高三数学一轮复习第二章函数第六课时对数与对数函数学案

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1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N．
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaMN＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数恒等式
algaN＝N(a>0，且a≠1，N >0)．
(4)对数换底公式：lgab＝lgcblgcaa>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1．
[典例1] (1)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－lg34×lg23＝________．
(2)若lg142＝a，14b＝5，用a，b表示lg3528＝________．
(1)－1 (2)1+a1+b-a [(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 412－2lg2lg3×lg3lg2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1．
(2)因为14b＝5，所以b＝lg145，
lg3528＝lg1428lg1435＝lg1414+lg142lg1414+lg145-lg142＝1+a1+b-a．
故答案为1+a1+b-a．]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟进训练1 (1)lg1100－lg23×lg52×lg35＋lne＋21＋lg23＝________．
(2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且1a－1b＝2，则m＝________．
(1)4 (2)2 [(1)lg1100－lg23×lg52×lg35＋lne＋21＋lg23＝－2－lg23×lg22lg25×lg25lg23＋12＋2×2lg23＝－2－12＋12＋6＝4．
(2)∵12a＝3b＝m，且1a－1b＝2，
∴m>0且m≠1，
∴a＝lg12m，b＝lg3m，
∴1a＝lgm12，1b＝lgm3，
∴1a－1b＝lgm12－lgm3＝lgm4＝2，
∴m＝2．
故答案为2．]
考点二 对数函数的图象及应用
1．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[典例2] (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝lg1bx的图象可能是( )
A B
C D
(2)已知函数y＝lga(x＋b)(a，b为常数，其中a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＝0.5，b＝2
B．a＝2，b＝2
C．a＝0.5，b＝0.5
D．a＝2，b＝0.5
(1)B (2)D [(1)∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝1b，
∴g(x)＝lg1bx＝lgax，函数f (x)＝ax与函数g(x)＝lg1bx互为反函数，
∴函数f (x)＝ax与g(x)＝lg1bx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)由图象可得函数在定义域上单调递增，所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5，0)，所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5．故选D．]
本例(1)直接利用对数运算性质lga(MN)＝lgaM＋lgaN得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质lga1＝0得到ab＝1；例(2)主要考查对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)过定点(1，0)，即0.5＋b＝1时y＝0．
跟进训练2 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是( )
A B
C D
(2)(2024·云南昆明高三校考阶段练习)函数f (x)＝lga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(1)C (2)(3，1) [(1)当a>1时，函数y＝lgax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于1；当00，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3] B．(1，3)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
(1)D (2)B (3)A [(1)因为0|x|，
分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，
由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，
由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0，1)，
即不等式f (x)>0的解集是(0，1)．
(3)令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f (x)＝lga(6－ax)在(0，2)上单调递减，
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，
故有a>1，6-2a≥0，解得1c>a D．a>c>b
C [因为a＝lg40.4lg0.40.4＝1，
0a．
故选C．]
7．(2023·宝鸡二模)已知函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)，则( )
A．f (x)在(0，1)单调递减，在(1，2)单调递增
B．f (x)在(0，2)单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝1对称
D．f (x)有最小值，但无最大值
C [由题易知，函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)的定义域为(0，2)，
f (x)＝lg [x(2－x)]＝lg [－(x－1)2＋1]，
由复合函数的单调性可知，函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，故A、B错误；
f (1－x)＝lg (1－x)＋lg (x＋1)，f (1＋x)＝lg (x＋1)＋lg (1－x)，
所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；
由函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，可得函数有最大值f (1)＝lg 1＋lg 1＝0，故D错误．故选C．]
8．(2024·四川成都高三校考阶段练习)函数f (x)＝2＋lga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
(2，2) [由函数f (x)＝2＋lga(x－1)，令x－1＝1，即x＝2，
可得f (2)＝2＋lga(2－1)＝2＋lga1＝2，所以函数f (x)恒过定点(2，2)．
故答案为(2，2)．]
9．计算：12-2＋4lg22 ＋lg24＝________．
10 [12-2＋4lg22＋lg24＝22+22lg22+lg2(2)4＝4＋2＋4＝10．]
10．函数f (x)＝1lg2x-1的定义域为________．
(2，＋∞) [因为f (x)＝1lg2x-1，
所以lg2(x－1)>0，x－1>0，
解得x>2，
即函数f (x)＝1lg2x-1的定义域为(2，＋∞)．
故答案为(2，＋∞)．]
11．已知lg0.45(x＋2)>lg0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
-2，-12 [由y＝lg0.45x在定义域上是减函数和真数大于零得，x+20，1-x>0，
解得－2g(x)，求x的取值范围．
[解] (1)由题意得1-x>0，1+x>0，即x-1，故－1lga(1＋x)，1－x>1＋x，x