高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第三课时随机事件与概率学案

这是一份高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第三课时随机事件与概率学案，共18页。

1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
[典例1] (1)(2024·湖北襄阳模拟预测)已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
(3)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
(1)C (2)BC (3)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 5 [(1)因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确．所以①③④正确，正确的命题有3个．故选C.
(2)不妨记两个黑球为A1，A2，两个红球为B1，B2，从中取出2个球，则所有样本点如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一个黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，两个事件没有共同的样本点，故互斥，B正确；
至少一个黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是红球包括B1B2，
两个事件没有共同的样本点，且两者包括的样本点的并集为全部样本点，故对立，C正确．
同理可知A、D都不正确，故选BC.
(3)任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.]
1．确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．事件的关系运算策略
(1)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
跟进训练1 (1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A．A∪B表示向上的点数是1或3或5
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或3
D．A∩B表示向上的点数是1或5
(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
(1)A (2)B [(1)设A＝{1，3}，B＝{1，5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，
∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.故选A.
(2)“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]
考点二 随机事件的频率与概率
1．频率与概率
(1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
(2)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
[常用结论]
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[典例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
(2)(2023·福建厦门高三模拟预测)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
(3)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
(1)0.98 (2)0.25 (3)0.96 [(1)经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10＝0.98.
(2)20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393，
其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25，故答案为：0.25.
(3)设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，记“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]
频率与概率的关系
跟进训练2 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
[解] (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
70×28+30×17+0×34-70×21100＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务．
考点三 古典概率
1．古典概型
具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝nAnΩ．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[典例3] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A．16 B．13 C．12 D．23
(2)(2024·河南模拟预测)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( )
A．12 B．13 C．15 D．110
(3)(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A．15 B．13 C．25 D．23
(1)D (2)C (3)C [(1)从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有C72＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝21-721＝23.
故选D.
(2)由题意，样本空间有C62＝15个样本点，其中任取两个节气恰在同一个月这一事件有3个样本点，所以P＝315＝15，故选C.
(3)从6张卡片中无放回抽取2张，共有C62＝15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1，4，2，4，2，6，3，4，4，5，4，6，共6种情况，故所求概率为615＝25.故选C.]
【教师备用】
1．(2024·河南商丘高三模拟)孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是( )
A．425 B．115 C．328 D．17
D [不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的取法种数为C82＝28，
记事件A表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，
则事件A包含的样本点有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4个，
故抽取的2个数能够构成孪生素数的概率是P(A)＝428＝17.故选D.]
2．(2024·天津和平高三模拟)一个盒子中装有4个编号依次为1，2，3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y.
(1)写出试验的样本空间；
(2)设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号X[解] (1)由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)由题意可知事件A＝{(1，1)，(2，1)，(1，2)}，共三个结果，故P(A)＝316，
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共六个结果，故P(B)＝616＝38，
事件AB包含的结果有(1，2)一个，故P(AB)＝116.
1．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)计数原理法：在求一些较复杂的样本点个数时，可结合计数原理利用排列或组合的知识解决．
2．求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．
跟进训练3 (1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．13 B．25 C．23 D．45
(2)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
(1)C (2)635 [(1)4个1和2个0随机排成一行，共有A66A44A22＝15种， 2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有C52＝10(种)，故2个0不相邻的概率为1015＝23.故选C.
(2)根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝mn＝1270＝635.]
课后习题(五十二) 随机事件与概率
1．(多选)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷一次，设事件 A＝“向上的一面出现奇数点”，事件 B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有( )
A．AB＝∅
B．BC＝ “向上的一面出现的点数大于3”
C．AB+BC＝ “向上的一面出现的点数不小于3”
D．ABC＝ “向上的一面出现的点数为2”
BC [由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6，所以AB＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误； BC＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；AB+BC＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；ABC＝“向上的一面出现的点数为5”，故D错误．故选BC.]
2．(人教A版必修第二册P257练习T1，T2改编)下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B“某人订阅甲报纸”是必然事件
A [对于A，甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为12，故游戏是公平的；
对于B，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确的；
对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；
对于D，事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件，故D不正确．
故选A.]
