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    高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第三课时不等式的性质与一元二次不等式学案

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    这是一份高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第三课时不等式的性质与一元二次不等式学案,共14页。

    考点一 两个实数(式)比较大小的方法
    (1)作差法a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a,b∈R.a-b<0⇔a(2)作商法ab>1⇔a>b,ab=1⇔a=b,(a∈R,b>0).ab<1⇔a(3)单调性法,适用于指数式、对数式的大小比较.
    (4)中间值法,常用的中间值有0,1,-1等.
    (5)特值法,此方法可在选择题中使用.
    [典例1] (1)(2024·北京汇文中学校考模拟预测)如果a>b>0,那么下列不等式一定成立的是( )
    A.|a|<|b| B.1a>1b
    C.a-1aln b
    (2)已知a>b>0,则aabb与abba的大小关系为________.
    (1)D (2)aabb>abba [(1)因为a>b>0,
    所以|a|>|b|>0,故A错误;
    因为a>b>0,所以1a<1b,故B错误;
    因为a>b>0,所以a-b>0,1ab>0,
    故a-1a-b-1b=a-b+a-bab=(a-b)1+1ab>0,
    所以a-1a>b-1b,C错误;
    因为a>b>0,且y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以ln a>ln b,故D正确.
    故选D.
    (2)因为aabbabba=aa-bba-b=aba-b,
    又a>b>0,故ab>1,a-b>0,
    所以aba-b>1,即aabbabba>1,
    又abba>0,所以aabb>abba.]
    比较大小的问题,可以取满足题意的特值代入各项进行检验,如本例(1).
    跟进训练1 (2024·北京101中学校考阶段练习)已知aA.ba>ab
    B.a2>c2
    C.lgc(-a)>lgc(-b)
    D.12a>12c
    D [A选项:ba-ab=b2-a2ab,又a0,故ba-ab<0,即baB选项:当a=-1,c=2时,a2>c2不成立,错误;
    C选项:a-b>0,当0D选项:由a<01>12c,正确.
    故选D.]
    考点二 不等式的概念和性质
    1.不等式的性质
    性质1 如果a>b,那么bb.→对称性
    性质2 如果a>b,b>c,那么a>c.→传递性
    性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.→可加性
    性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.→同向可加性
    性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.→同向同正可乘性
    性质7 如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).→正数的可乘方性
    2.不等式的倒数和分数性质
    (1)倒数性质
    ①a>b,ab>0⇒1a<1b;②a<0(2)分数性质
    若a>b>0,m>0,则
    ①真分数性质:bab-ma-m(b-m>0);
    ②假分数性质:ab>a+mb+m;ab0).
    [典例2] (1)(2024·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是( )
    A.若ac2≥bc2,则a≥b
    B.若ca>cb,则aC.若a+b>0,c-b>0,则a>c
    D.若a>0,b>0,m>0,且aab
    (2)已知2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9,则z=11x+3y的取值范围是( )
    A.z│53≤z≤893B.z│53≤z≤27
    C.z│3≤z≤893D.z│3≤z≤27
    (1)D (2)D [(1)对于A,若ac2≥bc2,当c=0时,a与b的大小关系无法确定,故A错误;
    对于B,取a=1,c=1,b=-1,则满足ca>cb,但不满足a对于C,取a=-1,b=2,c=3,则满足a+b>0,c-b>0,但不满足a>c,故C错误;
    对于D,若a>0,b>0,m>0,且a0,
    所以a+mb+m-ab=ba+m-ab+mbb+m=mb-abb+m>0,即a+mb+m>ab,故D正确.故选D.
    (2)设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),则11x+3y=(2m+5n)x+(3m-6n)y,
    所以2m+5n=11,3m-6n=3,解得m=3,n=1,
    于是11x+3y=3(2x+3y)+(5x-6y)
    又6≤3(2x+3y)≤18,-3≤5x-6y≤9,
    所以3≤3(2x+3y)+(5x-6y)≤27,即3≤11x+3y≤27.
