湖南省怀化市溆浦县溆浦县第一中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份湖南省怀化市溆浦县溆浦县第一中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例的三种形式分别为：，，．
①中的次数是，是一次函数，不是反比例函数；
②，③是反比例函数；
④中分母是，故不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中没有，故不是反比例函数；
⑦分母是，故不是反比例函数；
⑧中的次数是，是一次函数，不是反比例函数．
故有三个是反比例函数．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：．
3. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ）
A. 当时，y随x的增大而增大B. 图象位于第二、四象限
C. 点和都在该图像上D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意；
D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意；
故选：D．
4. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
或．
故选：C．
5. 如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限，
∴，，，
当时，由图象可得，
∴，
∴，
故选：．
6. 已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺，
根据题意得：．
故选：B．
8. 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A. 23B. 15C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【详解】解： ，是不为0的实数，
由 ，，得，，
又，
，为一元二次方程的两个不相等实根，
，，
，
故选：A．
9. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解．
【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点，
设，，
轴于点D，轴于点C，
，，，，
和 面积之和为6，
，
，
故选A．
10. 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论其中一定正确的是（ ）
①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确．
【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，
∴，，
∴，结论①正确；
∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，
∴，
∴，
即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，，
与的关系无法确定，结论③错误；
如图，连接，
点是的中点，
，
，，
，即，
，
∴点一定是的中点，结论④正确；
综上，正确的结论有①②④，
故选：C．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 已知是关于的反比例函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
故答案为：．
12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是_______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系，先解一元二次方程得出，，设第三边长为，再由三角形三边关系得出，从而得出，即可得解．
【详解】解：解得：，，
∵一个三角形的两边长分别为3和6，
∴设第三边长为，则，即，
∵第三边是方程的一个根，
∴，
∴这个三角形的周长是，
故答案为：．
13. 点，，都在函数上，则，，的大小关系是 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
把点，，代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案．
【详解】解：把点，，代入反比例函数的关系式；
解得：，，，
故，
故答案为：
14. 如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为，则长为，然后根据面积为平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：设宽为，则长为．
由题意，得，
解得，．
当时，舍去，
当时，．
即：围成矩形的长为．
故答案为：．
15. 已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，
，
整理得，
故答案为：．
16. 设、分别为方程的两个实数根，则_________．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：、分别为方程的两个实数根，
，
，
、分别为方程的两个实数根，
，
，
故答案为：2023．
17. 新定义：关于x一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
18. 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为y1，y2，y3，…，y2021，横坐标分别为2，4，6，…，共2021个偶数，过点P1，P2，P3…，P2021分别作y轴的垂线，与的图象交点依次为Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2021（x2021，y2021），则x2021=________．
【答案】2021
【解析】
【分析】根据点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是2，4，6，…，共2021个连续偶数，纵坐标分别是y1，y2，y3，…，y2021，可求出相应的y1，y2，y3，…，y2021，再把y2021代入反比例函数，可求出x2021的值．
【详解】解：∵点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是2，4，6，…，共2021个连续偶数，纵坐标分别是y1，y2，y3，…，y2021，
∴，，，……，
把代入反比例函数，
得，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线的性质，找出点P2021的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点Q2021的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）把方程化为：，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
20. 已知：与成正比例，与成反比例，，当x=1时，，时，，求y与x的函数解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用一次函数和反比函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，结合已知点代入求解即可．
【详解】解：设，，
∵
∴
当x=1时，；当时，，可得方程组：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：，即．
21. 已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
【小问1详解】
解：方程有两个实数根，
，
解得：；
【小问2详解】
解：∵方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
22. 已知关于x的函数图象经过点．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；
（2）当时，点，代入解析式，计算即可．
本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，得．
【小问2详解】
解：当时，此时点，
故．
23. 大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【答案】（1）购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）将销售价定每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【解析】
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
【小问2详解】
解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
【小问3详解】
解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线AB交x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出的解集．
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，且是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】（1）；；
（2）或
（3）P（-2，-3）
【解析】
【分析】（1）将点A代入反比例函数求出反比例函数表达式，再将B点代入求出B的坐标，将A，B两点分别代入一次函数中求得一次函数表达式；
（2）根据图象分析，即可得到的取值范围；
（3）由一次函数表达式可得点C的坐标，再根据等腰三角形的性质，即可的点P的坐标；
【小问1详解】
（1）将A（2，3）代入中；
；解得：k2=6；
即反比例函数表达式为：
将B（a，-1）代入中；
；解得：a=-6；
即B（-6，-1）；
将A，B两点分别代入中；
；解得：；
即反比例函数的表达式为：．
【小问2详解】
的取值范围即取值范围；
根据图象分析可知；
取值范围为：或．
【小问3详解】
将y＝0代入中；
；解得：x=-4；
即C（-4，0）；
根据等腰三角形的性质可知p点所对应的y值为2；
∴可设P（-2，m）；
将p（-2，m）代入中；
即得m=-3；
所以P（-2，-3）
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，正确求出一次函数和反比例函数表达式是解题的关键．
25. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
【答案】（1）2；（2）0；（3）
【解析】
【分析】（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解.
（2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【详解】解：（1）∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴令，
，
解得：，，
；
（2）是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为和，
或，
当时，即，
，
当时，即，
，
综上：；
（3）设与是方程的解，
，，
消去得：．
【点睛】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键．
26. 如图，在中，，面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
（1）求的长；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
（4）点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）3 （2）当时，；当时，；
（3）的面积为或；
（4）或．
【解析】
【分析】（1）利用等面积法即可求出的长；
（2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可；
（3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题．
（4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得;
【小问2详解】
解：，，
，
动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，
①当点P在上运动时（即时），
有，
，
②当点P在上运动时（即时），
，
综上所述，当时，；当时，；
【小问3详解】
解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或；
【小问4详解】
解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
①为等腰三角形，，
，
，
，
秒（不合题意，舍去），
②为等腰三角形，，
，
整理得，解得（不合题意，舍去），，
③为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或．
【点睛】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件．
类别
价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价（元/枚）
15
20
销售价（元/枚）
25
32