高三数学一轮复习第八章解析几何第三课时圆的方程学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第三课时圆的方程学案，共17页。

1．圆的定义及方程
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系的判定
设点M(x0，y0)，圆A的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为A(a，b)，半径为r，圆A的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则点M与圆A的位置关系的判断方法如下：
[典例1] (2024·四川广安高三模拟)分别根据下列条件，求圆的方程：
(1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；
(2)半径为13，且与直线2x＋3y－10＝0切于点(2，2)．
[解] (1)由于圆心在直线x－2y－2＝0上，可设圆心坐标为(2b＋2，b)，
再根据圆过两点A(0，4)，B(4，6)，
可得[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，
解得b＝1，可得圆心为(4，1)，
半径为4-02+1-42＝5，
故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.
(2)设圆心坐标为(m，n)，
则n-2m-2×-23=-1， m-22+n-22=13，
∴m＝0，n＝－1或m＝4，n＝5，
∴圆的方程为x2＋(y＋1)2＝13或(x－4)2＋(y－5)2＝13.
求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
[解] 法一：由题意可知A(－3，0)，B(3，0)，C32，3.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则9-3D+F=0， 9+3D+F=0， 94+9+32D+3E+F=0，解得D=0， E=-34，F=-9.
故所求圆的方程为x2＋y2－34y－9＝0，
其圆心坐标为0，38，半径为
12-342-4×-9＝3658.
法二：由题意，可得点B的坐标是(3，0)，点C的坐标是32，3，线段BC的中点坐标是94，32，直线BC的斜率kBC＝－2，线段BC的垂直平分线的方程是y－32＝12x-94，
与方程x＝0联立，解得y＝38，
所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是0，38，
半径|EB|＝0-32+38 -02＝3658，
所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋y-382＝58564，
这个圆的圆心坐标是0，38，半径是3658.
考点二 与圆有关的最值问题
斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求yx的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．
(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设yx＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+1＝3，解得k＝±3(如图①)．
所以yx的最大值为3，最小值为－3.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b2＝3，解得b＝－2±6(如图②)．
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．
又圆心到原点的距离为2-02+0-02＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.
建立函数关系求最值
[典例3] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________．
12 [由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
]
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝y-bx-a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值．
跟进训练2 已知点A(4，2)，点P是圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上的任意一点．
(1)当r＝2时，求|PA|的最大值；
(2)若|PA|的最小值为3，求r的值．
[解] 圆C的圆心坐标为(1，－2)，由两点间的距离公式得|AC|＝4-12+2--22＝5.
(1)由|AC|>r＝2知，点A在圆C外，
所以|PA|max＝|AC|＋r＝5＋2.
(2)当点A在圆C外时，|PA|min＝|AC|－r＝3，即5－r＝3，即r＝2；当点A在圆C内时，|PA|min＝r－|AC|＝3，即r－5＝3，即r＝8.故满足条件的r的值为2或8.
考点三 与圆有关的轨迹问题
[典例4] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解] (1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝yx+1，kBC＝yx-3，
所以yx+1·yx-3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0+32，y＝y0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质求解圆的方程．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
[解] (1)设点D为线段AB的中点，
直线m为线段AB的垂直平分线，则D32，-12.
又kAB＝－3，所以km＝13，所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由x-3y-3=0，x-y+1=0， 得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝-3-12+-2-12＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．因为点P的坐标为(5，0)，
所以x=x0+52，y=y02， 即x0=2x-5，y0=2y，
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝254.
【教师备用】
设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
[解] 如图，
设P(x，y)，
N(x0，y0)，则ON＝(x0，y0)，MP＝(x＋3，y－4)．
因为四边形MONP为平行四边形，所以ON＝MP，
所以x0=x+3， y0=y-4.
因为点N在圆x2＋y2＝4上，
所以x02+y02＝4，即(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当O，M，P三点共线时，不构成平行四边形．
直线OM的方程为y＝－43x，
联立(x+3)2+y-42=4，y=-43 x，
解得x=-95，y=125 或x=-215，y=285.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，半径为2的圆，除去两点-95，125和-215，285.
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结论．

【教师备用】
拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得x+m2+y2＝λx-m2+y2，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，x-λ2+1λ2-1m2＋y2＝4λ2m2λ2-12，轨迹为以点λ2+1λ2-1m，0为圆心，2λmλ2-1为半径的圆．
[典例] (1)(多选)(2023·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A-2，0，B(4，0)．点P满足PAPB＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为x+42＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．在C上存在点M，使得MO＝2MA
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
(2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝2|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
(1)AD (2)[－22－1，22－1] [(1)由题意可设点Px，y，由A-2，0，B4，0，PAPB＝12，得x+22+y2x-42+y2＝12，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即x+42＋y2＝16，故A正确；
点(1，1)到圆上的点的最大距离-4-12+0-12＋4<10，故不存在点D符合题意，故B错误；
设M(x0，y0)，由MO＝2MA，得x02+y02＝2x0+22+y02，又x0+42+y02＝16，
联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C错误；
C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝3×-4-135＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离d＋r＝5＋4＝9，故D正确．故选AD.
