高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第一课时集合学案

这是一份高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第一课时集合学案，共18页。学案主要包含了教师备选资源，教师备用等内容，欢迎下载使用。

【教师备选资源】
第1课时 集合
[考试要求] 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
考点一 集合的基本概念
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示．
3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．数学中一些常用的数集及其记法
[典例1] (1)(2024·安徽淮南校考期中)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为( )
A．1 B．5
C．6 D．无数个
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
(1)C (2)－32 [(1)由x＋y≤2，x，y∈N，则(x，y)可为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，
所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共6个元素．
故选C．
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－32．
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－32．]
本例(1)验证条件“x∈N，y∈N，x＋y≤2”是求解的关键，同时注意集合A是点集；
本例(2)在求解中易忽视集合中元素的互异性，导致增解．
跟进训练1 (1)设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝( )
A．{1，2，5} B．{2，5}
C．{2，3，5，7，10} D．{1，2，3，5，7，10}
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
(1)B (2)C [(1)由题意知A＝{1，2，5，10}，B＝{2，3，5，7}，所以A∩B＝{2，5}．
(2)∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性，舍去；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，
故a＝0．故选C．]
考点二 集合间的基本关系
1．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．
2．真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．
3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．
[典例2] (1)(2023·北京东城二模)已知集合A＝{x∈N|－1A．AB B．A＝B
C．B∈A D．B⊆A
(2)集合{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．29
(3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
(1)A (2)C (3)[－1，＋∞) [(1)A＝{x∈N|－1(2)因为集合{1，2，3，4，5}中含有5个元素，
所以集合{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为25－2＝30．
故选C．
(3)①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠∅时，2m-1≤m+1，2m-1≥-3，m+1≤4，解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
本例(3)这类问题常借助数轴来直观解决，同时注意空集对题目求解产生的影响．
跟进训练2 (2023·辽宁沈阳校考三模)设集合A＝{1，2，3}，则满足A∪B＝{x∈N|x≤4}的集合B的个数是( )
A．7 B．8
C．15 D．16
B [A∪B＝x∈Nx≤4＝0，1，2，3，4，又A＝1，2，3，则B的元素必有0，4，
故B可以为如下8个集合中的任意一个：
{0，4}，{0，4，1}，{0，4，2}，{0，4，3}，{0，4，1，2}，{0，4，1，3}，{0，4，2，3}，{0，4，1，2，3}．
故选B．]
【教师备用】
(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝xx=k2，k∈Z，N＝xx=k+12，k∈Z，则( )
A．MNB．NM
C．M＝ND．M∩N＝∅
B [因为x＝k＋12＝2k+12，因为k∈Z，
所以2k＋1为奇数，故NM．故选B．]
考点三 集合的基本运算
[常用结论] A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．
[典例3] (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM
C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN
(1)C (2)D (3)A [(1)∵x2－x－6≥0，
∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2，
N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则M∩N＝{－2}．
故选C．
(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤-a2，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．
则－a2≥2，得a≤－4．故选D．
(3)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，
所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．]
注意数形结合思想的应用，集合运算中常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
跟进训练3 (1)(2023·山东菏泽校考)设全集U是实数集R，M＝xx≥3，N＝x2A．{x|2C．{x|2(2)(2024年1月九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．
(1)C (2)5 [(1)由题干图可知阴影部分表示
N∩(∁UM)，
由M＝{x|x≥3}，得∁UM＝{x|x<3}，
因为N＝{x|2所以N∩(∁UM)＝{x|2故选C．
(2)由A∩B＝A，则A⊆B，
由x-3≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有4≤m+3，-2≥-m+3，即m≥1，m≥5，即m≥5，
即m的最小值为5．]
【教师备用】
(2023·广东茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()
A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．(－∞，2)D．(－∞，2]
A [集合A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝x│x要使A⊆B，只需1解得a>2．故选A．]
课后习题(一) 集合
1．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是( )
A．1∈A B．{－1}⊆A
C．∅⊆A D．{－1，1}∉A
[答案] ABC
2．(北师大版必修第一册P7例4改编)集合A＝{2，3，4}的子集有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．9个
C [A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C．]
3．(人教A版必修第一册P35T9改编)已知集合M＝{1，3，m2}，N＝{1，m＋2}，若M∩N＝N，则实数m＝________．
2 [因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以m＋2∈M．
当m＋2＝3，即m＝1时，M＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；
当m＋2＝m2时，m＝－1(舍去)或m＝2，此时M＝{1，3，4}，N＝{1，4}，符合题意．
综上，实数m＝2．]
4．(湘教版必修第一册P12习题1.1T10改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．
{x|x≤2，或x≥10} {x|2所以A∪B＝{x|2所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
(∁RA)∩B＝{x|25．(2023·山东威海二模)已知全集U＝{x|0A．1∉A B．2∈A
C．3∉A D．4∈A
D [因为U＝{x|0所以A＝{x|06．(2024·潮州模拟)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝( )
A．[1，3] B．(2，3]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
C [由x2－4x＋3≤0，得(x－3)(x－1)≤0，解得1≤x≤3，
所以B＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，
又A＝{x|x>2}，
所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≥1}．]
