高三数学一轮复习第八章解析几何第四课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第四课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共19页。

设圆O的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
[常用结论]
已知圆x2＋y2＝r2与点P(x0，y0)．
(1)当点P在圆上时，过点P的切线方程为x0x＋y0y＝r2，如图1.
(2)当点P在圆外时，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2，如图2.
(3)当点P在圆内且异于圆心时，过点P作圆的弦，则弦的两个端点处的切线的交点的轨迹是一条直线，其方程为x0x＋y0y＝r2，如图3.

提醒：当圆的圆心不在原点时，相应的结论会有变化．
(1)若点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则过该点的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上，则过该点的切线方程为x0x＋y0y＋D×x0+x2＋E×y0+y2＋F＝0.
[典例1] 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
B [因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝a·0+b·0-1a2+b2＝1a2+b2<1.
所以直线与圆相交．]
【教师备用】
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
ABD [对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，
∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD.]
判断直线与圆的位置关系的两种方法
跟进训练1 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
(2)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)A [(1)法一(代数法)：
由mx-y+1-m=0，x2+y-12=5，
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝-mm2+1<1<5，所以直线l与圆相交．
法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
(2)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有a-3+42＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．]
考点二 圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
[常用结论]
1．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
2．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
[典例2] 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[解] 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为11和61-m.
(1)当两圆外切时，
5-12+6-32＝11+61-m，
解得m＝25＋1011.
(2)法一(作差法)：由x2+y2-2x-6y-1=0， x2+y2-10x-12y+m=0，
两式相减得8x＋6y－1－m＝0.
又当两圆相内切时，固定圆的半径11小于两圆圆心间的距离5，所以61-m-11＝5，
所以m＝25－1011.
所以所求公切线方程为4x＋3y＋511－13＝0.
法二(直接法)：当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．
故有61-m-11＝5，解得m＝25－1011.
因为kMN＝6-35-1＝34，
所以两圆公切线的斜率是－43.
设切线方程为y＝－43x＋b，
则有43×1+3-b432+1＝11，解得b＝133±5311.
容易验证，当b＝133+5311时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．
故所求公切线方程为y＝－43x＋133-5311，
即4x＋3y＋511－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×112-4+3×3-2342+322＝27.
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【教师备用】
(多选)(2023·山西省太原师苑中学月考)已知⊙O1：x2＋y2－2mx＋2y＝0，⊙O2：x2＋y2－2x－4my＋1＝0.则下列说法中，正确的有( )
A．若(1，－1)在⊙O1内，则m<0
B．当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线
C．若⊙O1与⊙O2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点13，16
D．∃m∈R，使得⊙O1与⊙O2公共弦所在直线的斜率为12
BC [由题意得，⊙O1：(x－m)2＋(y＋1)2＝m2＋1，⊙O2：(x－1)2＋(y－2m)2＝4m2，
则O1(m，－1)，r1＝m2+1，O2(1，2m)，
r2＝2|m|，则m≠0.
对于A，由(1，－1)在⊙O1内，可得
m-12+-1+12<1+m2，
即m>0，所以选项A错误；
对于B，当m＝1时，O1(1，－1)，r1＝2，O2(1，2)，r2＝2，所以|O1O2|＝3∈(2－2，2＋2)，所以两圆相交，共有两条公切线，所以选项B正确；
对于C，设两圆的公共弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12+y12－2mx1＋2y1＝0，x12+y12－2x1－4my1＋1＝0，两方程相减得(－2m＋2)x1＋(2＋4m)y1－1＝0，
同理(－2m＋2)x2＋(2＋4m)y2－1＝0，即公共弦方程为m(－2x＋4y)＋(2x＋2y－1)＝0，
令-2x+4y=0， 2x+2y-1=0，得x=13，y=16，
所以公共弦所在直线过定点13，16，所以选项C正确；
对于D，公共弦所在直线的斜率为2m-22+4m，令2m-22+4m＝12，无解，所以选项D错误．故选BC.]
跟进训练2 (1)(2024·河北石家庄模拟)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0a>0截直线3x－y＝0所得的弦长为23，则圆C与圆C′：x-12＋y+12＝1的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
(2)(2023·山东潍坊模拟)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程是________．
(1)C (2)(x－3)2＋(y＋1)2＝16 [(1)圆C的圆心为0，-a，半径为a，其圆心到直线3x－y＝0的距离为a3+1＝a2，
所截得的弦长为2a2-a22＝3a＝23，解得a＝2.
所以C：x2＋y+22＝4，C的圆心为0，-2，半径为2.
又C′的圆心为(1，－1)，半径为1，
|CC′|＝0-12+-2+12＝2，
故可得2－1<|CC′|<2＋1，
则两圆的位置关系是相交．故选C.
(2)法一：由x2+y2-4x-6=0，x2+y2-4y-6=0，
解得x=-1，y=-1 或x=3，y=3，
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．
由y-1=-x-1，x-y-4=0， 解得x=3， y=-1，
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为3-32+3+12＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
法二：同法一，求得A(－1，－1)，B(3，3)．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由a-b-4=0， -1-a2+-1-b2=r2，3-a2+3-b2=r2， 解得a=3， b=-1， r=4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
法三：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，化简可得x2＋y2－41+λx－4λ1+λy－6＝0，其圆心坐标为21+λ，2λ1+λ.
