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高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案
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这是一份高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案,共14页。
考点一 等差数列基本量的运算
1.通项公式:an=a1+(n-1)d.
2.前n项和公式:Sn=na1+nn-12d或Sn=na1+an2.
[典例1] (1)(多选)(2024·淄博模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则下列选项正确的是( )
A.a2+a3=0 B.an=2n-5
C.Sn=n(n-4) D.d=-2
(2)(2024·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中,Sn为其前n项和,S4=24,S9=99,则a7等于( )
A.13 B.14
C.15 D.16
(1)ABC (2)C [(1)S4=4×a1+a42=0,
∴a1+a4=a2+a3=0,A正确;
a5=a1+4d=5,①a1+a4=a1+a1+3d=0,②
联立①②得d=2,a1=-3,
∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,B正确,D错误;
Sn=-3n+nn-12×2=n2-4n,C正确.
(2)∵S4=24,S9=99,∴4a1+6d=24,9a1+36d=99,解得a1=3,d=2.
则a7=a1+6d=15.]
等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可通过方程组达到“知三求二”,解题的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
跟进训练1 (1)(多选)(2024·广州调研)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a6=24,S6=48,则下列正确的是( )
A.a1=-2 B.a1=2
C.d=4 D.d=-4
(2)(2024·信阳一中月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.
(1)AC (2)25 [(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3+a6=2a1+7d=24,S6=6a1+15d=48,
所以a1=-2,d=4.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
则a2+a6=2a1+6d=2.
因为a1=-2,所以d=1.
所以S10=10×(-2)+10×92×1=25.]
考点二 等差数列的判定与证明
1.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且有2A=a+b.
[典例2] (2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1an.
(1)求证:数列1an-1是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)证明:由1an+1-1=12an-1an-1=anan-1=1an-1+1,
得1an+1-1-1an-1=1,
又a1=2,∴1a1-1=1,
∴数列1an-1是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,1an-1=n,∴an=n+1n,
∴数列{an}的通项公式为an=n+1n.
等差数列的证明方法一般用定义法,即证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数;而判断一个数列是等差数列时可以用定义法、等差中项法、通项公式法及前n项和公式法等.
跟进训练2 (2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)证明数列ann是等差数列,并求{an}的通项公式.
[解] (1)由题意可得a2-2a1=4,
则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,
所以a3=15.
(2)由已知得nan+1-n+1annn+1=2,即an+1n+1-ann=2,
所以数列ann是首项为a11=1,公差为2的等差数列,
则ann=1+2(n-1)=2n-1,
所以an=2n2-n.
考点三 等差数列性质的应用
1.通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
2.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
3.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
4.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等差数列.
5.S2n-1=(2n-1)an.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,Snn为等差数列.
等差数列项的性质
[典例3] (2024·衡阳调研)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a1+a6等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
B [因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差数列,由等差数列性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a1+a6=a3+a4=3+4=7.]
等差数列前n项和的性质
[典例4] (1)(2024·济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于( )
A.110 B.150
C.210 D.280
(2)(2024·广东仲元中学月考)已知数列{an},{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=3n+2n+1,则a5b5等于( )
A.295 B.2910
C.285 D.145
(1)D (2)B [(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn,
所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列.
故(S30-S20)+S10=2(S20-S10),
所以S30=150.
又因为(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20),
所以S40=280.
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式,有a5b5=2a52b5=9a1+a929b1+b92=S9T9=3×9+29+1=2910.故选B.]
利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中,只要出现项的和问题,一般先考虑应用项的性质.
(2)在Sn=na1+an2中,Sn与a1+an可相互转化.
(3)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可求S2m或S3m.
跟进训练3 (1)(2024年1月九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )
A.120 B.140
C.160 D.180
(2)(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018,S2 0202 020-S2 0142 014=6,则S2 024=________.
(1)C (2)10 120 [(1)因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,
所以S16=a1+a16×162=8a5+a12=160.
故选C.
(2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,
设其公差为d,则S2 0202 020-S2 0142 014=6d=6,所以d=1,
所以S2 0242 024=S11+2 023d=-2 018+2 023=5,
所以S2 024=10 120.]
考点四 等差数列的前n项和及其最值
1.通项公式:当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数列.
2.前n项和:当公差d≠0时,Sn=na1+nn-12d=d2n2+a1-d2n是关于n的二次函数且常数项为0.
[典例5] (2024·凉山州模拟)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15.求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
[解] 法一(函数法):
因为a1=20,S10=S15,
所以10×20+10×92d=15×20+15×142d,
所以d=-53.
Sn=20n+nn-12·-53=-56n2+1256n
=-56n-2522+3 12524.
因为n∈N*,所以当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
法二(邻项变号法):
因为a1=20,S10=S15,
所以10×20+10×92d=15×20+15×142d,
所以d=-53.
an=20+(n-1)×-53=-53n+653.
因为a1=20>0,d=-530,则n的最大值为________.
(1)C (2)16 [(1)法一:由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.
根据首项等于13可推出这个数列递减,从而得到a7>0,a80,即-n2+17n>0,
解得00,
由等差中项的性质有3a11>0,即a11>0,
由a2+a21
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