北京市第二中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题(无答案)

这是一份北京市第二中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：周长春审核人：刘冬得分：______
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．无穷多个
2．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．设，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为R．当时，；当时，；当时，．则（ ）
A．B．C．0D．2
5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，若，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个B．120个C．96个D．72个
8．按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为了测算某蓄电池的Peuknt常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．2
9．已知定义在R上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，成立（是函数的导函数），若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知甲盒中有3个白球，2个嘿球；乙盒中有1个白球，2个黑球．
若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是______；
若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取十球，则取到的球是白球的概率是______．
12．若，则______；______．
13．已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为______．
14．设为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为______．
15．已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
③已知是曲线上任意一点，，则；
④设为曲线上一点，为曲线上一点．若，则．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．（本小题13分）在中，．
（1）求证为等腰三角形；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．
条件①：；
条件②：的面积为；
条件③：边上的高为3．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及，下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图，其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．
（1）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；
（2）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；
（3）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
18．（本小题14分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．
19．（本小题15分）已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程以及离心率；
（2）设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论．
20．（本小题15分）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围．
21．（本小题15分）已知集合，函数
对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列，排列为排列的母列．
（1）当时，写出排列的生成列及排列的母列；
（2）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（3）对于中的排列，定义变换将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列．