高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第三课时不等式的性质与一元二次不等式学案

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考点一两个实数(式)比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a>b，a-b=0⇔a=b，a，b∈R．a-b<0⇔a(2)作商法ab>1⇔a>b，ab=1⇔a=b，(a∈R，b>0)．ab<1⇔a(3)单调性法，适用于指数式、对数式的大小比较．
(4)中间值法，常用的中间值有0，1，－1等．
(5)特值法，此方法可在选择题中使用．
[典例1] (1)(2024·北京汇文中学校考模拟预测)如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．|a|<|b| B．1a>1b
C．a－1aln b
(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
(1)D (2)aabb>abba [(1)因为a>b>0，
所以|a|>|b|>0，故A错误；
因为a>b>0，所以1a<1b，故B错误；
因为a>b>0，所以a－b>0，1ab>0，
故a－1a－b-1b＝a－b＋a-bab＝(a－b)1+1ab>0，
所以a－1a>b－1b，C错误；
因为a>b>0，且y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln a>ln b，故D正确．
故选D．
(2)因为aabbabba＝aa-bba-b＝aba-b，
又a>b>0，故ab>1，a－b>0，
所以aba-b>1，即aabbabba>1，
又abba>0，所以aabb>abba．]
比较大小的问题，可以取满足题意的特值代入各项进行检验，如本例(1)．
跟进训练1 (2024·北京101中学校考阶段练习)已知aA．ba>ab
B．a2>c2
C．lgc(－a)>lgc(－b)
D．12a>12c
D [A选项：ba－ab＝b2-a2ab，又a0，故ba－ab<0，即baB选项：当a＝－1，c＝2时，a2>c2不成立，错误；
C选项：a－b>0，当0D选项：由a<01>12c，正确．
故选D．]
考点二不等式的概念和性质
1．不等式的性质
性质1 如果a>b，那么bb．→对称性
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c．→传递性
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c．→可加性
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d．→同向可加性
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．→同向同正可乘性
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．→正数的可乘方性
2．不等式的倒数和分数性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒1a<1b；②a<0(2)分数性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：bab-ma-m(b－m>0)；
②假分数性质：ab>a+mb+m；ab0)．
[典例2] (1)(2024·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是( )
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若ca>cb，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且aab
(2)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是( )
A．z│53≤z≤893B．z│53≤z≤27
C．z│3≤z≤893D．z│3≤z≤27
(1)D (2)D [(1)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；
对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足ca>cb，但不满足a对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误；
对于D，若a>0，b>0，m>0，且a0，
所以a+mb+m－ab＝ba+m-ab+mbb+m＝mb-abb+m>0，即a+mb+m>ab，故D正确．故选D．
(2)设11x＋3y＝m(2x＋3y)＋n(5x－6y)，则11x＋3y＝(2m＋5n)x＋(3m－6n)y，
所以2m+5n=11，3m-6n=3，解得m=3，n=1，
于是11x＋3y＝3(2x＋3y)＋(5x－6y)
又6≤3(2x＋3y)≤18，－3≤5x－6y≤9，
所以3≤3(2x＋3y)＋(5x－6y)≤27，即3≤11x＋3y≤27．
故{z|3≤z≤27}．
故选D．]
本例(2)中求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“待定系数法”求得整体范围．
跟进训练2 已知a>b>c>0，下列结论正确的是( )
A．2ab(a－c)
C．1a-c>1b-c D．(a－c)3>(b－c)3
D [∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；
取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，
∴1a-c<1b-c，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．故选D．]
考点三一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
2．分式不等式与整式不等式
(1)fxgx>0(<0)⇔f (x)g(x)>0(<0)；
(2)fxgx≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
[典例3] (1)若集合M＝{x|x-1<2}，N＝{x|2x2－5x＋2≥0}，则M∩N＝( )
A．x12≤x<2
B．{x|1≤x<2}
C．{x|x≤12，或2≤x<5
D．{x|2≤x<5}
(2)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－10的解集为( )
A．R B．∅
C．{x|－13}
(1)D (2)D [(1)M＝{x│x-1<2}＝{x|1≤x<5}，N＝{x|2x2－5x＋2≥0}＝x│x≤12，或x≥2，故M∩N＝{x|2≤x<5}．故选D．
(2)因为不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－10，且x＝－1与x＝2为方程ax2＋bx－2＝0的两根．
故-ba=-1+2，-2a=-1×2，解得b=-1，a=1，
故不等式ax2＋(b－1)x－3>0，即x2－2x－3>0，故(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1，或x>3．
故选D．]
在本例(2)中，应注意以下两点：
(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2是相应一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|xx2}，或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1跟进训练3 (多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m0，则以下选项正确的有( )
A．a<0
B．c>0
C．cx2＋bx＋a>0的解集为x│1nD．cx2＋bx＋a>0的解集为x│x< 1n，或x>1m
AC [因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m0，
