高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第三课时平面向量的数量积及其应用学案

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1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
当θ＝π2时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且同向；
当θ＝π时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ．
规定：0·a＝0．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cs θ e．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cs θbb＝a·bbb2．
4．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
[典例1] (1)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
(2)在边长为2的正△ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若BD＝xBA＋yBC，则x＋y＝________；②BD·BM＝________．
(1)C (2)①34 ②1 [(1)因为BC＝AC-AB＝(1，t－3)，
所以|BC|＝12+t-32＝1，解得t＝3，
所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2．
(2)①∵M是BC的中点，∴BM＝12BC，
∵D是AM的中点，∴BD＝12BA＋12BM＝12BA＋14BC，
∴x＝12，y＝14，∴x＋y＝34．
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，BD cs ∠DBM＝BM．
∴BD·BM＝|BD||BM|cs ∠DBM＝|BM|2＝1．]
数量积a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
跟进训练1 (1)(2024·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为( )
A．b B．－2b C．－12b D．－b
(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，则CD·CB＝( )
A．－18 B．－63
C．18 D．63
(1)B (2)C [(1)因为a，b是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量为
a-2b·bb·bb＝－2b．故选B．
(2)法一(基向量法)：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA·CB＝0，CD·CB＝(CA+AD)·CB＝CA·CB＋32AB·CB＝32(CB-CA)·CB＝32CB2＝18，故选C．
法二(坐标法)：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD＝32AB，所以D(－1，33)，则CD·CB＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C．]
考点二 平面向量数量积的应用
1．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝a·a＝x12+y12．
(3)夹角：cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22．
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22．
向量的模
[典例2] (2024·江苏无锡模拟)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，3)，x∈R，则|b＋xa|的最小值是( )
A．1 B．0
C．2 D．4
A [因为b＋xa＝(1，3)＋x(0，－1)＝(1，3－x)，
所以|b＋xa|＝1+3-x2，
因为x∈R，所以|b＋xa|＝1+3-x2≥1，当且仅当x＝3时，等号成立．故选A．]
向量的夹角与垂直
[典例3] (1)(2024·耒阳模拟)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，若b与λa＋b(λ∈R)垂直，则λ＝( )
A．54 B．－54
C．－12 D．12
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
(1)A (2)-∞，-92∪-92，3 [(1)依题意，λa＋b＝(2－λ，2λ－1)，又b与λa＋b(λ∈R)垂直，
所以(λa＋b)·b＝(2－λ，2λ－1)·(2，－1)＝0，
即2(2－λ)－(2λ－1)＝0，所以λ＝54．故选A．
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3．
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－92．
当k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c反向，不合题意．
综上，k的取值范围为-∞，-92∪-92，3．]
(1)求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝a2＝x2+y2；
(2)求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式cs θ＝a·bab进行求解；
(3)两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟进训练2 (1)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝__________，|a－3b|＝__________．
(2)(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A．|a＋b|＝2
B．a与b垂直
C．a与a－b的夹角为π4
D．|a－b|＝1
(1)219 63 (2)BC [(1)因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝6×4×12＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝219，|a－3b|＝63．
(2)|a＋b|＝12+-12＝2，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D错误；
cs 〈a，a－b〉＝a·a-baa-b＝a2-a·b1×2＝22，
所以a与a－b的夹角为π4，故C正确．故选BC．]
考点三 平面向量的应用
平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[典例4] 如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80 N，则G的大小为________N，F2的大小为________N．
160 803 [根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示．∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝803，
∴G的大小为160 N，F2的大小为803 N．
解决本题的关键是利用物理中的力的平衡建立向量的等量关系求解．
跟进训练3 (2024·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h．设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )
A．在A′东侧 B．在A′西侧
C．恰好与A′重合 D．无法确定
A [建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6，0)，
所以ν1＋ν2＝(1，53)，
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．]
【教师备用】
(多选)(2024·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
A．|F1|的最小值为12|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝π2时，|F1|＝22|G|
D．当θ＝2π3时，|F1|＝|G|
ACD [由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ
＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
所以|F1|2＝G221+csθ．
当θ＝0时，|F1|min＝12|G|；
当θ＝π2时，|F1|＝22|G|；
当θ＝2π3时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．]
课后习题(二十九) 平面向量的数量积及其应用
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A．6365 B．65 C．135 D．13
A [|a|＝32+42＝5，|b|＝52+122＝13．
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，所以cs θ＝635×13＝6365．]
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－34e [向量b在向量a上的投影向量为a·ba·e＝－34e．]
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
23 [a·b＝|a||b|cs 60°＝1，|a＋2b|＝a2+4b2+4a·b＝4+4+4＝23．]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·AC＝________．
8 [取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，AM＝12AB，所以AB·AC＝|AB||AC|·
cs∠BAC＝|AB||AM|＝12|AB|2＝8．]
5．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故选B．]
6．(2024·沈阳质检)已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为2π3，则|a－b|＝( )
A．7B．6
C．5D．3
D [因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×-12＋1＝3，
所以|a－b|＝3，故选D．]
7．(2024·北仑中学模拟)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [设a与b的夹角为θ，
因为|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，
所以a2＋a·b＝1＋2cs θ＝0，
即cs θ＝－12，因为0°≤θ≤180°，
所以a与b的夹角θ＝120°，故选D．]
8．已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A．255，-55或-255，55
B．-255，-55或255，55
C．255，55
D．-255，55
A [由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，∴b＝(6，－3)，∴与b共线的单位向量e＝±b62+-32＝±255，-55．]
9．(多选)(2024·湖北天门模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为22b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
CD [对于A，向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为a·bb·bb＝12b，故B错误；
对于C，a－b＝(1，2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝12(2m·n)≤122m+n22＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D正确．]
10．(2024·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向的夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝102 N，则物体的重力大小为________N．
20 [如图所示，∵|F1|＝|F2|＝102 N，
∴|F1＋F2|＝102×2＝20 N，
∴物体的重力大小为20 N．]
11．(2024·北京朝阳区模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则|a＋b|＝________，b在a上的投影等于________．
7 12 [因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋12＋2×1＝7，
所以|a＋b|＝7，b在a上的投影为a·ba＝12．]
12．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．
1 1 [法一：如图，DE·CB＝(DA+AE)·CB＝DA·CB+AE·CB＝DA2＝1，
DE·DC＝(DA+AE)·DC
＝DA·DC+AE·DC
＝AE·DC＝|AE|·|DC|≤|DC|2＝1．
法二：以A为坐标原点，以射线AB，AD为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，
D(0，1)，
设E(t，0)，t∈[0，1]，
则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，
所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1．
因为DC＝(1，0)，
所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故DE·DC的最大值为1．]