高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第二课时导数与函数的单调性学案

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考点一 利用导数求函数的单调区间
1．利用导数求函数的单调区间(不含参数)
(1)对于可导函数y＝f (x)，不等式f ′(x)>0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调递增区间；不等式f ′(x)<0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调递减区间．
(2)求函数单调区间的步骤
①求函数的定义域；
②在定义域内解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0；
③将不等式的解集写成区间的形式．
2．由函数的单调区间求参数值
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数f ′(x)；
(3)已知条件给出的单调区间对应不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0的解集；
(4)将不等式的解集转化为相应方程的实数根，求出参数值．
[常用结论]
1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．
2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．
[典例1] (1)若函数f (x)＝lnx+1ex，则函数f (x)的单调递减区间为________．
(2)已知g(x)＝2x＋ln x－ax，若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
(1)(1，＋∞) [因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝1x-lnx-1ex，
令φ(x)＝1x－ln x－1，x∈(0，＋∞)，
则φ′(x)＝－1x2－1x<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f ′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f ′(x)<0，
∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
即函数f (x)的单调递减区间为(1，＋∞)．]
(2)[解] ∵g(x)＝2x＋ln x－ax(x>0)，
∴g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0)．
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]．
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
∴a≥－3．
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
本例(1)求函数单调区间，先确定函数f (x)的定义域，再求出f ′(x)，根据f ′(x)<0求出单调递减区间；本例(2)可导函数g(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为g′(x)≥0对x∈[1，2]恒成立问题，再分参为a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]，要注意“＝”是否取到．
跟进训练1 (1)若函数g(x)＝ln x＋12x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
(2)函数f (x)＝x22x的单调递减区间为________．
(1)B (2)(－∞，0)和2ln2，+∞ [(1)函数g(x)＝ln x＋12x2－(b－1)x的定义域为(0，＋∞) ，且其导数为g′(x)＝1x＋x－(b－1)．
由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0，＋∞) 上有解，即1x＋x－(b－1)<0有解．
因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞) ，所以x＋1x≥2．要使1x＋x－(b－1)<0有解，只需要1x＋x的最小值小于b－1，所以23，所以实数b的取值范围是(3，＋∞) ．
故选B．
(2)∵f (x)＝x22x，
∴f ′(x)＝2x·2x-x2·2xln22x2＝x2-xln22x，
令f ′(x)<0，得x<0或x>2ln2，
∴函数f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和2ln2，+∞．]
考点二 利用导数讨论或证明函数的单调性
1．函数f (x)在区间D上单调递增(减)⇔∀x∈D，f ′(x)≥0(≤0)恒成立(f ′(x)不恒为0)．
2．f (x)的单调性对应f ′(x)的正负．
3．利用导数判断单调性的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数f ′(x)的零点；
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
提醒：如果函数解析式中含有参数，讨论单调性时，一般要对参数分类讨论，分类的标准是难点和重点，最后按参数取值由小到大的顺序写出总结性的陈述结论．
[典例2] 已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x．讨论f (x)的单调性．
[解] 因为f (x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f ′(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f ′(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f (x)在R上单调递减；
当a>0时，令f ′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f ′(x)<0，
则f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减；
当x>－ln a时，f ′(x)>0，
则f (x)在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在R上单调递减；
当a>0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
