高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第六课时二项分布、超几何分布与正态分布学案

这是一份高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第六课时二项分布、超几何分布与正态分布学案，共21页。
1．两点分布
如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
2．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X )＝p，D(X )＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验及其概率
[典例1] (1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝25，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝0)＝35 B．E(X )＝35
C．E(2X＋1)＝95 D．D(X )＝625
(2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
①求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
②求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
③假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
(1)ACD [P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35，故A正确；E(X )＝P(X＝1)＝25，故B错误；E(2X＋1)＝2E(X )＋1＝95，故C正确；D(X )＝25×35＝625，故D正确．故选ACD.]
(2)[解] ①记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(A1)＝C44×234＝1681.
所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝6581.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.
②记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C42×232×1-232＝827，
P(B2)＝C43×343×1-341＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.
③记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，
则A3＝4D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，
且P(Di)＝14.
由于各事件相互独立，故
P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D1)
＝14×14×34×1-14×14＝451 024.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.
二项分布的性质
[典例2] 已知随机变量X～B6，0.8，若P(X＝k)最大，则DkX+1＝________．
24 [由题意知：PX=k ＝C6k·0.26-k·0.8k，
要使PX=k最大，有
C6k·0.26-k·0.8k≥C6k-1·0.27-k·0.8k-1，C6k·0.26-k·0.8k≥C6k+1·0.25-k·0.8k+1，
解得235≤k≤285，故k＝5.
又D(X )＝6×0.8×0.2＝0.96，
故DkX+1＝D5X+1＝52D(X )＝24.]
二项分布的均值与方差
[典例3] (2024·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为13.
(1)求一个试验组为优类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解] (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.
依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝12，PA2＝12×12＝14.
PB0＝23×23＝49，PB1＝2×13×23＝49，
PB2＝132＝19，
则一个试验组为优类组的概率为：
P＝PB0·A1＋PB0·A2＋PB1·A2＝49×12+49×14+49×14＝49.
(2)由题意可知ξ～B3，49，
Pξ=0＝593＝125729，
Pξ=1＝C31×49×592＝100243，
Pξ=2＝C32×492×59＝80243，
Pξ=3＝493＝64729，
则ξ的分布列为
E(ξ)＝3×49＝43.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
跟进训练1 (1)(多选)(2024·江西师大附中高三检测)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A．P(X＝1)＝P(X＝9)＝5512
B．P(X＝1)＝P(X＝9)＝11 024
C．E(X )＝10
D．D(X )＝52
(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X )．
(1)AD [设A＝“向右下落”，A＝“向左下落”，则P(A)＝P(A)＝12，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以X～B10，12，于是P(X＝1)＝C101·12×129＝5512，同理可得：P(X＝9)＝C109129×12＝5512，A正确，B错误；由二项分布求期望及方差公式得：E(X )＝10×12＝5，D(X )＝10×12×1-12＝52，C错误，D正确．故选AD.]
(2)[解] ①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为35，
所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为
P＝1－C40×254－C41×35×253＝513625.
②根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B4，25，
则P(X＝0)＝354＝81625，
P(X＝1)＝C41×25×353＝216625，
P(X＝2)＝C42×252×352＝216625，
P(X＝3)＝C43×253×35＝96625，
P(X＝4)＝254＝16625，
所以X的分布列为
所以E(X )＝4×25＝85.
考点二 超几何分布
1．定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X )＝nMN．
[典例4] 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数为3，2，2.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝C33C73＝135，
P(X＝1)＝C41C32C73＝1235，
P(X＝2)＝C42C31C73＝1835，
P(X＝3)＝C43C73＝435，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.
【教师备用】
某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X，求X的分布列及期望．
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C103＝710.
(2)X可能取值为0，1，2.
则PX=0＝C83C103＝715，
PX=1＝C82C21C103＝715，
PX=2＝C81C22C103＝115.
故X的分布列是
故EX＝0×715＋1×715＋2×115＝35.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：
①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟进训练2 (2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.
[解] (1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC33-kC53，其中k＝0，1，2.
分布列如下：
故X的数学期望EX＝65.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
所以所求概率P＝1-25×25×35×25×25＝2523 125.
考点三 正态分布
1．正态曲线与正态分布
(1)我们称f (x)＝1σ2πe-x-μ22σ2(x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2．
[典例5] (1)(2023·上海嘉定三模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：
甲：P(X>m＋1)>P(X