    故{z|3≤z≤27}.
    故选D.]
    本例(2)中求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“待定系数法”求得整体范围.
    跟进训练2 已知a>b>c>0,下列结论正确的是( )
    A.2ab(a-c)
    C.1a-c>1b-c D.(a-c)3>(b-c)3
    D [∵a>b>c>0,∴2a>b+c,故A错误;
    取a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,
    ∴1a-c<1b-c,(a-c)3>(b-c)3,故C错误,D正确.故选D.]
    考点三 一元二次不等式的解法
    1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
    2.分式不等式与整式不等式
    (1)fxgx>0(<0)⇔f (x)g(x)>0(<0);
    (2)fxgx≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
    [典例3] (1)若集合M={x|x-1<2},N={x|2x2-5x+2≥0},则M∩N=( )
    A.x12≤x<2
    B.{x|1≤x<2}
    C.{x|x≤12,或2≤x<5
    D.{x|2≤x<5}
    (2)已知不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-10的解集为( )
    A.R B.∅
    C.{x|-13}
    (1)D (2)D [(1)M={x│x-1<2}={x|1≤x<5},N={x|2x2-5x+2≥0}=x│x≤12,或x≥2,故M∩N={x|2≤x<5}.故选D.
    (2)因为不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-10,且x=-1与x=2为方程ax2+bx-2=0的两根.
    故-ba=-1+2,-2a=-1×2,解得b=-1,a=1,
    故不等式ax2+(b-1)x-3>0,即x2-2x-3>0,故(x-3)(x+1)>0,解得x<-1,或x>3.
    故选D.]
    在本例(2)中,应注意以下两点:
    (1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2是相应一元二次函数y=ax2+bx+c的零点.
    (2)若不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|xx2},或ax2+bx+c<0(a>0)的解集为{x|x1跟进训练3 (多选)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m0,则以下选项正确的有( )
    A.a<0
    B.c>0
    C.cx2+bx+a>0的解集为x│1nD.cx2+bx+a>0的解集为x│x< 1n,或x>1m
    AC [因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m0,
    所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以A正确;
    所以m+n=-ba,mn=ca,解得b=-m+na,c=mna,
    因为m>0,m0,
    又由于a<0,所以c=mna<0,所以B错误;
    所以cx2+bx+a>0可化为mnax2-(m+n)ax+a>0,
    即mnx2-(m+n)x+1<0,
    即(mx-1)(nx-1)<0,
    因为n>m>0,所以1n<1m,
    所以不等式cx2+bx+a>0的解集为x│1n所以C正确,D错误.
    故选AC.]
    课后习题(三) 不等式的性质与一元二次不等式
    1.(人教A版必修第一册P55习题2.3T1改编)不等式2+x-x2<0的解集为( )
    A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-2,1)
    C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
    A [不等式可变形为x2-x-2>0,
    即(x-2)(x+1)>0,
    解得x<-1或x>2,所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),故选A.]
    2.(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0),若再添加m g糖(m>0)完全溶解在其中,则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大),根据这个事实,下列不等式中一定成立的有( )
    A.abB.a+mb+mC.(a+2m)(b+m)<(a+m)(b+2m)
    D.23b-1<13a-1
    AB [对于A,由题意可知ab对于B,因为m<2m,所以a+mb+m对于C,a+mb+m对于D,取b=1,a=12,则231-1=2>1312 -1=3.
    D错误.故选AB.]
    3.(湘教版必修第一册P59习题2.3T11改编)若关于x的不等式ax2+bx+2<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+2<0的解集为( )
    A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
    C.-23,1 D.-∞,-23∪(1,+∞)
    D [由ax2+bx+2<0的解集为(1,2),
    可得a+b+2=0,4a+2b+2=0,则a=1,b=-3.
    则bx2+ax+2<0即为-3x2+x+2<0,
    即3x2-x-2>0,解得-∞,-23∪(1,+∞).故选D.]