又圆心21+λ，2λ1+λ在直线x－y－4＝0上，
所以21+λ-2λ1+λ－4＝0，解得λ＝－13，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.即(x－3)2＋(y＋1)2＝16.]
考点三 圆的切线、弦长问题
切线问题
[典例3] 已知圆C：(x－3)2＋y2＝1.
(1)过点P(0，1)作直线l与圆C相切，切线长为________，直线l的方程为________．
(2)过点M(2，3)作直线l与圆C相切，则直线l的方程为________．
(3)过直线y＝x＋1上一点B向圆C引切线，Q为切点，则|BQ|的最小值为________．
(1)3 y＝1或3x＋4y－4＝0 (2)4x＋3y－17＝0或x＝2 (3)7 [(1)如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.
因为|PC|2＝32＋12＝10，|CQ|2＝r2＝1，
所以|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝10－1＝9，
所以|PQ|＝3.
依题意可设直线l：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，圆心C(3，0)到直线l的距离d＝3k+11+k2＝1，整理得4k2＋3k＝0，
解得k＝－34或k＝0，
故直线l的方程为y＝1或3x＋4y－4＝0.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，圆心C(3，0)到直线l的距离d＝k+31+k2＝1，化简整理得3k＋4＝0，即k＝－43，这时直线l的方程为4x＋3y－17＝0.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，易知它与圆(x－3)2＋y2＝1相切．
所以直线l的方程为4x＋3y－17＝0或x＝2.
(3)如图，连接BC，CQ，则△BCQ为直角三角形，且∠CQB＝90°.设B(a，a＋1)(a∈R)，则|BQ|2＝|BC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时等号成立)．
所以|BQ|≥7，即|BQ|的最小值为7.
]
弦长问题
[典例4] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．
(1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得
x=0， x2+y2-2x-2y-2=0，得x=0， y=1-3或x=0， y=1+3，
∴|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝k-1+3k2+1＝k+2k2+1，∵d 2＋AB22＝r2，
∴k+22k2+1＋3＝4，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
(2)由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝3m-3m2+1.
由|AB|＝23得3m-3m2+12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，垂足为E，则∠DCE＝π6.
在Rt△CDE中，可得|CD|＝ABcsα＝23×23＝4.
]
求圆的切线、弦长时需注意的问题
(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．
(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
跟进训练3 (1)(多选)(2023·安徽开学考试)已知直线l：mx－y－m＋3＝0(m∈R)及圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝3，则( )
A．直线l过定点
B．直线l截圆C所得弦长最小值为2
C．存在m，使得直线l与圆C相切
D．存在m，使得圆C关于直线l对称
(2)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．35 B．65 C．415 D．215
(1)ABD (2)D [(1)A选项，由l：mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋(3－y)＝0，得x-1=0，3-y=0，解得x=1，y=3，所以直线l过定点(1，3)，故A正确；B选项，由圆的标准方程可得圆心为C(2，4)，半径r＝3，直线l过的定点为M(1，3)，当l⊥CM时，直线l截圆C所得弦长最短，因为|CM|＝2，则最短弦长为232-22＝2，故B正确；C选项，(1－2)2＋(3－4)2<3，故点M(1，3)在圆C内，所以直线l与圆C一定相交，故C错误；D选项，当直线l过圆心C时，满足题意，此时2m－4－m＋3＝0，解得m＝1，故D正确. 故选ABD.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝5，如图，
显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝25，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，
|EF|＝2-12+-1-02＝2，
|BD|＝2r2-EF2＝23，
∴S四边形ABCD＝12|AC|×|BD|＝215.]
课后习题(四十五) 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B [圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．]
2．(北师大版选择性必修第一册P39练习T2改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
B [两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]
3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝________．
±104 [圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，
圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到公共弦的距离d＝54a2+16a2＝52a2，则公共弦长为22＝24-d2，解得a＝±104.]
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为______________．
5x－12y＋45＝0或x－3＝0 [化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝3-12+5-22＝13>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝3-2kk2+1＝2，
即|3－2k|＝2k2+1，所以k＝512，此时直线方程为5x－12y＋45＝0.
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.]
5．(2024·南充模拟预测)已知直线l：kx－y－k－2＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0, 则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
B [圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6, 圆心C(1，－2), 直线l：kx－y－k－2＝0可化为y＋2＝k(x－1)，则直线l过定点(1，－2)，因此直线l经过圆心C, 所以直线l与圆C相交．故选B.]
6．(2024·唐山模拟预测)已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于2，则r＝( )
A．2 B．4 C．22 D．8
C [圆心C(0，0)，则点C到直线l的距离d＝0-0+22＝2，又因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，所以圆心到直线l的距离d＝r2，即r＝2d＝22.故选C.]
