高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第五课时三角函数的图象与性质学案

这是一份高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第五课时三角函数的图象与性质学案，共14页。
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
2．三角函数的定义域、值域
[典例1] (1)(易错题)函数y＝1tanx-1的定义域为________．
(2)函数y＝sin x－cs x+π6的值域为________．
(1)xx≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z
(2)[－3，3] [(1)要使函数有意义，必须有tanx-1≠0，x≠π2+kπ，k∈Z，即x≠π4+kπ，k∈Z，x≠π2+kπ，k∈Z．
故函数的定义域为x│x≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z．
(2)∵y＝sin x－cs x+π6＝sin x－32cs x＋12sin x＝32sin x－32cs x＝3sin x-π6，
∴函数y＝sin x－cs x+π6的值域为[－3，3]．]
(1)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式，本例(1)容易忽视tan x自身的定义域而致误；
(2)三角函数值域的常见求法：①把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域；②把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
跟进训练1 (1)(2024·江西高三模拟)已知函数f (x)＝4sin 3x-π6的定义域为[0，m]，值域为[－2，4]，则m的取值范围是 ( )
A．2π9，4π9 B．2π9，4π9
C．2π9，4π9 D．2π9，4π9
(2)(2024·滨州高三入学考试)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈-π4，π4的值域为( )
A．74，+∞ B．74，2
C．74，4 D．[2，4]
(1)C (2)C [(1)因为0≤x≤m，所以－π6≤3x－π6≤3m－π6，
因为－2≤f (x)≤4，所以π2≤3m－π6≤7π6，
解得2π9≤m≤4π9，
故m的取值范围是2π9，4π9．故选C．
(2)函数y＝tan2x－tanx＋2＝tanx-122＋74，由x∈-π4 ，π4，得tan x∈[－1，1]，
所以函数的值域为74，4．故选C．]
【教师备用】
函数y＝sin x－cs x＋sin x cs x的值域为________．
-12-2，1 [设t＝sin x－cs x，
则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx cs x，
sin x cs x＝1-t22，且－2≤t≤2．
∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－2时，ymin＝－12-2．
∴函数的值域为-12-2，1．]
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、称性
[常用结论]
若f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[典例2] (1)(2024·杭州模拟)设函数f (x)＝2sin 2x-π3＋34，则下列叙述正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于直线x＝π12对称
C．f (x)在π2，π上的最小值为－54
D．f (x)的图象关于点2π3，0对称
(2)函数f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝________，f (x)图象的对称中心为________．
(1)C (2)5π6 π4+kπ2，1，k∈Z [(1)对于A，f (x)的最小正周期为2π2＝π，故A错误；
对于B，∵sin 2×π12-π3＝－12≠±1，故B错误；
对于C，当x∈π2，π时，2x－π3∈2π3，5π3，
∴sin 2x-π3∈-1，32，
∴2sin 2x-π3＋34∈-54，3+34，
∴f (x)在π2，π上的最小值为－54，故C正确；
对于D，∵f 2π3＝2sin 2×2π3-π3＋34＝34，
∴f (x)的图象关于点2π3，34对称，故D错误．
(2)若f (x)＝3sin 2x-π3+φ＋1为偶函数，
则－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
即φ＝5π6＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝5π6．
∴f (x)＝3sin 2x+π2＋1＝3cs 2x＋1，
由2x＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ2，k∈Z，
∴f (x)图象的对称中心为π4+kπ2，1，k∈Z．]
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝A cs (ωx＋φ)的最小正周期T＝2πω，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝πω．
(2)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cs ωx的形式．
跟进训练2 (多选)已知函数f x＝2sin (2x＋φ)(0