3．(人教B版必修第二册P104例2改编)已知数学考试中，李明成绩高于120分的概率为0.4，低于90分的概率为0.15，则李明成绩不低于90分且不高于120分的概率为________．
0.45 [所求概率P＝1－(0.4＋0.15)＝0.45.]
4．(苏教版必修第二册P286习题15.2T5改编)从n个正整数1，2，3，…，n中依次任意取出2个不同的数，若取出的这2个数之和等于5的概率为114，则n的值为________．
8 [设(x，y)为取出的2个数的数对，x是第1个数，y是第2个数，且x≠y，则事件空间Ω所含基本事件数为n(n－1)．设事件A为取出的这2个数之和等于5，则A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
∴P(A)＝4nn-1＝114，即n2－n－56＝0，
解得n＝8. ]
5．(2024·内蒙古包头模拟预测)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A，则下列推断正确的是( )
A．事件A发生的概率等于14
B．事件A发生的概率等于15
C．事件A是不可能事件
D．事件A是必然事件
D [根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，如图，
所以事件A是必然事件．故选D.]
6．甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作a，b，则下列说法错误的是( )
A．“a是奇数”是随机事件
B．“b＝1”与“b＝2”是互斥事件
C．“b＝1”与“b＝2”是对立事件
D．“a＝1”与“b＝2”是相互独立事件
C [对于A：“a是奇数”是随机事件，故A正确；对于B：“b＝1”与“b＝2”是互斥事件，因为“b＝1”发生则“b＝2”一定不发生，但“b＝1”不发生，“b＝2”也不一定发生，可能是b＝3发生，故B正确；对于C：由B可知“b＝1”与“b＝2”是互斥但不对立事件，故C错误；对于D：“a＝1”与“b＝2”发生与否不受影响，是相互独立事件，故D正确．故选C.]
7．如图是某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D [由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为16，不符合，故B错误；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合，故C错误；
选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到黑球的概率为13，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确．故选D.]
8．(多选)6个相同的小球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为X1，第二次取出球的数字为X2.设X＝X1X2，其中表示不超过X的最大整数，则( )
A．P(X1>X2)＝512
B．P(X1＋X2＝5)＝29
C．事件“X1＝6”与“X＝0”互斥
D．事件“X2＝1”与“X＝0”对立
AC [由题意，共有36种可能的情况，其中X1>X2的情况有36-62＝15种，
∴P(X1>X2)＝1536＝512，故A正确．
∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：
(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
∴P(X1＋X2＝5)＝436＝19，故B错误．
当X1＝6时，X＝X1X2＝6X2≠0，∴事件“X1＝6”与“X＝0”互斥，故C正确．
∵当X2＝1时，X＝X1X2＝X1≠0，当X2＝2，X1＝2时，X＝X1X2＝1≠0，
∴事件“X2＝1”与“X＝0”不对立，故D错误．故选AC.]
9．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为________石．
108 [因为256粒内夹谷18粒，故可得米中含谷的频率为18256＝9128，则1 536石中米夹谷约为1 536×9128＝108(石)．故答案为：108.]
10．(2023·广东广州统考三模)算盘是中国传统的“珠算”工具．如图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位，…，上面一粒珠(简称上珠)代表数字5，下面一粒珠(简称下珠)代表数字1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，则算盘表示的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是________．
13 [由题意可知，算盘所表示的数可能有：7，16，25，52，61，70，
其中是质数的有：7，61，故所求事件的概率为P＝26＝13，故答案为：13.]
11．(2024·天津和平高三联考)饕餮(tā tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为________．
18 [点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，
∴3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P＝18.故答案为：18.]
12．(2023·广东广州统考一模)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
[解] (1)用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2，红桃3，红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
{(2，3)，(2，4)，(2，a)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(a，2)，(a，3)，(a，4)}．
(2)甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a中的4或a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(a，2)，(a，3)，
所以甲胜的概率为512，乙胜的概率为712，故游戏不公平．
事件的关
系或运算
含义
符号表示
图形表示
包含
A发生，则B一定发生
A⊆B
并事件
(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件
(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互
不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，A∪B＝Ω
频率
本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同
概率
本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
利润
65
25
－5
－75
频数
40
20
20
20
利润
70
30
0
－70
频数
28
17
34
21