重庆市巴蜀科学城中学2024-2025学年高二上学期入学测试数学试题

这是一份重庆市巴蜀科学城中学2024-2025学年高二上学期入学测试数学试题，共12页。试卷主要包含了若直线过点，则此直线的倾斜角是，两条平行直线与之间的距离为，已知圆与圆交于两点，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：赵浚灵 审题人：刘静雯
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆的焦距为2，长轴为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.两条平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.3
4.已知直线与相交于两点，且，则实数的值为（ ）
A.3 B.10 C.11或21 D.3或13
5.已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的焦距为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.12
6.已知圆与圆交于两点，则（ ）
A. B.5 C. D.
7.已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.
8.已知是椭圆的左､右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示.
10.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（ ）
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
11.过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.所在直线的方程为
C.四边形的外接圆方程为
D.的面积为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若直线与直线平行，则实数的值为__________.
13.点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是__________.
14.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左､右焦点分别是，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.
四､解答题（本题共5小题，第15小题13分，16题和17题15分，18题和19题17分）
15.已知三个顶点坐标分别为.
（1）试判断的形状；
（2）求中的角的角平分线所在直线的一般方程.
16.已知圆和直线.
（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交；
（2）当直线被圆截得的弦长最小时，求直线的方程；
（3）已知点在圆上，求的最大值.
17.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若圆与圆关于直线对称，求直线的方程；
（2）若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，求的值.
18.已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于两点，若线段中点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的下顶点，如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值.
19.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线的斜率分别为.
（i）证明：为定值；
（ii）求四边形面积的最大值.
重庆巴蜀科学城中学校高2026届高二上入学测试参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D
5.B【详解】是的中点，而是中点，所以，
所以的周长是周长的一半，
又的周长为6，所以周长是12，
即，
，又，所以.
故选：B.
6.C【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，圆与圆相交，两圆方程相减得直线，
显然点在直线上，因此线段是圆的直径，
所以.
7.D【详解】如图，
设圆的半径为，则，
则，
的轨迹为椭圆，焦点为，
，即.
椭圆方程为：.
由，得，故，
，要使的值最大，则最大，
为椭圆的左焦点，故
即.
8.D
【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值，
要使椭圆上总存在点，使得，
只需满足，且，
记，则有，且，
所以，解得（舍去）或，
所以，即，
整理得，所以，所以.
9.AD
【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确.
对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为-1，故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，
故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.
对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；
对于D：经过平面内任意相异两点的直线：
当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程表示，故D正确.
10.BCD
【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得A不正确；
显然，则，离心率B正确；
当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为正确.
11.BCD
【详解】
因为，所以以为圆心，为半径的圆交圆于两点，
因为，
又因为以为圆心，为半径的圆为，
与相减得
所以所在直线的方程为，故B正确；
连接交于，等面积法可得，即，所以，即，所以，故A错误；
四边形的外接圆是以为直径的圆，故圆心为，半径为的圆，故方程为，即，故C正确；
因为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
12.-2 13.
14.
【详解】
曲线C的方程为，即，即有，
由椭圆的定义可得且，
过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得为的角平分线，即有.
故答案为：
15.（1）是以为直角的等腰直角三角形（2）
【详解】（1）解：因为，
所以的斜率，
的斜率，
则，
所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；
（2）解：由（1）知是以为直角的等腰直角三角形，
所以角的角平分线即为边上的中线，
易求中点坐标，所以直线的斜率，
故角的角平分线为，化为一般式为.
16.（1）证明见解析；（2）；（3）.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
令解得，所以直线过定点，
而，即点在圆内部，所以直线与圆相交；
（2）解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为
由图可知圆心到直线的距离，且，
又直线被圆截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小
所以当，即直线时直线被圆截得的弦长最小时，
又圆心，所以，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（3）解：因为，表示圆上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离，
所以.
17.（1）（2）
【详解】（1）由题意圆和圆即关于直线对称.
两式相减得，公共弦方程即直线的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，
若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，
则圆心到直线的距离等于1，
所以，解得.
18.（1）（2）
【详解】（1）由题意得，即，
设，若，此时线段中点为，不合要求，
故，
则
两式相减得，
因为线段中点的坐标为，
所以，
故，
又，
则，即，
又，故，
故椭圆的方程为；
（2）由题意得，
联立与得，
设，则，
则，
设的中点为，则，
由于都在以为圆心的圆上，则，
.解得，