如本例对于含参数的函数的单调性，求导后考虑f ′(x)＝0是否有实数根；当a≤0时没有实根，函数在定义域内恒单调递减；当a>0时存在实根，根据f ′(x)>0时求出单调递增区间，f ′(x)<0求出单调递减区间．
跟进训练2 已知函数f (x)＝ln x＋12ax2＋(a＋1)x，a∈R．讨论函数f (x)的单调性．
[解] 函数f (x)＝ln x＋12ax2＋(a＋1)x的定义域为(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝1x＋ax＋a＋1＝ax2+a+1x+1x＝ax+1x+1x．
①当a≥0时，f ′(x)>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a<0时，令f ′(x)<0，得x>－1a，
令f ′(x)>0，得0所以f (x)在-1a，+∞上单调递减，在0，-1a上单调递增．
综上，当a≥0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f (x)在-1a，+∞上单调递减，在0，-1a上单调递增．
考点三 函数单调性的应用
1．利用导数解不等式
利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数．同时根据奇偶性变换不等式为f (g(x))>f (h(x))，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围．
2．利用导数比较大小
(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．
(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．
3．常用的构造函数的方法
(1)利用f (x)与x构造
①出现f (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F(x)＝xf (x)．
②出现xf ′(x)－f (x)形式，构造函数F(x)＝fxx．
(2)利用f (x)与ex构造
①出现f ′(x)＋f (x)形式，构造函数F(x)＝exf (x)．
②出现f ′(x)－f (x)形式，构造函数F(x)＝fxex．
[典例3] (1)已知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f (x)＋xf ′(x)>0(f ′(x)是f (x)的导函数)，则不等式(x－1)f (x2－1)A．(－∞，2) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．(－1，2)
(2)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f (x)的导函数是f ′(x)，当x≥0时，y＝f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式f'xx>0的解集为________．
(1)C (2)(－3，－1)∪(0，1) [(1)令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝f (x)＋xf ′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又x＋1>0，则(x－1)f (x2－1)即g(x2－1)所以x2-1>0，x+1>0，x2-1(2)依题意f (x)是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，f (x)在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f ′(x)<0；
f (x)在区间(－1，0)，(0，1)上单调递增，f ′(x)>0．
所以f'xx>0的解集(－3，－1)∪(0，1)．
故答案为：(－3，－1)∪(0，1)．]
如本例(1)构造辅助函数g(x)＝xf (x)，然后利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．
跟进训练3 (1)已知函数f (x)是定义在R上的函数，且满足f ′(x)＋f (x)＞0，其中f ′(x)为f (x)的导函数，设a＝f (0)，b＝2f (ln 2)，c＝ef (1)，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
(2)若a＝1e，b＝ln22，c＝ln33，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．a>b>c
(1)A (2)A [(1)令g(x)＝exf (x)，则g′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]＞0，
所以函数g(x)在定义域R上单调递增，
从而g(0)＜g(ln 2)＜g(1)，得f (0)＜2f (ln 2)＜ef (1)，即a＜b＜c．故选A．
(2)a＝lnee，b＝ln22＝ln44，
设f (x)＝lnxx(x>0)，
则f ′(x)＝1-lnxx2，
当00，f (x)单调递增，
当x>e时，则f ′(x)<0，f (x)单调递减，
∴f (e)>f (3)>f (4)，
即a>c>b．故选A．]
课后习题(十五) 导数与函数的单调性
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是( )
A B C D
C [由f ′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，
∴f (x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f ′(x)<0，∴f (x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f (x)单调递增．]
2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cs x－x在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
D [因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，
所以f (x)在(0，π)上单调递减，故选D．]
3．(人教B版选择性必修第三册P95练习B T3改编)已知函数f (x)＝(x-2)ex，x≥0，-x-2，x<0，则f (x)的单调递减区间为________．
(－∞，1)(或填(－∞，1]) [当x<0时，f (x)＝－x－2，则f (x)在(－∞，0)上单调递减．当x≥0时，f (x)＝(x－2)ex，则f '(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，当0≤x<1时，f ′(x)<0，f (x)在[0，1)上单调递减．又(0－2)e0＝－2，所以f (x)的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1])．]
