河南省鹤壁市淇滨区鹤壁市高中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份河南省鹤壁市淇滨区鹤壁市高中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了已知复数满足，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号等在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知定义在R上的函数满足，且当时，.给出以下四个结论：
①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为.
共中正确的结论的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
2.已知，，，则的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
3.若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C. D.事件A与事件B相互独立
5.将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.1
6.在中，角的对边分别为，若，且，则（ ）
A.B.C.D.
7.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为
B.的最小值为4
C.当时，则
D.当时，则
10.将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为
C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D.直线平面
11.已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则中的元素的个数为1
B.若，则中的元素的个数为15
C.若，则中的元素的个数为45
D.若，则中的元素的个数为78
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2.根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修.若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为 .
13.若点是曲线上的点，则的最小值为_________.
14.已知，，则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并予以证明；
(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
16.（15分）为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；
乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40.
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.
(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数.
(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系.（结论不要求证明）
17.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且.
(1)证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值.
18.（17分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且.直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.
19.（17分）设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”.
(1)判断点是否为函数的“2度点”，说明理由；
(2)设函数.
①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值；
②若，求函数的“1度点”.
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】对于①，中令，则，
解得，①正确；
对于②，中，令得，
故为奇函数，
又当时，，故不为常函数，故不可能为偶函数，②错误；
对于③，设，则，又为奇函数，当时，，
故，
所以，故是减函数，在上最大值不是，③错误；
对于④，因为，故，
因为是减函数，所以，解得，
所以的解集为，④正确.
故选B.
2.【答案】C
【解析】由题可得，，
同理，
则，
故选：C.
3.【答案】C
【解析】∵定义在上的奇函数满足，
∴，
∵，∴，
即，记，在上单调递增，
∵，∴是偶函数，
∴在上单调递减，且，
如图所示，画出，大致图象，
由图可得，有3个零点.
故选C.
4.【答案】C
【解析】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知，从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故D错误；
从甲袋中任取1球是红球的概率为：，
从甲袋中任取1球是白球的概率为：，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
故选C.
5.【答案】A
【解析】令原函数为，即，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为，
令函数图象在处的切线倾斜角为，则，
曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同，
而曲线始终为函数图象，因此，而，
则，
所以的最大值为.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】两边平方得，
即，即，
故，，
因为，所以，由正弦定理得，
因为，
所以，
故，所以，
因为，所以，
故.
故选：C.
7.【答案】D
【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，
故选：D.
8.【答案】A
【解析】由函数的图象可得，当，时，，
当时，.
由① 或②
解①得，，解②得，，
综上，不等式的解集为，
故选：A.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】AD
【解析】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
10.【答案】AC
【解析】对于A，，所以表面积为，故A对；
对于B，如图所示：
设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，
所以，又因为，
所以正三棱锥的高为，
所以题图所示几何体的体积为，故B错；
对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，
所以面，而面，
所以面面，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中轴平行，因为，
所以，
设平面的法向量为，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，
而，所以直线与平面不平行，故D错.
故选：AC.
11.【答案】BCD
【解析】对于A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误；
对于B，由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确；
对于C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确；
对于D，，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】/
【解析】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，
设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B，
则由题可知P(A)＝，P(B)＝，
从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C，
从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D，
则由题可知P(C)＝，P(D)＝，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝.
故答案为：.
13.【答案】/
【解析】令，则原问题转化为求解的最小值，
不妨设，，由题意可得：
，
即
整理可得：，
所以当时，有最大值，即有最小值，
所以可得的最小值是.
故答案为：
14.【答案】
【解析】,所以，
故，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2).
【解析】（1）函数为偶函数，证明如下：
，
的定义域为，对于，都有，且，
所以为偶函数.
（2）因为存在使得不等式成立，所以，
而，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
故实数的取值范围为.
16.（15分）【答案】(1)人；(2)分布列见解析，期望；(3)
【解析】（1）乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人，
所以运动时长不足20小时的频率为，
所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为人；
（2）甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为，
由题意可知，，
，，
，，
分布列如下表
；
（3）甲单位和乙单位的前9个数据的差值都是10，所以甲单位和乙单位前9个数据的方差相同，甲单位比乙单位多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使甲单位的波动变大，从而方差变大，所以.
17.（15分）【答案】(1)证明见解析； (2)存在，
【解析】（1），为中点，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）取中点，连接，
为等边三角形，；
分别为中点，，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
，
，解得：，
，，，，
，，，
假设在棱上存在点，使得二面角的大小为，
设，则，
；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面，平面的一个法向量为，
，解得：（舍）或，
，则；
存在点，满足，使得二面角的大小为.
18.（17分）【答案】(1)证明见解析； (2)直线恒过定点，，
【解析】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为
如图，设圆E的圆心为，半径为r，
由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，，
所以，
由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支
又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，，
即曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，,
设，，其中，，
由韦达定理得：，，
又点，所以，，
因为，所以，
则
，
即，解得（舍去），
当，直线的方程为，，
故直线恒过点，.
19.（17分）【答案】(1)点为函数的“2度点”，理由见解析；
(2)①；②
【解析】（1）因为，所以，，
则函数在点处的切线方程，
将切线l的方程与联立得，
记，
，
当时，，当和时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
，因为，所以，
又因为，
所以在上存在唯一零点，
则点为函数的“2度点”.
（2）①设直线与曲线相切于点，
，，
则，整理得，
对于给定函数我们定义它的导数为，定义它的导数的导数为.
设，则，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在R上递增，又，，，经检验符合题意；
②设点，曲线在点P处的切线方程为，
令，
曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，有唯一零点，
，且，
，令，则，
，，单调递减；
，，单调递增；
（i）若，由，；，，
在R上单调递增，只有唯一零点；
（ii）若，由，单调递增，且，
则当，，，
当，，
其中，，
必存在，使得，
，故在内存在零点，即在R上至少有两个零点；
（iii）若，同理利用，可得在R上至少有两个零点；
综上所述，函数的“1度点”为.0
1
2
3