安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

这是一份安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“The Great Wall is the pride f the Chinese natin”，在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
2．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：
这15名学生的心率的中位数是（ ）
A．65次/分B．67.5次/分C．70次/分D．72.5次/分
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．2024D．2025
4．象棋是中国的传统棋种。在如图所示的象棋盘中，每个小正方形的边长均为1，“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A．5B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
7．生活中，我们可以用肘、拃、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12拃，宽是5拃，则屏幕的对角线长大约是（ ）（如图，1拃≈20cm）
A．100cmB．240cmC．260cmD．340cm
8．某校举办了运动会，在200m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．30，4B．30，2C．32，4D．32，2
9．如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，是对角线上的两点，且，若，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算：______．
12．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容，为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示，该班学生每天的平均睡眠时间是______h．
13．在中，．若，则的面积为______．
14．如图，在菱形中，．
（1）菱形的面积为______．
（2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程．
（1）．（2）．
16．计算．
（1）．（2）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，若是“梦想三角形”，求的长；
18．若关于的一元二次方程有实数根，且．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛，某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型，已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件．
（1）求11月、12月这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售，已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
20．观察下列等式．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
（1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．
（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”。例如、与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
（1）化简：①______；②______．
（2）计算：．
（3）已知，试比较的大小，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22．为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示：
（1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______．
（2）八年级学生成绩的中位数是多少？
（3）若八年级学生成绩的方差是1.2，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定．
八、（本题满分14分）
23．如图，在正方形中，为的延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：为等腰直角三角形．
（2）求证：①；
②．
（3）若，求证：．
九年级数学
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
10．【解析】如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
绕点逆时针旋转得到，
，
在与中，
，
．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 12．9.1 13．
14．（1） （2）4
【解析】（2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，∵四边形是菱形，，，四边形为平行四边形，，当三点共线时，最小，四边形是菱形，为等边三角形，，，，，，三点共线，当三点共线时，点，重合，，即的最小值为4．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：（1），
，
，
，
或，
．
（2），
，
，
，
或，
．
16．解：（1）原式．
（2）原式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（1）证明：如图1，过点作于点，
，
由勾股定理得，
，即是“梦想三角形”．
（2）解：如图2，当边上的中线时，，
当边上的中线时，，即，解得，
综上所述，或4．
18．解：（1）化为一般形式为，
原方程有实数根，且，
，
解得．
（2）由（1）得，
，
，
，
解得．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为，
根据题意可得，
解得（不合题意，舍去）．
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为．
（2）设当模型降价元时，该商店获利5570元，根据题意可得，
解得（不合题意，舍去）。
答：每件模型应降价10元．
20．解：（1）由题中等式的规律可得，
证明：左边右边．
（2）它的三边长能为勾股数．理由如下：
，
把代入，得，
即，
它的三边长能为勾股数，这组勾股数为．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）① ②
（2）原式
．
（3），
同理：，
，
．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）8
（2）把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为，
中位数是（分）．
（3）九年级学生成绩的方差是，
八年级学生成绩的方差是1.2，九年级学生成绩的方差是1，
九年级学生的成绩更为稳定．
八、（本题满分14分）
23．证明：（1），
四边形是正方形，
，
为等腰直角三角形．
（2）①如图1，在上取一点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，即，
；
②如图2，连接交于点，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（3）设，则，
，
，
，
若，则，
，
即．心率/（次/分）
60
68
70
73
80
人数/名
2
5
5
1
2
同学
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
方差
时间/s
32
34
36
33
33
睡眠时间/h
8
9
10
人数/人
6
24
10
学生编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
八年级
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
九年级
8
7
9
7
8
10
8
7
7
9
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
D
B
C
A
D
D