高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第四课时复数学案

这是一份高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第四课时复数学案，共16页。
[典例1] (1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
(2)(2024·诸暨模拟)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若1+aib+i＝ci，则( )
A．a＝b B．a＝1b
C．a＝－b D．a＝－1b
(1)A (2)C [(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i．
(2)由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，
则1=-c，a=bc，则a＝－b，故选C．]
解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
跟进训练1 (1)若复数z＝11-i＋ai(i为虚数单位，a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)(2024·杭州质检)设复数z＝a－i且z1+i＝1＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________，|z|＝________．
(1)B (2)－6 10 [(1)依题意，复数z＝11-i＋ai＝1+i1-i1+i＋ai＝12＋a+12i，其实部与虚部互为相反数，
所以12＋a+12＝0，
解得a＝－1，故选B．
(2)由z1+i＝1＋bi得z＝(1＋bi)(1＋i)＝1－b＋(1＋b)i．
因为复数z＝a－i，所以1-b=a，1+b=-1，
解得a=3，b=-2，则ab＝－6，z＝a－i＝3－i，则|z|＝32+-12＝10．]
考点二 复数的四则运算
1．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bd+bc-adic2+d2(c＋di≠0)．
2．几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+OZ2，Z1Z2＝OZ2-OZ1．
[典例2] (1)2-i1+2i＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1
C．2 D．2
(3)(2024·浙江十校联盟联考)已知两非零复数z1，z2，若z1·z2∈R，则一定成立的是( )
A．z1＋z2∈R B．z1·z2∈R
C．z1z2∈R D．z1z2∈R
(1)D (2)D (3)D [(1)2-i1+2i＝2-i1-2i1+2i1-2i＝-5i5＝－i．故选D．
(2)法一：z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2．
法二：|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2．故选D．
(3)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则由z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i∈R得ad＋bc＝0，
则z1z2＝a+bic-di＝a+bic+dic-dic+di
＝ac-bd+ad+bcic2+d2＝ac-bdc2+d2∈R，其他选项可逐一排除．故选D．]
记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1+i1-i＝i；③1-i1+i＝－i；④a+bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N)．
跟进训练2 (1)(2024·台州评估测试)已知复数z满足(3－4i)z＝i(其中i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B．125
C．5 D．15
(2)(2024·镇海中学检测)已知i是虚数单位，且复数z1＝1－2i，z2＝3＋mi(m∈R)，则|z1|＝______，若z2z1是实数，则实数m＝________．
(3)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．
(1)D (2)5 －6 (3)23 [(1)由(3－4i)z＝i，得复数z＝i3-4i，所以|z|＝i3-4i＝15．
(2)因为复数z1＝1－2i，所以|z1|＝|1－2i|＝1+4＝5．
设z2z1＝b，则z2＝z1b，即3＋mi＝b(1－2i)＝b－2bi，
所以3＝b，m＝－2b＝－6．
(3)法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝3＋i，
所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i．
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以3+a2+1+b2＝4，①
3-a2+1-b2＝4，②
①2＋②2得a2＋b2＝12．
所以|z1－z2|＝a2+b2＝23．
法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则z1＋z2对应向量OA+OB．
由题知|OA|＝|OB|＝|OA+OB|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作▱OACB，则z1－z2对应向量BA，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OA sin 60°＝23．
故|z1－z2|＝|BA|＝23．]
考点三 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ．
[典例3] (1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为OP，复数z2对应的向量为OQ，那么向量PQ对应的复数为( )
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(1)D (2)B [(1)因为z2＝－2i，而PQ＝OQ-OP，故向量PQ对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D．
(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则a+10，
∴a