高三数学一轮复习第八章解析几何第二课时两条直线的位置关系学案

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考点一 两条直线的位置关系的判断及应用
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形．
[常用结论]
三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
[典例1] (1)(2024·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)(2023·南昌三模)若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
A．l1恒过点(2，－2)
B．若l1∥l2，则a2＝12
C．若l1⊥l2，则a2＝1
D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
(1)A (2)C (3)BD [(1)由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，
解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．
(2)若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，
当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，
此时l1，l2重合，不符合题意；综上所述：“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．故选C.
(3)l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0⇔a(x＋y)＋x＋2＝0，当x+y=0，x+2=0，即x＝－2，y＝2时，直线l1恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)·(1－a)＝a2，解得a2＝12，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，11-a≥0，－a1-a≤0，解得0≤a