高三数学一轮复习第六章数列第三课时等比数列学案

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考点一 等比数列基本量的运算
1．通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m．
2．前n项和公式：Sn＝na1q=1，a11-qn1-q=a1-anq1-qq≠1．
提醒：(1)求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．
[典例1] (1)等差数列{an}的公差为d，且满足a3，a5，a8成等比数列，则da1＝( )
A．12 B．0或12
C．2 D．0或2
(2)(2024·吉林东北师大附中模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，且a5＝3a3＋4a1，则a2 024＝( )
A．22 021 B．22 022
C．22 023 D．22 024
(1)B (2)D [(1)因为a3，a5，a8成等比数列，
所以a52＝a3a8，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，
所以(a1－2d)d＝0，解得d＝0或a1＝2d，
即da1＝0或12．故选B．
(2)设等比数列{an}的公比为q，q＞0，
a1＋a2＋a3＝14⇒a1＋a1q＋a1q2＝14， ①
又a5＝3a3＋4a1，所以a1q4＝3a1q2＋4a1， ②
由①②解得q＝2，a1＝2，则an＝a1qn-1＝2n，
故a2 024＝22 024．故选D．]
等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．特别地，当等比数列的公比不明确时，往往需要分类讨论．
跟进训练1 (1)(2024·东北三校联考)已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于( )
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
(2)(2024·徐州模拟)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，6a1＋a3＝30，则a4＝________．
(1)B (2)54或24 [(1)∵数列{an}为等比数列，
a2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，
设数列的公比为q，则S3＝－6＝－2－2q－2q2，
解得q＝－2或q＝1，
当q＝－2时，a6＝(－2)6＝64，
当q＝1时，a6＝－2．
(2)由a1·q=6，6a1+a1·q2=30，
解得q=3，a1=2或q=2，a1=3，
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝24．]
考点二 等比数列的判定与证明
1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
[典例2] (2024·福建漳州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝ann．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解] (1)由条件可得an＋1＝2n+1nan．
将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4．
将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12．
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4．
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得an+1n+1＝2ann，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得ann＝2n-1，所以an＝n·2n-1．
通常用定义法证明一个数列为等比数列，即若an+1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan-1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．判断一个数列是等比数列常常借助于定义法、等比中项法、前n项和公式法等．
跟进训练2 (多选)(2024·太原模拟)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( )
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列1an是公比为1q的等比数列
AD [对于A，由anan+1an-1an＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，1an+11an＝anan+1＝1q，所以数列1an是公比为1q的等比数列．]
考点三 等比数列性质的应用
1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝ak2．
2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{an2}，{an·bn}，anbn仍然是等比数列．
3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
4．等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
[典例3] (1)(2024·湛江一中月考)若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023等于( )
A．2 0243 B．1 011
C．2 0232 D．1 012
(2)(2024·双鸭山模拟)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40 B．60
C．32 D．50
(1)C (2)B [(1)由题意得a5a2 019＝3，
根据等比数列的性质知，
a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
于是a1 012＝312，
则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023
＝lg3(a1a2a3…a2 023)
＝lg3(31 011·312)＝2 0232．
(2)由题意知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60．]
(1)在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(q＝－1且n为偶数时除外)；
(2)等比数列中，依次m项积仍为等比数列，但公比发生变化；
(3)性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq”常用来转化条件．
跟进训练3 (1)(2024·山西大同模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(2)(2024·广东广州六中模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________．
(1)2 (2)73 [(1)由题意，得S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，
解得S奇=-80，S偶=-160，
所以q＝S偶S奇＝-160-80＝2．
(2)设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
∴S6-S3S3＝S9-S6S6-S3，
又由已知得S6＝3S3，
∴S9－S6＝4S3，
∴S9＝7S3，
∴S9S6＝73．]
课后习题(三十三) 等比数列
1．(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于( )
A．5 B．±5 C．4 D．±4
C [∵a52＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4．
又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4．]
2．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为( )
A．32 B．－3
C．－32 D．－3或32
D [由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得
q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－12．
∴a2＝a3q＝32或－3．故选D．]
3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
1，3，9或9，3，1 [设这三个数为aq，a，aq，则a+aq+aq=13，a·aq·aq=27，解得a=3，q=13或a=3，q=3，
∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]
4．(人教A版选择性必修第二册P40练习T1改编)一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米．
752 [设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列， a1＝128，q＝12，
S5＝128×1-1251-12＝248，
共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．]
5．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
A [由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12．故第4项为－24，故选A．]
6．(2024·济宁一中月考)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
B [∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9．]
7．(2024·开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n-1＋r，则r的值为( )
A．13 B．－13
C．19 D．－19
B [由等比数列前n项和的性质知，Sn＝32n-1＋r＝13×9n＋r，∴r＝－13．]
8．(2024·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
C [由题意可知，该人所走路程形成等比数列{an}，其中q＝12，
因为S6＝a11-1261-12＝378，解得a1＝192，所以a4＝a1·q3＝192×18＝24．]
9．(2024·北京模拟)设等比数列{an}满足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，则公比q＝________，lg2(a1a2a3…an)的最大值为________．
12 15 [因为a1＋a2＝48，所以由a4＋a5＝6，
可得q3(a1＋a2)＝6，q3＝18，q＝12．
由a1＋a2＝48，可得a1＋12a1＝48⇒a1＝32，
所以an＝32·12n-1＝26-n，
lg2(a1a2a3…an)＝lg2(25·24·…·26-n)＝lg225+6-nn2＝n11-n2，
因为n11-n2＝－12n-1122＋1218，n∈N*，
所以n＝5或6时，n11-n2有最大值，最大值为15．]
10．(2024·厦门调研)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a9＝________．
9 [由题意可得a2a8＝a52＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝lg2(a1a2…a9)＝9lg2a5＝9．]
11．(2024·山东潍坊模拟)记数列an的前n项积为Tn，写出一个同时满足①②的数列an的通项公式：an＝________．
①an是递增的等比数列；②T3＝T6．
2n-5(答案不唯一) [∵T3＝T6，∴a4a5a6＝1，
∴a5＝1．
不妨设q＝2，则a1＝116，an＝116×2n-1＝2n-5．]
12．(2024·威海模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1．设bn＝an＋1－2an．
(1)求证：数列{bn}为等比数列；
(2)设cn＝|bn－100|，Tn为数列{cn}的前n项和．求T10．
[解] (1)证明：由Sn＋1＝4an＋1，
得Sn＝4an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
所以bnbn-1＝an+1-2anan-2an-1＝2an-2an-1an-2an-1＝2(n≥2)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，
故a2＝4，a2－2a1＝2＝b1≠0，
所以数列{bn}为首项与公比均为2的等比数列．
(2)由(1)可得bn＝2·2n-1＝2n，
所以cn＝|2n－100|＝100-2n，n≤6，2n-100，n>6，
所以T10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200－21-261-2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994．