高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第七课时正弦定理、余弦定理学案

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正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
[常用结论]
(1)三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A+B2＝π2－C2．
(2)三角形中的三角函数关系
①sin (A＋B)＝sin C；②cs (A＋B)＝－cs C；
③sin A+B2＝cs C2；④cs A+B2＝sin C2．
[典例1] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C．
(1)求A；
(2)若a＝4，△ABC的面积为43，求b＋c．
[解] (1)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，所以b2＋c2－a2＝bc，
则cs A＝b2+c2-a22bc＝bc2bc＝12，
因为0＜A＜π，所以A＝π3．
(2)因为△ABC的面积为43，
所以12bc sin A＝34bc＝43，即bc＝16．
因为b2＋c2－a2＝bc，a＝4，所以b2＋c2＝32，
所以b＋c＝b2+c2+2bc＝64＝8．
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
跟进训练1 (1)(2024·杭州二中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则ab等于( )
A．2 B．3 C．2 D．3
(2)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cs C＋3a sin C＝b＋c，则A＝________．
(1)D (2)60° [(1)由正弦定理及b sin 2A＝asin B，得2sin B·sin Acs A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cs A＝12．又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×12＝3b2，得ab＝3．故选D．
(2)由正弦定理及a cs C＋3a sin C＝b＋c得，
sin A cs C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，
即sin A cs C＋3sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C⇒3sin A sin C－cs A sin C＝sin C，
因为sin C＞0，
所以3sin A－cs A＝1⇒sin (A－30°)＝12，
因为0°＜A＜180°，所以－30°＜A－30°＜150°，
所以A－30°＝30°，所以A＝60°．]
考点二 平面图形中的几何度量问题
三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[常用结论]
(1)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cs C＋c cs B；b＝a cs C＋c cs A；c＝b cs A＋a cs B．
(2)三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
[典例2] (2024·嘉兴测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2b-ca＝csCcsA．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积．
[解] (1)根据正弦定理，
得2b-ca＝csCcsA⇔2sinB-sinCsinA＝csCcsA，
整理得2sin B cs A＝cs C sin A＋sin C cs A，
即2sin B cs A＝sin (A＋C)，
而A＋C＝π－B，所以2sin B cs A＝sin B，
又sin B≠0，解得cs A＝12，
又A∈(0，π)，故A＝π3．
(2)根据余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝(b＋c)2－2bc－2bc cs A，
又a＝14，b＋c＝42，A＝π3，
故(14)2＝(42)2－2bc－2bc×12，解得bc＝6，
所以S△ABC＝12bc sin A＝12×6×sin π3＝332．
与面积有关的问题，要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
【教师备用】
(2024·郑州模拟)如图，在△ABC中，AB＝9，cs B＝23，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角．
(1)求BD；
(2)若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长．
[解] (1)在△ABD中，由余弦定理得
AB2＋BD2－2AB·BD·cs B＝AD2，
整理得BD2－12BD＋32＝0，
所以BD＝8或BD＝4．
当BD＝4时，cs ∠ADB＝16+49-812×4×7＝－27，
则∠ADB>π2，不符合题意，舍去；
当BD＝8时，cs ∠ADB＝64+49-812×8×7＝27，
则∠ADBB，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若a cs A＝b cs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
ABD [对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sin A>sin B，故正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈0，π2，
∵A＋B>π2，∴π2>A>π2－B>0，
∴sin A>sin π2-B＝cs B，
∴不等式sin A>cs B恒成立，故正确；
对于C，在△ABC中，由a cs A＝b cs B，利用正弦定理可得sin A cs A＝sin B cs B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，
可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．]
10．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________．
7 332 [易知c＝4+9-2×2×3×12＝7，△ABC的面积等于12×2×3×32＝332．]
11．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cs A sin B＝sin C，则该三角形的形状是________．
等边三角形 [∵a2＋b2－c2＝ab，
∴cs C＝a2+b2-c22ab＝12，
又C∈(0，π)，∴C＝π3，
由2cs A sin B＝sin C，得cs A＝sinC2sinB＝c2b＝c2+b2-a22bc，∴b2＝a2，即b＝a，又C＝π3，
故三角形为等边三角形．]
12．(2024·南平模拟)在①2c cs B＝2a－b，②△ABC的面积为34(a2＋b2－c2)，③cs2A－cs2C＝sin2B－sinA sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2且4sin A sin B＝3，求△ABC的面积．
[解] (1)若选条件①2c cs B＝2a－b，则2c·a2+c2-b22ac＝2a－b，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝12，又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
若选条件②△ABC的面积为34(a2＋b2－c2)，
则34(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，
即sin C＝3cs C，所以tan C＝3，
又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
若选条件③cs2A－cs2C＝sin2B－sinA sin B，
则(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sinA sin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝12，
又因为C∈(0，π)，所以C＝π3．
(2)因为c＝2，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2sin π3＝433，
所以sin A＝34a，sin B＝34b，
又因为4sin A sin B＝3，所以ab＝4，
所以△ABC的面积为12ab sin C＝3．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cs A；
b2＝c2＋a2－2ca cs B；
c2＝a2＋b2－2ab cs C
变形
(1)a＝2R sin A，
b＝2R sin B，
c＝2R sin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)a+b+csinA+sinB+sinC＝asinA＝2R
cs A＝b2+c2-a22bc；
cs B＝c2+a2-b22ac；
cs C＝a2+b2-c22ab