7．(2023·山东济宁三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，则集合A∩B中的元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [因为A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，
又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2个元素．故选C．]
8．已知集合A＝{x|x≥3，或x≤－1}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的最大值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
C [因为A∪B＝{x|x≥3，或x≤－1}∪{x|x≥a}＝R，
则a≤－1，则实数a的最大值为－1．故选C．]
9．(多选)(2023·山东潍坊一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则( )
A．P⊆M B．M∩P＝M
C．N∪P＝P D．M∩∁PN＝∅
BC [由M∩N＝N，可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误；
由M⊆P，可得M∩P＝M，故选项B正确；
因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确；
由N⊆M，可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC．]
10．(2024·湖南校联考模拟预测)定义集合A÷B＝zz=xy，x∈A，y∈B．已知集合A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，则A÷B中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，
所以A÷B＝{1，2，4，8}，
故A÷B中元素的个数为4．
故选B．]
11．(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x-1}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可)
{x|1≤x≤4}(答案不唯一) [A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，
若ACB，则可有C＝{x|1≤x≤4}．]
12．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m＝________．
0或3 [因为A∪B＝A，所以B⊆A．
因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3．
当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．
综上，m＝0或3．]
阶段提能(一) 集合
1．(北师大版必修第一册P12习题1-1B组T4)已知全集U＝{x∈N|0≤x≤6}，A⊆U，B⊆U，∁U(A∪B)＝{0}，A∩B＝∅，写出3组满足条件的集合A，B．
[解] U＝{x∈N|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，
A⊆U，B⊆U，∁U(A∪B)＝{0}⇒A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，①
A∩B＝∅，②
由①②可写出以下3组满足条件的集合A，B：
(1)A＝{1}，B＝{2，3，4，5，6}，
(2)A＝{1，2}，B＝{3，4，5，6}，
(3)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}．
2．(湘教版必修第一册P8例7)设U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0[解] 由条件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}，
因此∁UA＝{6，7，8，9，10，11，12}，
∁UB＝{1，2，3，4，5，6，12}．
3．(湘教版必修第一册P12习题1.1T11)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，求集合B中元素的个数．
[解] ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，
∴0≤x＋y≤4，且x≥y，
∴集合B的元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(4，0)，共有9个元素．
4．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
[解] 设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，
只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，
则只参加游泳比赛的有15－3－3＝9(人)，
作出Venn图，如图所示，
由Venn图，得
3+x+y=8，3+x+z=14，9+3+3+x+y+z=28，
解得x=3，y=2，z=8，
所以同时参加田径比赛和球类比赛的人数为3，只参加游泳一项比赛的有9人．
5．(湘教版必修第一册P13习题1.1T16)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩(∁UB)＝{1，8}，(∁UA)∩B＝{2，6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，求集合A，B．
[解] 因为A∩(∁UB)＝{1，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，
所以[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩(∁UB)]
＝(∁UB)∩[A∪(∁UA)]
＝(∁UB)∩U＝{1，4，7，8}，
所以∁UB＝{1，4，7，8}，
因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以B＝{2，3，5，6}．
因为(∁UA)∩B＝{2，6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，
所以[B∩(∁UA)]∪[(∁UA)∩(∁UB)]
＝(∁UA)∩[B∪(∁UB)]
＝(∁UA)∩U＝{2，4，6，7}，
所以∁UA＝{2，4，6，7}，
因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以A＝{1，3，5，8}．
综上，A＝{1，3，5，8}，B＝{2, 3，5，6}．
6．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝( )
A．{1} B．{2}
C．{1，2} D．{1，2，3}
A [由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}．故选A．]
7．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝( )
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
A [由题意知，∁UN＝{2，4，8}，
所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．]
8．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝( )
A．2 B．1
C．23 D．－1
B [依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．]
9．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56%
C．46% D．42%
C [不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C．]
10．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
B [通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{1，2}，故选B．]
11．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜2} B．x13≤x＜2
C．{x|3≤x＜16} D．x13≤x＜16
D [M＝{x|0≤x＜16}，N＝xx≥13，
故M∩N＝x13≤x＜16．故选D．]
12．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．∅
A [法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A．
法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：集合．
常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算．
2．轮考点：常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式．
(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质的考查；
(2)全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别；
(3)不等式的性质主要体现在数(式)的大小比较；
(4)基本不等式主要体现在应用其求代数式的最值．
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
并集
交集
补集
图形表示
集合表示
A∪B＝{x|x∈A，
或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，
且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，
且x∉A}