湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列四个实数中，是无理数的是，15是小数，属于有理数；， 在平面直角坐标系中，点位于， 若，则下列不等式正确的是， 在下列条件等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：A、0.15是小数，属于有理数；
B、=3，属于有理数；
C、是无理数；
D、是分数，属于有理数；
故选C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了第四象限点坐标的特征．熟练掌握第四象限点坐标为是解题的关键．根据第四象限点坐标为作答即可．
【详解】解：由题意知，位于第四象限，
故选：D．
3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A. 了解某批次灯泡的使用寿命情况
B. 了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间
C. 企业招聘，对应聘人员的面试
D. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测
【答案】A
【解析】
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可得出结果．
【详解】解：A、了解某批次灯泡的使用寿命情况，适宜采用抽样调查，故A符合题意；
B、了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间，适合普查，故B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员的面试，适合普查，故C不符合题意；
D、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，适合普查，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的区别是解题关键．
4. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
；；，．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
5. 要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的高，根据作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线，即可判断解题．
【详解】解：A、图中为边上的高，不符合题意；
B、图中不是高，不符合题意；
C、图中为边上的高，符合题意；
D、图中为边上的高，不符合题意；
故选：C．
6. 若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的一个内角是135度，可得正多边形的一个外角是45度，即可求解．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135度，
∴正多边形的一个外角是45度，
∴这个多边形的边数为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
7. 设三角形三边之长分别为3，8，a，则a的值可能为（ ）
A. 11B. 9C. 5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三角形的三边关系列出不等式，求出a的取值范围，进而确定a的可能取值．
【详解】解：根据题意得：，即，
即只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8. 如图，甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ）
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 只有甲
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定方法得出甲和乙与全等，丙与不全等．
【详解】解：在和甲的三角形中，两个角及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：，
所以甲和全等；
在和乙的三角形中，两角及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：，
∴乙和全等；
在和丙的三角形中，只有一边一角对应相等，不能判定甲与全等；
综上分析可知，和全等的是甲和乙，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∴，①正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
二. 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是_______．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据点到直线上各点的线段中，垂线段最短即可得出结论．
【详解】∵PQ⊥l，垂足为Q，
∴依据是垂线段最短的原理，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查点到直线上各点的线段中，垂线段最短的实际应用，理解基本定理是解题关键．
12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____．
【答案】
【解析】
【分析】要把方程5x-2y=3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1；
【详解】5x-2y=3，
移项得：-2y=3-5x，
系数化1得：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．
13. 已知点关于x轴对称的点的坐标是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 如图，则的度数是__________．

【答案】##180度
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，

∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
15. 如图， 已知， 则________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
由，可得，，由，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 已知不等式组无解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可．
【详解】解：，
，
解得，，
，
解得，，
∵不等式组无解，
∴，
解得，，
故答案为：．
三. 解答题（共9个小题， 第17、18、19题每题6分， 第20、21题每题8分， 第22、23题每题9分， 第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】先化简和计算绝对值，然后合并即可；
【详解】原式
；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，求立方根，绝对值，混合运算中要熟练掌握运算法则．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法．
（1）方程左右两边同除以3，再开平方即可；
（2）方程左右两边同除以5，再开立方即可．
【小问1详解】
解：，
方程左右两边同除以3得，，
方程左右两边同时开平方得，，
解得，．
【小问2详解】
解：，
方程左右两边同除以5得，，
方程左右两边同时开立方得，，
解得，．
19. 已知△中，．

（1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，；
②以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点．
④做射线；
请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）.
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
（2）如图2，当时，（1）中射线交于点，已知，，，求的长．
【答案】（1）① （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）先证明，然后利用“等面积法”求解即可；
【小问1详解】
解：由作图过程得，，，则，
故答案为：①；
【小问2详解】
解：∵，
∴
又∵
∴
∴
即
根据的面积不变可得
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角、垂直定义、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键．
20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
(2)请补全条形统计；
(3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【答案】(1)60、90；(2)见解析；(3)900．
【解析】
【分析】（1）由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°，
故答案为60、90．
(2)“了解很少”的人数为60﹣(15+30+5)＝10人，
补全图形如下：
(3)估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×＝900人．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．
21. 如图，在中，，点是上一点，于点，于点．
（1）若点是的中点，求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出；
（2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，点是的中点，
∴，，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，
∴．
22. 为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
（1）求A、B两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）A种图书单价22元，B种图书单价25元
（2）共有三种方案：方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本；方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本；方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本
【解析】
【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设购买A种图书n本，B种图书本，根据题意列出不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：设A种图书单价x元，B种图书单价y元
根据题意得：
解得：
答：A种图书单价22元，B种图书单价25元；
【小问2详解】
设购买A种图书n本，B种图书本
根据题意得：
解得：
∵n为正整数
∴n可取27，28，29，
共有三种方案：
方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本
方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本
方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本
【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及不等式组的实际应用，根据题意，找出数量关系，是解题的关键．
23. 如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得．
（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC＝2AF．
【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24. 若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1）是 阶不等式； 是 阶不等式组；
（2）若关于x的不等式组 是4阶不等式组，求a的取值范围；
（3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．．
如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围．
【答案】（1）2；1 （2）
（3），
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解：
（1）根据题目中定义进行分析即可；
（2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围；
（3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵不等式有2个正整数解，
∴是2阶不等式；
解不等式组得，
∴这个不等式组有1个正整数解，
∴不等式组是1阶不等式；
故答案为：2，1；
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组是4阶不等式组，
∴关于的不等式组有4个正整数解，
∴有4个正整数解，
∴；即；
【小问3详解】
解：解不等式组得，
解方程得，
∴，
∵是正整数，
∴m为偶数，
∵是阶不等式组，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
∵，
∴整数解为，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点．
（1）如图1，点，分别在线段，上，若，求证：；
（2）如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度；
（3）已知，点，分别在线段和的延长线上，连接．
①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标；
②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析
（2）5 （3）①；②
【解析】
【分析】（1）由可得，，再由证得，最后根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）在轴负半轴上截取，连接，即可证得，，进而可得知面积分别相等和，再由面积公式即可求得结论；
（3）①过点作于，由可证，继而可知，，即可求解；②在上截取，连接，由可证和，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
，，
，
轴，轴，，
四边形是正方形，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
如图，在轴负半轴上截取，连接，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
．
【小问3详解】
①如图，过点作于，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
；
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．