，成立.
综上可得：的取值范围是.
13．（2024·云南昭通·模拟预测）设函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）时，函数的定义域为，
因为，所以，当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）函数的定义域为，
等价于，
设，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，当，当，
所以，使得，即，所以，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，
设，则，而恒成立，
所以为增函数，
由，所以.
因为均为减函数，所以在上为减函数，
所以，当时，，所以实数的取值范围为
14．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则存在，使得当时，，
令，即有，恒成立，
求导得，令，，
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以的取值范围是.
15．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意，存在，使得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，因此，
故的取值范围为．
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)，，求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，显然成立，此时可为任意实数；
当时，由，在上恒成立，得，
令，，
则，
设，由（1）可知，在上单调递增，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
则，所以，
综上，实数的取值范围为.
18．（2024·江西·二模）设函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减；
当时，令，则，
所以时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式，
化简得，
设，，
则，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上，，且，，
当，即时，，
在上单调递减，，不合题意，舍去；
当，即时，
若且，即，，
使得，当时，，在内单调递减，，不符合题意，舍去；
若且，即，，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以恒成立，符合题意；
若且，即，恒成立，
在上单调递增，则，符合题意.
综上，实数a的取值范围为.
19．（2024·安徽·三模）已知函数．
(1)求证：至多只有一个零点；
(2)当时，分别为的极大值点和极小值点，若成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由题意得，，
当时，令，解得，
①当时，，所以在上单调递增，
又，此时函数有唯一的零点；
②当时，，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
又，
则函数在区间上无零点，
在上至多只有一个零点，
所以函数 至多只有一个零点；
③当时，，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
又，
则函数在上至多只有一个零点，在区间上无零点，
所以函数至多只有一个零点，
综上，函数至多只有一个零点；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
此时，
因为，所以，
因为，所以，所以,
所以，即，
设，则，
令，则，
①当时，，此时恒成立，则在上单调递增，
所以，此时，
②当时，，设的两个根为，且，
则，所以，
则当时，，此时在上单调递减，
所以当时，，此时，与 矛盾，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
20．（2024·四川雅安·三模）已知函数.
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，
，
在上单调递增，，
的值域为
（2）法一：令，
①当时，在上恒成立.
②当时，
，
在上单调递增，成立.
③当时，，
，
在上单调递增，即在上单调递增，
，
存在使得当时，故在上单调递减，
则，不合题意.
④当时，令，
则，
在上单调递增，即在上单调递增，
，即在上单调递增，成立.
综上，的取值范围是.
法二：令，
，
令得.
①当时，，
令，
，
单调递增，故
在上单调递增，恒成立.
②当时，，
，使，这与恒成立矛盾.
综上，.
21．（2024·北京海淀·二模）已知函数.
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，.
①.
所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为.
所以函数恰有一个零点.
（2）由得.
设，则.
所以是上的减函数.
因为，
所以存在唯一.
所以与的情况如下：
所以在区间上的最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
22．（2024·辽宁·二模）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
在处的切线为，，
解得：，.
（2）由得：，
令，则当时，恒成立；
；
①当时，，，，
在上单调递减，，不合题意；
②当时，，
i.当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
ii.当，即时，
若，则，在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
23．（2024·北京通州·二模）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【解析】（1）因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
24．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】（1）由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为，即．
（2）当时，等价于，
令，，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意．
综上所述，．
25．（2024·天津·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由，可知，
因为在处的切线斜率为2，
所以，所以，．
（2）证明：当时，，要证，
即证，两边取对数得，，
即证，
令，只需证即可．
．
所以，在上单调递减．
所以，成立，
所以，.
（3）若在区间上恒成立，
即在区间上恒成立．
令．则，
令，，因为，
所以，所以，
所以在时单调递增．
可知．
当时，，即，所以在时单调递增．
所以成立．
当时，，
当时，，
所以使得．
当时，，即，所以此时单调递减；
当时，，即，所以此时单调递增；
所以，不成立，舍去．
综上，．
26．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，若曲线不在轴的上方，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，且，
故在点处的切线方程为：，
即.
（2）曲线不在轴的上方，即恒成立，
且
设
设
设
时，
故存在，在区间上，在上递增，
故时，，即在上递增，
故时，，即在上递增，
故时，，不满足 恒成立，舍去.
时，，故
设，则，故单调递减，
所以，
故
所以单调递减，故恒成立.
综上得：实数的取值范围为.
27．（2024·江西南昌·二模）已知且.
(1)当时，求证：在上单调递增;
(2)设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
【解析】（1）当时，，
则，
令，则，两边取对数得.
设，则，
所以在单调递增，
所以时，即时，，
所以时恒成立，即，
所以在上单调递增.
（2）法一:
，即，两边取对数得:，即.
设，则问题即为：当时，恒成立.
只需时，.
，令得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又因为，则，所以时，单调递减，
所以时，，
所以即.
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
当时，，时，，
所以的图象与轴有1个交点，设这个交点为，
因为，所以；
所以当时，，
即当时，不等式，
所以当不等式在恒成立时，.
即实数的取值范围为.
法二：，即，两边取对数得：，即
设，令得，
当时，，单调递减.
又因为，所以，在单调递减，
由，则在恒成立，即，
上式等价于，即，
由在单调递减，所以.
即实数的取值范围为.
-
0
+
极小值
-
0
+
极小值
x
-
0
+
极小值
+
0
↗
极大值
↘
+
0
-
极大
x
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减