高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第三课时不等式的性质与一元二次不等式学案
展开考点一 两个实数(式)比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a,b∈R.a-b<0⇔a(2)作商法ab>1⇔a>b,ab=1⇔a=b,(a∈R,b>0).ab<1⇔a(3)单调性法,适用于指数式、对数式的大小比较.
(4)中间值法,常用的中间值有0,1,-1等.
(5)特值法,此方法可在选择题中使用.
[典例1] (1)(2024·北京汇文中学校考模拟预测)如果a>b>0,那么下列不等式一定成立的是( )
A.|a|<|b| B.1a>1b
C.a-1aln b
(2)已知a>b>0,则aabb与abba的大小关系为________.
(1)D (2)aabb>abba [(1)因为a>b>0,
所以|a|>|b|>0,故A错误;
因为a>b>0,所以1a<1b,故B错误;
因为a>b>0,所以a-b>0,1ab>0,
故a-1a-b-1b=a-b+a-bab=(a-b)1+1ab>0,
所以a-1a>b-1b,C错误;
因为a>b>0,且y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以ln a>ln b,故D正确.
故选D.
(2)因为aabbabba=aa-bba-b=aba-b,
又a>b>0,故ab>1,a-b>0,
所以aba-b>1,即aabbabba>1,
又abba>0,所以aabb>abba.]
比较大小的问题,可以取满足题意的特值代入各项进行检验,如本例(1).
跟进训练1 (2024·北京101中学校考阶段练习)已知aA.ba>ab
B.a2>c2
C.lgc(-a)>lgc(-b)
D.12a>12c
D [A选项:ba-ab=b2-a2ab,又a0,故ba-ab<0,即ba
C选项:a-b>0,当0
故选D.]
考点二 不等式的概念和性质
1.不等式的性质
性质1 如果a>b,那么bb.→对称性
性质2 如果a>b,b>c,那么a>c.→传递性
性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.→可加性
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac
性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.→同向同正可乘性
性质7 如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).→正数的可乘方性
2.不等式的倒数和分数性质
(1)倒数性质
①a>b,ab>0⇒1a<1b;②a<0(2)分数性质
若a>b>0,m>0,则
①真分数性质:bab-ma-m(b-m>0);
②假分数性质:ab>a+mb+m;ab
[典例2] (1)(2024·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是( )
A.若ac2≥bc2,则a≥b
B.若ca>cb,则aC.若a+b>0,c-b>0,则a>c
D.若a>0,b>0,m>0,且aab
(2)已知2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9,则z=11x+3y的取值范围是( )
A.z│53≤z≤893B.z│53≤z≤27
C.z│3≤z≤893D.z│3≤z≤27
(1)D (2)D [(1)对于A,若ac2≥bc2,当c=0时,a与b的大小关系无法确定,故A错误;
对于B,取a=1,c=1,b=-1,则满足ca>cb,但不满足a对于C,取a=-1,b=2,c=3,则满足a+b>0,c-b>0,但不满足a>c,故C错误;
对于D,若a>0,b>0,m>0,且a0,
所以a+mb+m-ab=ba+m-ab+mbb+m=mb-abb+m>0,即a+mb+m>ab,故D正确.故选D.
(2)设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),则11x+3y=(2m+5n)x+(3m-6n)y,
所以2m+5n=11,3m-6n=3,解得m=3,n=1,
于是11x+3y=3(2x+3y)+(5x-6y)
又6≤3(2x+3y)≤18,-3≤5x-6y≤9,
所以3≤3(2x+3y)+(5x-6y)≤27,即3≤11x+3y≤27.
故{z|3≤z≤27}.
故选D.]
本例(2)中求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“待定系数法”求得整体范围.
跟进训练2 已知a>b>c>0,下列结论正确的是( )
A.2ab(a-c)
C.1a-c>1b-c D.(a-c)3>(b-c)3
D [∵a>b>c>0,∴2a>b+c,故A错误;
取a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,
∴1a-c<1b-c,(a-c)3>(b-c)3,故C错误,D正确.故选D.]
考点三 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)fxgx>0(<0)⇔f (x)g(x)>0(<0);
(2)fxgx≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[典例3] (1)若集合M={x|x-1<2},N={x|2x2-5x+2≥0},则M∩N=( )
A.x12≤x<2
B.{x|1≤x<2}
C.{x|x≤12,或2≤x<5
D.{x|2≤x<5}
(2)已知不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-1
A.R B.∅
C.{x|-1
(1)D (2)D [(1)M={x│x-1<2}={x|1≤x<5},N={x|2x2-5x+2≥0}=x│x≤12,或x≥2,故M∩N={x|2≤x<5}.故选D.
(2)因为不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-1
故-ba=-1+2,-2a=-1×2,解得b=-1,a=1,
故不等式ax2+(b-1)x-3>0,即x2-2x-3>0,故(x-3)(x+1)>0,解得x<-1,或x>3.