7．(多选)(2023·湖南长沙二模)已知点P在圆C1：(x－2)2＋y2＝4上，点Q在圆C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，则( )
A．两圆外离
B．|PQ|的最大值为9
C．|PQ|的最小值为1
D．两个圆的一条公切线方程为3x－4y＋4＝0
ABC [圆C1：(x－2)2＋y2＝4的圆心C1(2，0)，半径r＝2，
圆C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0，即(x＋1)2＋(y－4)2＝4的圆心C2(－1，4)，半径R＝2，
所以圆心距|C1C2|＝-1-22+4-02＝5，因为|C1C2|>R＋r＝4，所以两圆外离，故A正确；
因为P在圆C1上，Q在圆C2上，所以|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝1，|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝9，故B、C正确；因为圆心C2(－1，4)到直线3x－4y＋4＝0的距离d＝-1×3-4×4+432+42＝3≠R，所以3x－4y＋4＝0不是两圆公切线，故D错误．故选ABC.]
8．(2023·宁德二模)如图是由线段AB，AC和优弧BC围成的“水滴”，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为2，则sin ∠BAC＝( )
A．23 B．13 C．229 D．429
D [如图所示，设圆心为O，AO与圆弧相交于点F，连接OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC.
设半径|OB|＝r，则竖直高度为2r，水平宽度为|AF|＝4r，
则|AO|＝3r，设∠BAC＝2θ，则∠BAO＝θ.
则sin θ＝OBOA＝13，cs θ＝ABOA＝AO2-OB2OA＝223，
所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×13×223＝429.故选D.]
9．(2023·河北石家庄一模)直线l：ax＋by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相切，则(a－3)2＋(b－4)2的最大值为( )
A．16 B．25 C．49 D．81
C [由直线l与圆O相切可得：圆心O(0，0)到直线l的距离等于圆的半径，即-4a2+b2＝2，
故a2＋b2＝4，即点(a，b)在圆O上，(a－3)2＋(b－4)2的几何意义为圆上的点(a，b)与点(3，4)之间距离的平方，由a2＋b2＝4，圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a2＋b2＝4外，
所以点(a，b)到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，
即d＋r＝3-02+4-02＋2＝7，所以(a－3)2＋(b－4)2的最大值为72＝49.故选C.]
10．(2024·北京模拟预测)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为22，则满足条件的点P的个数为________．
3 [设P(x0，y0)，由点P到直线y＝x的距离为22，得x0-y02＝22，
两边平方整理得x02+y02－2x0y0＝1，①
因为(x0，y0)在圆C上，所以x02＋(y0－1)2＝2，即x02+y02－2y0＝1，②
联立①②，得y0(x0－1)＝0，解得y0＝0或x0＝1，
当y0＝0时，由①可得x02＝1，解得x0＝1或x0＝－1，即P(1，0)或P(－1，0)；
当x0＝1时，由①②可得y02－2y0＝0，解得y0＝0或y0＝2，即P(1，0)或P(1，2)．
综上，满足条件的点P的个数为3.故答案为3.]
11．(2023·淮南一模)已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为________；△ABC的面积为________．
2x＋3y－9＝0 2413 [两圆相减得：4x＋6y＝18，化简得：2x＋3y－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0.圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0变形得到(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心C(2，3)，半径为2，
故圆心C(2，3)到直线AB的距离为d＝4+9-94+9＝41313，则|AB|＝2×22-413132＝121313，故△ABC的面积为12|AB|·d＝12×121313×41313＝2413.
故答案为2x＋3y－9＝0，2413.]
12．(2024·江苏南通高三模拟)已知圆O：x2＋y2＝16，圆M：(x－2)2＋(y－4)2＝r2(r>0)．
(1)圆M与圆O交于点A，B，若|AB|＝855，求圆M的半径r；
(2)是否存在斜率为－1的直线l，使以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
[解] (1)因为圆O：x2＋y2＝16，圆M：(x－2)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，
所以两圆方程相减得直线AB方程为4x＋8y＝36－r2，
又|AB|＝855，所以圆心O到直线AB的距离为16-12×8552＝855，
两圆心距离为|MO|＝22+42＝25，
所以圆心M到AB距离为4+r216+64＝25-855，解得r2＝4，r＝2.
(2)设直线l方程为y＝－x＋b，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立直线与圆O方程消去y，得2x2－2bx＋b2－16＝0，
所以x1＋x2＝b，x1x2＝12b2－8，Δ＝4b2－4×2(b2－16)>0，得－42y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2b＝b，y1y2＝(－x1＋b)·(－x2＋b)＝x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝12b2－8，
因为以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M，
所以MC·MD＝0，(x1－2)(x2－2)＋(y1－4)(y2－4)＝0，
所以x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝0，
即12b2－8－2b＋4＋12b2－8－4b＋16＝0，解得b＝3±5，
所以存在斜率为－1的直线l，使以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点，且直线方程为y＝－x＋3＋5或y＝－x＋3－5.位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d常见问题
最值问题
切线问题
弦长问题
外离
外切
相交
内切
内含
图
形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|