新高考物理二轮培优专题2.7 恒磁场（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19141" 【突破高考题型】 PAGEREF _Tc19141 \h 1
\l "_Tc15266" 题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc15266 \h 3
\l "_Tc20499" 类型1 直线有界磁场 PAGEREF _Tc20499 \h 4
\l "_Tc26836" 类型2 圆形有界磁场 PAGEREF _Tc26836 \h 5
\l "_Tc15043" 类型3 多边形有界磁场 PAGEREF _Tc15043 \h 6
\l "_Tc21777" 题型三 临界和极值问题 PAGEREF _Tc21777 \h 7
\l "_Tc26566" 【专题突破练】 PAGEREF _Tc26566 \h 11
【突破高考题型】
题型一 磁场的基本性质 安培力
1．区分两个定则
安培定则(或右手螺旋定则)用来判断电流产生的磁场方向，左手定则用来判断电流所受磁场力的方向。
2．磁场的叠加
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示为M、N在c点产生的磁场BM、BN。
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的合磁场B。
3．安培力
(1)大小：若I∥B，F＝0；若I⊥B，F＝IlB。
(2)方向：用左手定则判断，垂直于磁感线和通电导线确定的平面。
4．两个等效模型
(1)变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。
(2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙。
【例1】 (2021·全国甲卷，16)两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为( )
A.B、0 B.0、2B
C.2B、2B D.B、B
【答案】 B
【解析】 根据安培定则可知，两根导线在M处产生的磁感应强度大小均为B，方向相反，叠加后磁感应强度大小为0；竖直方向的导线和水平方向的导线在N处产生的磁感应强度大小均为B，方向相同，叠加后磁感应强度大小为2B，B正确。
【例2】(多选)(2022·湖北高考，11)如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为eq \f(\r(3),3)g；减速时，加速度的最大值为eq \r(3)g，其中g为重力加速度大小。下列说法正确的是( )
A.棒与导轨间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),6)
B.棒与导轨间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)
C.加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ＝60°
D.减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ＝150°
【答案】 BC
【解析】 设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ10)的带电粒子，粒子进入磁场后经偏转刚好经过圆心C，不计粒子的重力，则下列判断正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(3,2)R
B．粒子出磁场时的速度方向沿y轴正方向
C．粒子出磁场时的速度大小为eq \f(qBR,m)
D．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
【答案】 CD
【解析 根据题意可以得到如图轨迹，轨迹圆心为B点，进入磁场的点为A′，出磁场的点为D，因为A坐标为(0，eq \f(1,2)R)，则根据几何关系可得∠QCA′＝30°，则∠CA′B＝60°，可知B点在圆周上，△A′BC为等边三角形，故粒子做圆周运动的半径为R，A错误；粒子出磁场时速度方向为左上，由几何关系可知与竖直方向成30°，B错误；洛伦兹力提供向心力，则Bqv＝eq \f(mv2,R)，得v＝eq \f(qBR,m)，C正确；粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为120°，则运动时间为t＝eq \f(\f(2,3)πR,v)＝eq \f(2πm,3qB)，D正确．
16.(多选)(2022·河北省高三检测)如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直于圆面的磁场，一束质量为m、电荷量为－q的同种粒子(不计重力和粒子之间相互作用)，从圆周上的P点以不同速率沿不同方向射入磁场区域，其中以最大速率v0且沿PO方向射入的粒子恰好从A点离开磁场．已知∠POA＝90°，则以下说法正确的是( )
A．区域内磁场方向垂直圆面向里
B．速率为eq \f(v0,2)的粒子不可能从A点射出
C．从A点离开磁场的粒子速率最小值为eq \f(\r(3),2)v0
D．若将区域内磁场增大为原来的eq \r(2)倍，则所有粒子只能从圆弧PA上离开
【答案】 ABD
【解析】 由题可知，粒子从A点离开磁场，则粒子在P点所受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁场方向垂直圆面向里，粒子运动的最大半径为R，则速率为eq \f(v0,2)的粒子轨迹半径为eq \f(1,2)R，直径为R，且PA＝eq \r(2)R，故直径小于PA弦长，不可能从A点射出，A、B正确；从A点离开磁场的粒子速率最小值对应半径最小，最小半径为R′＝eq \f(1,2)PA＝eq \f(\r(2),2)R＝eq \f(mv′,Bq)，又有R＝eq \f(mv0,qB)，联立解得v′＝eq \f(\r(2),2)v0，C错误；若将区域内磁场增大为原来的eq \r(2)倍，根据R＝eq \f(mv,Bq)，可知粒子的最大直径为eq \r(2)R，恰好等于弦长PA，所有粒子只能从圆弧PA上离开，D正确．
17.如图所示，在xOy平面上以O为圆心的圆形区域内存在匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面向外．一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从原点O以初速度v0沿y轴负方向开始运动，后来粒子经过x轴上的A点，此时速度方向与x轴的夹角为30°.A到O的距离为d，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为( )
A.eq \f(\r(3),2)d B.eq \f(\r(3),3)d C.eq \f(\r(3),4)d D.eq \f(2\r(3),3)d
【答案】 B
【解析】 粒子的运动轨迹如图所示，设粒子运动的半径为R，由几何关系可知R＋eq \f(R,sin 30°)＝d，解得R＝eq \f(1,3)d，则圆形磁场区域的半径为r＝2Rsin 60°＝eq \f(\r(3),3)d，故选B.
