高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第五课时利用导数解决函数的零点问题课件

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2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上的单调性；第二步：证明端点的导数值异号．
考点二　根据函数零点个数求参数的取值范围已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
【教师备用】已知函数f (x)＝x(a＋ln x)－ax2(a∈R)．若f (x)在(1，＋∞)上仅有一个零点，求实数a的取值范围．
考点三　隐零点问题隐零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x0)＝0，并结合f ′(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f ′(x)的正负，进而得到f (x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
[典例3]　已知函数f (x)＝x ln x－ex＋1．(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论f (x)在(0，＋∞)上的单调性．
[解]　(1)由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝ln x＋1－ex，∴f ′(1)＝1－e，又f (1)＝1－e，∴曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程是y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x．
③若a<－1，(ⅰ)当x∈(0，＋∞)时，则g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0，所以存在m∈(0，1)，使得g(m)＝0，即f ′(m)＝0，当x∈(0，m)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈(m，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，所以当x∈(0，m)时，f (x)[解]　(1)当a＝0时，f (x)＝x ln x－x－3，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－1＝ln x，所以在区间(0，1)上，f ′(x)<0，f (x)单调递减；在区间(1，＋∞)上，f ′(x)>0，f (x)单调递增．所以当x＝1时，f (x)取得极小值f (1)＝－4．