高三数学一轮复习第二章函数第八课时函数的零点及应用学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第八课时函数的零点及应用学案，共14页。
考点一 判定函数零点所在区间
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f (x)，x∈D，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)，x∈D的零点．
注意：零点不是点，是满足f (x)＝0的实数x．
(2)三个等价关系
(3)函数零点存在定理
2．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[典例1] (1)(2024·东北师范大学附属中学第一次摸底考试)方程lg3x＋x＝2的解所在区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)(2024·南通模拟)已知方程ln x＝11－2x的实数解为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈N*，则k＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)B (2)D [(1)设f (x)＝lg3x＋x－2，则方程lg3x＋x＝2的解所在区间即为f (x)零点所在区间，
∵y＝lg3x与y＝x－2在(0，＋∞)上均单调递增，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
对于A，∵f (1)＝lg31＋1－2＝－1，
∴当x∈(0，1)时，f (x)f (2)>0，
∴f (x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，CD错误．
故选B．
(2)令f (x)＝ln x＋2x－11，
由f (1)f (2)＝－9(ln 2－7)＞0，
f (2)f (3)＝(ln 2－7)(ln 3－5)＞0，
f (3)f (4)＝(ln 3－5)(ln 4－3)＞0，
f (4)f (5)＝(ln 4－3)(ln 5－1)＜0，
可知k＝4．]
本例(1)中，解决的关键是将求方程解所在区间转化为求函数f (x)＝lg3x＋x－2的零点所在区间，结合零点存在定理对所给的选项一一验证即可．本例(2)亦相同处理．
跟进训练1 函数f (x)＝x－lg12x＋1的零点所在的区间为( )
A．0，14B．14，13
C．13，12D．12，1
C [∵y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－lg12x在(0，＋∞)上单调递增，
∴函数f (x)＝x－lg12x＋1在(0，＋∞)上单调递增，
∵f 14＝14－lg1214＋1＝－340的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
(1)B (2)1 [(1)由f (x)＝0得，
x≤0，x2+x-2=0或x>0，-1+lnx=0，
解得x＝－2或x＝e．
因此函数f (x)共有2个零点．
故选B．
(2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，
故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．
由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点，
故答案为1．]
在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．
跟进训练2 函数f (x)＝|x2－2x|－a2－1(a＞0)的零点的个数是________．
2 [令f (x)＝0，则|x2－2x|＝a2＋1．
因为a＞0，所以a2＋1＞1．
作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示，
所以函数y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f (x)＝|x2－2x|－a2－1有两个零点．]
考点三 根据函数零点求参数范围
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
[典例3] (1)(2023·山西阳泉统考三模)函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝ex –a，x≤0，2x-a，x>0 a∈R，若函数f (x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，1]
(1)B (2)A [(1)由y1＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，
所以f10，即lg21+12+m0，
解得－5