18.(多选)(2022·四川成都市三模)如图，半径为R的半圆形区域内(含边界)有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，MN为位于磁场下边界的粒子收集板，磁场左侧边界与MN相距eq \f(R,2)处有一粒子源S，以不同速率沿平行于MN的方向射出大量质量均为m、电荷量均为q的同种粒子，部分粒子能够打到收集板上．不计粒子重力及粒子间的相互作用，则( )
A．粒子带正电
B．到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为30°
C．到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
D．到达收集板的粒子的速度最大值为eq \f(2＋\r(3)qBR,m)
【答案】 CD
【解析】 由部分粒子能够打到收集板上可知，粒子向下偏转，由左手定则可知，粒子带负电，A错误；粒子源S与MN相距为eq \f(R,2)，可知SO与水平面的夹角为30°，到达收集板O点的粒子在磁场中的速度偏转角为60°，B错误；到达收集板的粒子在磁场中运动的偏转角最大为π，故到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(πm,qB)，C正确； 打到收集板N处的粒子轨道半径最大，则速度最大，设最大半径为r，由几何关系得r2＝(r－eq \f(R,2))2＋(R＋Rcs 30°)2，解得r＝(2＋eq \r(3))R，故速度最大值v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(2＋\r(3)qBR,m)，D正确．
19.(2022·贵州省高三检测)如图所示为一磁约束装置的简化示意图，内半径为a、外半径为3a的环状区域Ⅰ内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．小圆区域Ⅱ中有大量质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内以不同速率向各个方向运动．要使所有粒子都不会穿出区域Ⅰ的外边缘，不计粒子重力及粒子间相互作用，则粒子的最大速率为( )
A.eq \f(3qBa,m) B.eq \f(2qBa,m) C.eq \f(4qBa,3m) D.eq \f(qBa,m)
【答案】 D
【解析】 沿与内圆相切方向进入磁场的粒子在磁场中有最大弦，且轨迹刚好与外圆相切，由几何关系知，此时粒子运动半径满足2r＝3a－a，即r＝a，由qvB＝meq \f(v2,r)，得粒子的速率v＝eq \f(qBa,m)，所以粒子的最大速率为eq \f(qBa,m)，故选D.