所以a<0，m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以A正确；
所以m+n=-ba，mn=ca，解得b=-m+na，c=mna，
因为m>0，m0，
又由于a<0，所以c＝mna<0，所以B错误；
所以cx2＋bx＋a>0可化为mnax2－(m＋n)ax＋a>0，
即mnx2－(m＋n)x＋1<0，
即(mx－1)(nx－1)<0，
因为n>m>0，所以1n<1m，
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为x│1n所以C正确，D错误．
故选AC．]
课后习题(三) 不等式的性质与一元二次不等式
1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T1改编)不等式2＋x－x2<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
A [不等式可变形为x2－x－2>0，
即(x－2)(x＋1)>0，
解得x<－1或x>2，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故选A．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0)，若再添加m g糖(m>0)完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有( )
A．abB．a+mb+mC．(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m)
D．23b-1<13a-1
AB [对于A，由题意可知ab对于B，因为m<2m，所以a+mb+m对于C，a+mb+m对于D，取b＝1，a＝12，则231-1＝2>1312 -1＝3．
D错误．故选AB．]
3．(湘教版必修第一册P59习题2.3T11改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2<0的解集为(1，2)，则关于x的不等式bx2＋ax＋2<0的解集为( )
A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．-23，1 D．-∞，-23∪(1，＋∞)
D [由ax2＋bx＋2<0的解集为(1，2)，
可得a+b+2=0，4a+2b+2=0，则a=1，b=-3．
则bx2＋ax＋2<0即为－3x2＋x＋2<0，
即3x2－x－2>0，解得-∞，-23∪(1，＋∞)．故选D．]
4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1(－6，5) [∵－3又－15．(2023·宜春市高三一模)设集合A＝{x|y＝-x2+3x-2}，B＝{x|lg2(x－1)<1}，则A∩B＝( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1C [由－x2＋3x－2＝－(x－1)(x－2)≥0，可得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
由B＝{x|0所以A∩B＝{x|1故选C．]
6．(2024·重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是( )
A．[－24，192] B．[－24，252]
C．[36，252] D．[36，192]
D [设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
所以m+n=7，m-n=5，解得m=6，n=1，
所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．
又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，
所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192]．
故选D．]
7．(2024·黑龙江省佳木斯高三阶段练习)不等式2x-13x+1>0的解集是( )
A．x│x<－13，或x>12
B．x│－13C．x│x>12
D．x│x>－13
A [因为不等式2x-13x+1>0等价于(2x－1)(3x＋1)>0，
所以x>12或x<－13．
故选A．]
8．(多选)(2024·湖南邵阳二中段考)如果a，b，c满足cA．ab>ac B．cb2>ab2
C．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0
ACD [由c0，c<0．对于A，由c0得ac0，故C正确；对于D，ac<0，a－c>0，故ac(a－c)<0，故D正确．故选ACD．]
9．(2024·山东临沂模拟)已知函数f (x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A B
C D
B [∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，∴a＝－1，c＝－2，
∴f (x)＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f (－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点(－1，0)，(2，0)．故选B．]
10．(2024·广东深圳外国语模拟)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．1a<1b B．a2>b2
C．ac2+1>bc2+1 D．a|c|>b|c|
C [当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但1a>1b，a20，a>b，由不等式的性质得ac2+1>bc2+1，C正确；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D．故选C．]
11．(2024·河北石家庄阶段练习)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足x12+x22＝16＋x1x2，则实数k的取值为( )
A．－2或6 B．6
C．－2 D．54
C [∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得k≤54，
∴实数k的取值范围为k≤54，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1，
∵x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，
解得k＝－2或k＝6 (不符合题意，舍去)，
∴实数k的值为－2．
故选C．]
12．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为[1，3]，则不等式ax+ccx+b≥0的解集为( )
A．(－∞，－3]∪43，+∞
B．(－∞，－3]∪43，+∞
C．-3，43
D．-3，43
B [因为由不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为[1，3]，
所以a<0，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为1和3，
由根与系数的关系得－ba＝1＋3＝4，ca＝1×3＝3，则ba＝－4，ca＝3．
所以不等式ax+ccx+b≥0可化为x+cacax+ba≥0，即x+33x-4≥0，
所以(x＋3)(3x－4)≥0且3x－4≠0，解得x≤－3或x>43，
所以ax+ccx+b≥0的解集为(－∞，－3]∪43，+∞．]
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝
0(a>0)的根
有两个不相
等的实数根
x1，x2(x1有两个相等
的实数根
x1＝x2＝－b2a
没有
实数根
ax2＋bx＋
c>0(a>0)
的解集
{x|x>x2或xx│x≠－b2a
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)
的解集
{x|x1∅
∅

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