北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共24分，每题3分)
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（）
A. B. C. 3D. 15
4. 若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
5. 某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意可得方程_______．
6. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 如果平分，那么四边形是菱形
C. 如果，那么四边形是矩形
D. 如果且，那么四边形是正方形
8. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
10. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）．
11. 已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则的周长为________．
12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择___________．
13. 在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 _______________．
14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________
15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________
16. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在上，，，与于点P，连接，则的最小值为______．

三、解答题(共60分，第17题4分，第18-19题，每题8分，第20题-22题，每题6分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)
17. 计算：
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 下表给出一个二次函数的一些取值情况：

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象说明：当x 取何值时，y的值大于0？
20. 已知关于x一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
21. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围．
23. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
（3）点，，在抛物线上．
①若则m的取值范围是 ；
②若则m的取值范围是
25. 如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．

（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
36
7.4
8.1
x
0
1
2
3
4
y
3
0
0
3