开学活动
搜索
    上传资料 赚现金

    高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案

    高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案第1页
    高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案第2页
    高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案第3页
    还剩11页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案

    展开

    这是一份高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案,共14页。
    考点一 等差数列基本量的运算
    1.通项公式:an=a1+(n-1)d.
    2.前n项和公式:Sn=na1+nn-12d或Sn=na1+an2.
    [典例1] (1)(多选)(2024·淄博模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列选项正确的是( )
    A.a2+a3=0 B.an=2n-5
    C.Sn=n(n-4) D.d=-2
    (2)(2024·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中,Sn为其前n项和,S4=24,S9=99,则a7等于( )
    A.13 B.14
    C.15 D.16
    (1)ABC (2)C [(1)S4=4×a1+a42=0,
    ∴a1+a4=a2+a3=0,A正确;
    a5=a1+4d=5,①a1+a4=a1+a1+3d=0,②
    联立①②得d=2,a1=-3,
    ∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,B正确,D错误;
    Sn=-3n+nn-12×2=n2-4n,C正确.
    (2)∵S4=24,S9=99,∴4a1+6d=24,9a1+36d=99,解得a1=3,d=2.
    则a7=a1+6d=15.]
    等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可通过方程组达到“知三求二”,解题的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
    跟进训练1 (1)(多选)(2024·广州调研)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a6=24,S6=48,则下列正确的是( )
    A.a1=-2 B.a1=2
    C.d=4 D.d=-4
    (2)(2024·信阳一中月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.
    (1)AC (2)25 [(1)设等差数列{an}的公差为d.
    因为a3+a6=2a1+7d=24,S6=6a1+15d=48,
    所以a1=-2,d=4.
    (2)设等差数列{an}的公差为d,
    则a2+a6=2a1+6d=2.
    因为a1=-2,所以d=1.
    所以S10=10×(-2)+10×92×1=25.]
    考点二 等差数列的判定与证明
    1.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
    2.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且有2A=a+b.
    [典例2] (2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1an.
    (1)求证:数列1an-1是等差数列;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    [解] (1)证明:由1an+1-1=12an-1an-1=anan-1=1an-1+1,
    得1an+1-1-1an-1=1,
    又a1=2,∴1a1-1=1,
    ∴数列1an-1是以1为首项,1为公差的等差数列.
    (2)由(1)知,1an-1=n,∴an=n+1n,
    ∴数列{an}的通项公式为an=n+1n.
    等差数列的证明方法一般用定义法,即证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数;而判断一个数列是等差数列时可以用定义法、等差中项法、通项公式法及前n项和公式法等.
    跟进训练2 (2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
    (1)求a2,a3;
    (2)证明数列ann是等差数列,并求{an}的通项公式.
    [解] (1)由题意可得a2-2a1=4,
    则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
    由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,
    所以a3=15.
    (2)由已知得nan+1-n+1annn+1=2,即an+1n+1-ann=2,
    所以数列ann是首项为a11=1,公差为2的等差数列,
    则ann=1+2(n-1)=2n-1,
    所以an=2n2-n.
    考点三 等差数列性质的应用
    1.通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
    2.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
    3.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
    4.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等差数列.
    5.S2n-1=(2n-1)an.
    6.等差数列{an}的前n项和为Sn,Snn为等差数列.
    等差数列项的性质
    [典例3] (2024·衡阳调研)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a1+a6等于( )
    A.6 B.7
    C.8 D.9
    B [因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差数列,由等差数列性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a1+a6=a3+a4=3+4=7.]
    等差数列前n项和的性质
    [典例4] (1)(2024·济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于( )
    A.110 B.150
    C.210 D.280
    (2)(2024·广东仲元中学月考)已知数列{an},{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=3n+2n+1,则a5b5等于( )
    A.295 B.2910
    C.285 D.145
    (1)D (2)B [(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn,
    所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列.
    故(S30-S20)+S10=2(S20-S10),
    所以S30=150.
    又因为(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20),
    所以S40=280.
    (2)根据等差数列的性质和前n项和公式,有a5b5=2a52b5=9a1+a929b1+b92=S9T9=3×9+29+1=2910.故选B.]
    利用等差数列的性质解题的三个关注点
    (1)在等差数列题目中,只要出现项的和问题,一般先考虑应用项的性质.
    (2)在Sn=na1+an2中,Sn与a1+an可相互转化.
    (3)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可求S2m或S3m.
    跟进训练3 (1)(2024年1月九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )
    A.120 B.140
    C.160 D.180
    (2)(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018,S2 0202 020-S2 0142 014=6,则S2 024=________.
    (1)C (2)10 120 [(1)因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,
    所以S16=a1+a16×162=8a5+a12=160.
    故选C.
    (2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,
    设其公差为d,则S2 0202 020-S2 0142 014=6d=6,所以d=1,
    所以S2 0242 024=S11+2 023d=-2 018+2 023=5,
    所以S2 024=10 120.]
    考点四 等差数列的前n项和及其最值
    1.通项公式:当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数列.
    2.前n项和:当公差d≠0时,Sn=na1+nn-12d=d2n2+a1-d2n是关于n的二次函数且常数项为0.
    [典例5] (2024·凉山州模拟)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15.求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
    [解] 法一(函数法):
    因为a1=20,S10=S15,
    所以10×20+10×92d=15×20+15×142d,
    所以d=-53.
    Sn=20n+nn-12·-53=-56n2+1256n
    =-56n-2522+3 12524.
    因为n∈N*,所以当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
    法二(邻项变号法):
    因为a1=20,S10=S15,
    所以10×20+10×92d=15×20+15×142d,
    所以d=-53.
    an=20+(n-1)×-53=-53n+653.
    因为a1=20>0,d=-530,则n的最大值为________.
    (1)C (2)16 [(1)法一:由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.
    根据首项等于13可推出这个数列递减,从而得到a7>0,a80,即-n2+17n>0,
    解得00,
    由等差中项的性质有3a11>0,即a11>0,
    由a2+a21

    相关学案

    高三数学一轮复习第六章数列第四课时数列求和学案:

    这是一份高三数学一轮复习第六章数列第四课时数列求和学案,共12页。

    高三数学一轮复习第六章数列第三课时等比数列学案:

    这是一份高三数学一轮复习第六章数列第三课时等比数列学案,共11页。

    高三数学一轮复习第六章数列第一课时数列的概念与简单表示法学案:

    这是一份高三数学一轮复习第六章数列第一课时数列的概念与简单表示法学案,共15页。学案主要包含了教师备选资源等内容,欢迎下载使用。

    英语朗读宝
    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map