高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第三课时空间直线、平面的平行学案

这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第三课时空间直线、平面的平行学案，共29页。

考点一 与线、面平行相关命题的判定
1．如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
2．平行于同一个平面的两个平面平行.
3．垂直于同一条直线的两个平面平行.
4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
5．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
[典例1] (1)(2024·贵州期末)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2024·广东深圳模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有( )
A．F为AA1的中点
B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点
D．F为A1D1的中点
(1)A (2)ACD [(1)根据面面平行的性质定理，可知当“α∥β”时，有“m∥n”，故充分性成立；反之，当m∥n时，α，β可能相交(如图)，故必要性不成立. 所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件．故选A.
(2)如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，则EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面ACD1，EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，ACD满足．故选ACD.
]
平行关系的基本问题，应以定义、基本事实4和定理为依据，借助正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体为载体进行判断．
跟进训练1 (多选)(2024·厦门外国语学校月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
CD [对于A，若α∩β＝n，m∥n，m⊄α，m⊄β，则m∥α，m∥β，所以A错误．
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，所以B错误．
对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确．
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确．]
考点二 直线与平面平行的判定定理与性质定理
直线与平面平行的判定
[典例2] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
[证明] 法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF.
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝12CD，
又∵MF∥CD，
且MF＝12CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM.
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
法二(应用面面平行的判定定理及性质)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC.又E为AB的中点，AB綉CD，∴AE綉CG，
∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥EC，
又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.
PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.
又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE.
又AF⊂平面AFG，
∴AF∥平面PCE.
线面平行性质定理的应用
[典例3] (2024·福建泉州一中月考)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B.
[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，
所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
(1)应用线面平行的判定定理的关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
跟进训练2 (2024·大同模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解] (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
[典例4] (2024·沈阳模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
跟进训练3 (2024·张家口模拟)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
[证明] (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
考点四 平行关系的综合应用
[典例5] (2024·武汉质检)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
[解] (1)证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于点M，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以CPPM＝BPPD＝23，
又因为CQQD1＝BPPD＝23，
所以CQQD1＝CPPM＝23，
所以PQ∥MD1.
又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，
证明如下：
因为ARAB＝35，即BRRA＝23，
故BRRA＝BPPD.所以PR∥DA.
又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．
跟进训练4 (2024·石家庄模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥CD，MQ∥PC.
∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，
∴平面MNQ∥平面PCD.
(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝12.
证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，
∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，
∴NE綉MC，
∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE.
∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，
∴MN∥平面ACE，且PEPD＝12.
课后习题(三十七) 空间直线、平面的平行
1．(人教B版必修第四册P108练习B T2改编)如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25
D [由题意知，平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α，
又平面α∩平面PAB＝A′B′，所以A′B′∥AB，同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
因为PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，
所以A′B′∶AB＝2∶5，
所以S△A'B'C'S△ABC＝A'B'AB2＝252＝425.故选D.]
2．(苏教版必修第二册P186习题13.2(3)T5改编)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为( )
A．1 B．2 C．12 D．23
C [如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为AD∥平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，
所以AFFC＝DGGC＝12.故选C.
]
3．(人教A版必修第二册P143习题8.5T5改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.
]
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在空间四边形A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
5．(2024·宁波模拟)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α
D [A中，a可以在经过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．]
6．(2024·黄石月考)有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以相交，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确. 故选A.]
7．(2024·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D [对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；
对于D，如图，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，
因为a∥β，所以a∥a′，
又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，
又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，
a′⊂β，所以β∥α.]
8．(2024·银川模拟)如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A．65 B．75
C．85 D．95
C [由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF，
即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.]
9．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D．四边形EFGH是平行四边形或梯形
CD [由于BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形．故选CD.]
10．对于①②两个命题，①m⊂αl∥m ⇒l∥α；②l∥mm∥α⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为________．
[答案] l⊄α
11．(2024·重庆调研)平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于点P，已知AP＝8，BP＝9，CP＝16，则CD＝________.
2或34 [因为直线AB，CD相交于点P，所以A，B，C，D，P共面.
根据面面平行的性质定理可知，AC∥BD.
如图①，若点P在平面α，β的外部，则APAB＝CPCD，
即81＝16CD，解得CD＝2；
如图②，若点P在平面α，β之间，则APBP＝CPDP，
即89＝16DP，解得DP＝18，
所以CD＝CP＋DP＝34.
]
12．(2024·河北衡水中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
[证明] 如图．
(1)取B1B的中点M，
连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1.
又MC1∥BF，
∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，
则OE綉12DC.
又D1G綉12DC，
∴OE綉D1G.
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴EG∥D1O.
又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知BF∥HD1，
由题意易证B1D1∥BD.
又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
l∥aa⊂α#l⊄α
⇒l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
l∥α l⊂β α∩β=b
⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
a∥β b∥β a∩b=P a⊂α b⊂α
⇒α∥β
性质
定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
α∥β α∩γ=a β∩γ=b
⇒a∥b