    4.(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知-1(-6,5) [∵-3又-15.(2023·宜春市高三一模)设集合A={x|y=-x2+3x-2},B={x|lg2(x-1)<1},则A∩B=( )
    A.{x|1≤x≤2} B.{x|2≤x≤3}
    C.{x|1C [由-x2+3x-2=-(x-1)(x-2)≥0,可得1≤x≤2,故A={x|1≤x≤2},
    由B={x|0所以A∩B={x|1故选C.]
    6.(2024·重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是( )
    A.[-24,192] B.[-24,252]
    C.[36,252] D.[36,192]
    D [设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
    所以m+n=7,m-n=5,解得m=6,n=1,
    所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).
    又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],
    所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192].
    故选D.]
    7.(2024·黑龙江省佳木斯高三阶段练习)不等式2x-13x+1>0的解集是( )
    A.x│x<-13,或x>12
    B.x│-13C.x│x>12
    D.x│x>-13
    A [因为不等式2x-13x+1>0等价于(2x-1)(3x+1)>0,
    所以x>12或x<-13.
    故选A.]
    8.(多选)(2024·湖南邵阳二中段考)如果a,b,c满足cA.ab>ac B.cb2>ab2
    C.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0
    ACD [由c0,c<0.对于A,由c0得ac0,故C正确;对于D,ac<0,a-c>0,故ac(a-c)<0,故D正确.故选ACD.]
    9.(2024·山东临沂模拟)已知函数f (x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2A B
    C D
    B [∵不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2∴a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,则-2+1=1a,-2×1=-ca,∴a=-1,c=-2,
    ∴f (x)=ax2-x-c=-x2-x+2,∴f (-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交于点(-1,0),(2,0).故选B.]
    10.(2024·广东深圳外国语模拟)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是( )
    A.1a<1b B.a2>b2
    C.ac2+1>bc2+1 D.a|c|>b|c|
    C [当a=1,b=-2时,满足a>b,但1a>1b,a20,a>b,由不等式的性质得ac2+1>bc2+1,C正确;当c=0时,a|c|>b|c|不成立,排除D.故选C.]
    11.(2024·河北石家庄阶段练习)已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,则实数k的取值为( )
    A.-2或6 B.6
    C.-2 D.54
    C [∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,
    ∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤54,
    ∴实数k的取值范围为k≤54,
    根据根与系数的关系可得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1,
    ∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
    ∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,
    解得k=-2或k=6 (不符合题意,舍去),
    ∴实数k的值为-2.
    故选C.]
    12.若不等式ax2+bx+c≥0的解集为[1,3],则不等式ax+ccx+b≥0的解集为( )
    A.(-∞,-3]∪43,+∞
    B.(-∞,-3]∪43,+∞
    C.-3,43
    D.-3,43
    B [因为由不等式ax2+bx+c≥0的解集为[1,3],
    所以a<0,方程ax2+bx+c=0的两根为1和3,
    由根与系数的关系得-ba=1+3=4,ca=1×3=3,则ba=-4,ca=3.
    所以不等式ax+ccx+b≥0可化为x+cacax+ba≥0,即x+33x-4≥0,
    所以(x+3)(3x-4)≥0且3x-4≠0,解得x≤-3或x>43,
    所以ax+ccx+b≥0的解集为(-∞,-3]∪43,+∞.]
    判别式
    Δ=b2-4ac
    Δ>0
    Δ=0
    Δ<0
    二次函数
    y=ax2+bx
    +c(a>0)
    的图象
    一元二次方程
    ax2+bx+c=
    0(a>0)的根
    有两个不相
    等的实数根
    x1,x2(x1有两个相等
    的实数根
    x1=x2=-b2a
    没有
    实数根
    ax2+bx+
    c>0(a>0)
    的解集
    {x|x>x2或xx│x≠-b2a
    R
    ax2+bx+c<0(a>0)
    的解集
    {x|x1

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