高三数学一轮复习第二章函数第三课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案

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考点一 函数的奇偶性
提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．
[典例1] (1)下列函数中，是偶函数的是( )
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝|x－1|
C．f (x)＝1 D．f (x)＝xx2+1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 2x-12x+1为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C．12 D．1
(3)(2024·广州阶段练习)函数f (x)＝x1-x2的图象大致是( )
A B
C D
(1)C (2)B (3)C [(1)对于A，函数f (x)＝x3的定义域为R，
f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)，f (x)不是偶函数，A不正确；
对于B，函数f (x)＝|x－1|的定义域为R，
f (－x)＝|－x－1|＝|x＋1|≠f (x)，f (x)不是偶函数，B不正确；
对于C，函数f (x)＝1的定义域为R，
f (－x)＝1＝f (x)，f (x)是偶函数，C正确；
对于D，函数f (x)＝xx2+1的定义域为R，
f (－x)＝-x-x2+1＝－f (x)，f (x)不是偶函数，D不正确．
故选C．
(2)由2x-12x+1＞0，得x＞12或x＜－12，
由f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
得(－x＋a)ln -2x-1-2x+1＝(x＋a)ln 2x-12x+1，
又(－x＋a)ln 2x+12x-1＝(－x＋a)ln 2x-12x+1-1，
所以(x－a)ln 2x-12x+1＝(x＋a)ln 2x-12x+1，
所以x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．故选B．
(3)f (x)＝x1-x2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
又f (－x)＝-x1-x2＝－f (x)，则f (x)为奇函数，排除选项A；而f 12＝121-122＝23>0，排除选项B；当x>1时，1－x20时，y＝x－1单调递增，故正确；
对D：易知y＝x－1x是奇函数，故错误．
故选C．
(2)法一：令f (x)＝4xx2+1，显然f (－x)＝－f (x)，f (x)为奇函数，排除C，D，由f (1)>0，排除B，故选A．
法二：令f (x)＝4xx2+1，由f (1)>0，f (－1)