故选D.]
在本例(2)中,应注意以下两点:
(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2是相应一元二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(2)若不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x
A.a<0
B.c>0
C.cx2+bx+a>0的解集为x│1n
AC [因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m
所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以A正确;
所以m+n=-ba,mn=ca,解得b=-m+na,c=mna,
因为m>0,m
又由于a<0,所以c=mna<0,所以B错误;
所以cx2+bx+a>0可化为mnax2-(m+n)ax+a>0,
即mnx2-(m+n)x+1<0,
即(mx-1)(nx-1)<0,
因为n>m>0,所以1n<1m,
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为x│1n
故选AC.]
课后习题(三) 不等式的性质与一元二次不等式
1.(人教A版必修第一册P55习题2.3T1改编)不等式2+x-x2<0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-2,1)
C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
A [不等式可变形为x2-x-2>0,
即(x-2)(x+1)>0,
解得x<-1或x>2,所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),故选A.]
2.(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0),若再添加m g糖(m>0)完全溶解在其中,则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大),根据这个事实,下列不等式中一定成立的有( )
A.abB.a+mb+mC.(a+2m)(b+m)<(a+m)(b+2m)
D.23b-1<13a-1
AB [对于A,由题意可知ab对于B,因为m<2m,所以a+mb+m对于C,a+mb+m对于D,取b=1,a=12,则231-1=2>1312 -1=3.
D错误.故选AB.]
3.(湘教版必修第一册P59习题2.3T11改编)若关于x的不等式ax2+bx+2<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+2<0的解集为( )
A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.-23,1 D.-∞,-23∪(1,+∞)
D [由ax2+bx+2<0的解集为(1,2),
可得a+b+2=0,4a+2b+2=0,则a=1,b=-3.
则bx2+ax+2<0即为-3x2+x+2<0,
即3x2-x-2>0,解得-∞,-23∪(1,+∞).故选D.]
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知-1(-6,5) [∵-3又-15.(2023·宜春市高三一模)设集合A={x|y=-x2+3x-2},B={x|lg2(x-1)<1},则A∩B=( )
A.{x|1≤x≤2} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1
由B={x|0
6.(2024·重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是( )
A.[-24,192] B.[-24,252]
C.[36,252] D.[36,192]
D [设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
所以m+n=7,m-n=5,解得m=6,n=1,
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).
又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],
所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192].
故选D.]
7.(2024·黑龙江省佳木斯高三阶段练习)不等式2x-13x+1>0的解集是( )
A.x│x<-13,或x>12
B.x│-13
D.x│x>-13
A [因为不等式2x-13x+1>0等价于(2x-1)(3x+1)>0,
所以x>12或x<-13.
故选A.]
8.(多选)(2024·湖南邵阳二中段考)如果a,b,c满足cA.ab>ac B.cb2>ab2
C.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0
ACD [由c0,c<0.对于A,由c0得ac
9.(2024·山东临沂模拟)已知函数f (x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2
C D
B [∵不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2
∴f (x)=ax2-x-c=-x2-x+2,∴f (-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交于点(-1,0),(2,0).故选B.]
10.(2024·广东深圳外国语模拟)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b B.a2>b2
C.ac2+1>bc2+1 D.a|c|>b|c|
C [当a=1,b=-2时,满足a>b,但1a>1b,a2
11.(2024·河北石家庄阶段练习)已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,则实数k的取值为( )
A.-2或6 B.6
C.-2 D.54
C [∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤54,
∴实数k的取值范围为k≤54,
根据根与系数的关系可得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1,
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,
解得k=-2或k=6 (不符合题意,舍去),
∴实数k的值为-2.
故选C.]
12.若不等式ax2+bx+c≥0的解集为[1,3],则不等式ax+ccx+b≥0的解集为( )
A.(-∞,-3]∪43,+∞
B.(-∞,-3]∪43,+∞
C.-3,43
D.-3,43
B [因为由不等式ax2+bx+c≥0的解集为[1,3],
所以a<0,方程ax2+bx+c=0的两根为1和3,
由根与系数的关系得-ba=1+3=4,ca=1×3=3,则ba=-4,ca=3.
所以不等式ax+ccx+b≥0可化为x+cacax+ba≥0,即x+33x-4≥0,
所以(x+3)(3x-4)≥0且3x-4≠0,解得x≤-3或x>43,
所以ax+ccx+b≥0的解集为(-∞,-3]∪43,+∞.]
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx
+c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=
0(a>0)的根
有两个不相
等的实数根
x1,x2(x1
的实数根
x1=x2=-b2a
没有
实数根
ax2+bx+
c>0(a>0)
的解集
{x|x>x2或x
R
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1
∅
高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第四课时基本不等式学案: 这是一份高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第四课时基本不等式学案,共22页。
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