20.(多选)(2022·福建省四地市质检)如图所示，射线OM与ON夹角为30°，MON之外分布着垂直于纸面向里的足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为－q的粒子(不计重力)，从O点垂直于OM以某一速度射出．则( )
A．粒子第一次穿过边界ON时，速度方向与边界ON的夹角为60°
B．粒子第一次穿过边界OM之后，在磁场中运动的时间为eq \f(5πm,3qB)
C．仅减小粒子射出的速率，粒子可能第二次经过边界ON
D．仅增大粒子射出的速率，粒子一定能两次经过边界OM
【答案】 ABD
【解析】 由粒子在有界磁场中运动的对称性可知，粒子第一次穿过边界ON时，速度方向与边界ON的夹角等于从O点出发时与边界ON的夹角α，由几何关系可得α＝60°，故A正确；粒子第一次穿过边界OM之后的轨迹如图所示，从C点穿过OD边界进入下方磁场，由对称性和几何关系可知，再次从磁场中穿出时(图中D点)，粒子在下方磁场运动圆弧所对应的圆心角θ为300°，所以在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θ,2π)T，T＝eq \f(2πm,qB)，可得t＝eq \f(5πm,3qB)，故B正确；由几何关系可得，粒子从ON穿过时，C点与O点间的距离为其在圆周运动半径R的3倍，所以粒子在下方磁场再次偏转，从D点穿过OM，DC距离为R，射出时速度方向平行于ON，所以不管是增大还是减小粒子射出的速率，粒子都不可能第二次经过边界ON，一定能两次经过边界OM，故C错误，D正确．
21.(2022·安徽3月诊断)如图所示，在直角坐标系xOy平面内，x轴的上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，M、N是位于x轴上的粒子发射源，它们可以向磁场中发射速度大小不同但均沿y轴正方向运动的带电粒子，已知比荷相同电性不同的带电粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T，先从M发射带正电的粒子a，经过eq \f(T,12)再从N发射带负电的粒子b，一段时间后，两个粒子恰能同时经过y轴上的P(0，L)点(图中未画出)，且经过P点时，两个粒子的速度方向正好相互垂直，不计两个带电粒子之间的相互作用力和带电粒子的重力。
(1)若两个粒子运动的时间均大于eq \f(T,4)，求两个粒子做圆周运动的速度之比；
(2)若两个粒子运动的时间均小于eq \f(T,4)，求发射源M、N之间的距离。
【答案】 (1)eq \r(3)∶1 (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2\r(3),3)))L
【解析】 (1)假设粒子a转过的圆心角为θ1，粒子b转过的圆心角为θ2，
即eq \f(T,12)＝eq \f(θ1－θ2,360°)T，
若两个粒子运动的时间均大于eq \f(T,4)，则θ1和θ2都是钝角，则360°－θ1－θ2＝90°
联立解得θ1＝150°，θ2＝120°
粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知ra＝eq \f(L,sin（180°－θ1）)
rb＝eq \f(L,sin（180°－θ2）)
由v＝eq \f(2πr,T)
可得eq \f(va,vb)＝eq \f(ra,rb)＝eq \r(3)∶1。
(2)若两个粒子运动的时间均小于eq \f(T,4)，则θ1和θ2都是锐角，θ1＋θ2＝90°
解得θ1＝60°，θ2＝30°
粒子的运动轨迹如图所示，
由几何关系可知
ra＝eq \f(L,sin θ1)，rb＝eq \f(L,sin θ2)
OM＝ra(1－cs θ1)
ON＝rb(1－cs θ2)
MN＝OM＋ON＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2\r(3),3)))L。
22.(2022·河南信阳市质检)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场．已知从边界PQ射出的离子，离子速度为v0时射出点与P点距离最大，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用．求：
(1)射出点与P点最大距离xm；
(2)从边界MP射出的离子，速度的最大值．
【答案】 (1)eq \f(\r(3)v0,kB) (2)eq \f(v0,3)
【解析】 (1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v0的离子，设其运动半径为R1，射出点与P点距离最大时，运动轨迹恰好与MN相切，运动轨迹2如图所示，
根据牛顿第二定律有qv0B＝meq \f(v02,R1)，
根据几何关系得xm＝2R1cs α，
解得xm＝eq \f(\r(3)v0,kB)
(2)从边界MP射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN相切，设其运动半径为R2，运动轨迹1如图所示，
根据牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(vm2,R2)，
设MP的长度为L，根据几何关系得
Lsin α＝R1－R1sin α，
L＝eq \f(R2,sin α)＋R2，
解得vm＝eq \f(v0,3).
放缩圆
适用条件
粒子速度方向一定，速度大小不同
应用方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
旋转圆
适用条件
粒子的速度大小一定，半径一定，速度方向不同
应用方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件
(轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上)
平移圆
适用条件
粒子的速度大小、方向均一定，入射点位置不同
应用方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移
(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
磁聚焦与磁发散
成立条件：
区域圆的
半径等于
轨迹圆的
半径
R＝eq \f(mv,qB)
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行