(2)设P(x，y)，则x-12+y2＝2·x-32+y2，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤22.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].]
课后习题(四十四) 圆的方程
1．(人教B版选择性必修第一册P121习题2－3A组T2改编)圆x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的面积最小值是( )
A．52π B．5π C．10π D．20π
B [圆x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的半径r＝124+4a2+16＝a2+5≥5，即rmin＝5，
∴Smin＝5π.]
2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
A [法一：AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝1--12+-1-12＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]
3．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.
又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：由已知条件得，线段AB的垂直平分线的方程是y＝x，
由y=x， x+y-2=0，解得x=1，y=1，
∴圆心坐标为(1，1)，
∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.]
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴F=0， 2+D+E+F=0，4+2D+F=0， 解得D=-2，E=0， F=0.
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
5．(2024·河南郑州模拟预测)圆心在射线y＝34x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－8x－6y＝0 B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0 D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
C [因为圆心在射线y＝34x(x≤0)上，故设圆心为a，34a(a≤0)，
又半径为5，且经过坐标原点，所以a2+34 a2＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，
即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故选C.]
6．(2023·广东湛江二模)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝33x也相切，且圆C经过点P(2，3)，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或143 C．74 D．74或163
B [因为直线l：y＝33x的倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝3x上．
设圆心C(a，3a)，则圆C的方程为
(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，
将点P(2，3)的坐标代入，
得(2－a)2＋(3-3a)2＝a2，
整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝73.
所以圆C的直径为2或143.
故选B.]
7．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝34，那么yx的最大值是( )
A．12 B．33 C．32 D．3
D [显然x≠0，令yx＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝34得(1＋k2)x2－2x＋14＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×14≥0，解得－3≤k≤3.
所以k的最大值为3.故选D. ]
8．(2024·梧州模拟预测)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2－2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0
C [圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为Aa2，-1，圆x2＋y2＝1的圆心为B(0，0)，
因为圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，
所以AB的中点a4，-12满足直线y＝x－1，解得a＝2，
过点C(－2，2)的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为(x，y)，
所以x+22+y-22＝|x|，
解得y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.]
9．(2024·云南昆明模拟)已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
0或1(只写一个即可) [由题设知AM⊥MB，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为2，
所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝02＝0，即直线过圆心，
所以M到直线y＝x＋2的距离范围为[0，2]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.]
10．(2023·银川三模)若圆x2＋y2－2ax－2by＝0(a>0，b>0)被直线x＋y＝1平分，则1a+2b的最小值为________．
3＋22 [由x2＋y2－2ax－2by＝0⇒(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2，所以该圆的圆心坐标为(a，b)，
因为圆x2＋y2－2ax－2by＝0被直线x＋y＝1平分，所以圆心(a，b)在直线x＋y＝1上，
因此有a＋b＝1，所以1a+2b＝(a＋b)1a+2b＝3＋ba+2ab≥3＋22，
当且仅当ba＝2ab，即a＝2－1，b＝2－2时，取等号．故答案为：3＋22.]
11．已知圆O的方程为x2＋y2＝4，定点A(1，0)，若B，C为圆O上的两个动点，则线段AB的中点P的轨迹方程为________；若弦BC经过点A，则BC中点Q的轨迹方程为________．
x-122＋y2＝1 x-122＋y2＝14 [设B(x0，y0)，P(x，y)，因为P为线段AB的中点，所以2x＝x0＋1，2y＝y0，
又因为B为圆O上一点，所以x02+y02＝4，即(2x－1)2＋(2y)2＝4，
所以P点的轨迹方程为x-122＋y2＝1.
因为BC的中点为Q，所以OQ⊥BC，又因为BC经过点A，
所以OQ⊥AQ，所以点Q的轨迹是以线段OA为直径的圆，
其轨迹方程为x-122＋y2＝14.
故答案为：x-122＋y2＝1；x-122＋y2＝14.]
12．已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值；
(3)若过点(0，5)的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程．
[解] (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆经过A(－1，1)和点B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
所以(-1-a)2+1-b2=r2， -2-a2+-2-b2=r2， a+b-1=0， 解得a=3， b=-2， r=5，
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝3+2+52＝52>5，所以直线与圆相离，
所以|PQ|的最小值为d－r＝52－5.
(3)当斜率存在时，设直线的方程为kx－y＋5＝0.由条件可知，圆心C到直线kx－y＋5＝0的距离为d＝52-42＝3，
根据点到直线的距离公式得3k+2+5k2+1＝3，解得k＝－2021.
当斜率不存在时，直线方程为x＝0，符合被圆C所截得的弦长为8.
所以直线方程为20x＋21y－105＝0或x＝0.
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心-D2，-E2，
半径12D2+E2-4F
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点M(x0，y0)
在圆A内
|MA|
(x0－a)2＋(y0－b)2x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
点M(x0，y0)
在圆A上
|MA|
＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M(x0，y0)
在圆A外
|MA|
>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F>0