高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第六课时向量法求空间角课件

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[典例2]　(2024·广州模拟)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点(如图1)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1-BCDE(如图2)．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：连接BD，如图所示．因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以DE⊥AB，所以在题图2中有DE⊥BE，DE⊥A1E.因为BE∩A1E＝E，BE，A1E⊂平面A1BE，所以DE⊥平面A1BE.因为DE⊂平面BCDE，所以平面A1BE⊥平面BCDE.
【教师备用】(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
点拨　利用空间向量求线面角的解题步骤
跟进训练2　已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，求直线CD与平面BDC1所成角的正弦值.
[典例3]　如图，△ABC与等边△ABD所在的平面相互垂直，DE∥BC，M为线段AD的中点，直线AE与平面CBM交于点N，BC＝BA＝2DE＝2，∠ABC＝90°.(1)求证：平面CBMN⊥平面ADE；(2)求平面CBMN与平面ACN夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为平面ABC⊥平面ABD，且两平面交于AB，∠ABC＝90°，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AD.又因为△ABD为等边三角形，M为线段AD的中点，所以BM⊥AD.因为BC∩BM＝B，BC，BM⊂平面CBMN，所以AD⊥平面CBMN.又因为AD⊂平面ADE，所以平面CBMN⊥平面ADE.
链接·2024高考试题(2024·北京高考数学真题) 17．(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2.
(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
跟进训练3　(2024·湛江一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，点E为C1D1的中点，求平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值.