4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________．
3 [令f ′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，
又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，
即a的最大值是3．]
5．已知函数f (x)＝x2＋2cs x．若f ′(x)是f (x)的导函数，则函数f ′(x)的图象大致是( )
A B
C D
A [设g(x)＝f ′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cs x≥0，
所以函数f ′(x)在R上单调递增．故选A．]
6．(2024·江苏扬州中学月考)已知函数f (x)＝ax－sin x(a∈R)，则“a＝1”是“f (x)在区间π2，+∞上单调递增”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B [当a＝1时，f (x)＝x－sin x，f ′(x)＝1－cs x≥0，
∴f (x)在R上单调递增，故充分性成立；
当f (x)在π2，+∞上单调递增，
∴f ′(x)＝a－cs x≥0，
即a≥cs x，∴a≥1，故必要性不成立，
所以“a＝1”是“f (x)在区间π2，+∞上单调递增”的充分不必要条件．
故选B．]
7．(2024·重庆名校联考)若曲线f (x)＝(ax－1)ex-2在点(2，f (2))处的切线过点(3，3)，则函数f (x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
A [由题意，得f (2)＝(2a－1)e0＝2a－1，f ′(x)＝aex-2＋(ax－1)ex-2＝(ax＋a－1)ex-2，
∴f ′(2)＝3a－1，∴3-2a-13-2＝3a－1，得a＝1，
∴f (x)＝(x－1)ex-2，f ′(x)＝xex-2．
∵x＞0时，f ′(x)＞0，
∴f (x)的单调递增区间是(0，＋∞)．故选A．]
8．已知奇函数f (x)在R上是减函数，g(x)＝xf (x)，若a＝g(－lg25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．bD [因为f (x)为奇函数且在R上是减函数，
所以f (－x)＝－f (x)，且当x>0时，f (x)<0．
因为g(x)＝xf (x)，所以g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)，故g(x)为偶函数．
当x>0时，g′(x)＝f (x)＋xf ′(x)，
因为f (x)<0，f ′(x)<0，所以g′(x)<0．
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
因为3＝lg28>lg25.1>lg24＝2>20.8，
所以g(3)故选D．]
9．(多选)(2024·浙江温州模拟)已知函数f (x)与f ′(x)的图象如图所示，则g(x)＝exfx( )
A．在区间(0，1)上单调递增
B．在区间(1，4)上单调递减
C．在区间1，43上单调递减
D．在区间43，4上单调递减
AC [当x＝0或x＝2时，f (x)＝0，则函数g(x)＝exfx的定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，排除选项B，D；g′(x)＝exfx-f'xf2x，由图易得当x∈(0，1)时，f (x)>f ′(x)，即g′(x)＝exfx-f'xf2x>0，所以函数g(x)＝exfx在(0，1)上单调递增，故选项A正确；又由图象得当x∈1，43时，f (x)即g′(x)＝exfx-f'xf2x<0，
所以函数g(x)＝exfx在1，43上单调递减，故选AC．]
10．(2024·广东东莞模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且对任意x∈R都有f ′(x)>2，f (2)＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0的解集为( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，2)
A [令g(x)＝f (x)－2x＋4，则g′(x)＝f ′(x)－2>0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(2)＝f (2)－2×2＋4＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0等价于g(x)>g(2)，所以x>2，故选A．]
11．(多选)(2023·辽宁锦州统考二模)已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，当x≥0时，f ′(x)>f ′(－x)，若g(x)＝f (x)＋f (－x)且对任意x∈12，1，不等式g(ax＋1)≤g(x－2)成立，则实数a的取值可以是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
AB [函数f (x)是定义在R上的可导函数，
g(x)＝f (x)＋f (－x)，则g(x)定义域为R，
g(－x)＝f (－x)＋f (x)＝g(x)，g(x)为偶函数，
当x≥0时，g′(x)＝f ′(x)－f ′(－x)>0，
则g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
当x∈12，1时，g(ax＋1)≤g(x－2)，
则有|ax＋1|≤|x－2|＝2－x，
即x－2≤ax＋1≤2－x，
所以1－3x≤a≤1x－1，
由x∈12，1，可得－2≤a≤0，
根据选项可知，实数a的取值可以是－1和0．故选AB．]
12．已知函数f (x)＝(x－1)ex－ax2＋b．讨论f (x)的单调性．
[解] 由函数的解析式可得，函数定义域为R，f ′(x)＝x(ex－2a)，
①当a≤0时，若x∈(－∞，0)，
则f ′(x)<0，f (x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f ′(x)>0，f (x)单调递增．
②当0则f ′(x)>0，f (x)单调递增，
若x∈(ln (2a)，0)，则f ′(x)<0，f (x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f ′(x)>0，f (x)单调递增．
③当a＝12时，f ′(x)≥0，f (x)在R上单调递增．
④当a>12时，若x∈(－∞，0)，
则f ′(x)>0，f (x)单调递增，
若x∈(0，ln (2a))，则f ′(x)<0，f (x)单调递减；
若x∈(ln (2a)，＋∞)，则f ′(x)>0，f (x)单调递增．