辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分．
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，．
故选：A．
【点睛】考查了二次根式的意义的条件．概念：一般地，形如的式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 把直线向下平移3个单位长度得到直线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线平移的性质，即可得解.
【详解】根据题意，得
故答案为D.
【点睛】此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握，即可解题.
3. 不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．
4. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线的知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键，根据题意知是的中位线，利用中位线的定理可知，即可解答．
【详解】解：∵C，D是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
5. 下列命题的逆命题正确的是（ ）
A. 全等三角形的周长相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果，那么
D. 直角三角形的两个锐角互余
【答案】D
【解析】
【分析】写出命题的逆命题，后根据所学知识判断真假即可．
本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键．
【详解】A. 周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；
B. 对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；
C. 如果，那么，假命题，不符合题意；
D. 两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意；
故选D．
6. 某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ）
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正九边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它的外角的3倍，可得该正多边形内角和是其外角和的3倍，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
∵一个内角是它的外角的3倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的3倍，
∴，
解得：，
即这个正多边形是正八边形．
故选：C．
7. 若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：A．
8. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断．
【详解】解：方程的解是，
经过点．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题．
9. 银州区今年7月1日至8日的最高温度（）如下表所示：
则最高温度（）的众数和中位数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，熟练掌握定义式解题的关键．将这组数据从小到大排列，出现最多的即为众数，第4、5个数据的平均数即为中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列：26，26，28，29，31，31，31，32
故众数为31，中位数为
故选：D．
10. 如图，在中，点D是中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为9，可得，从而求出的周长，即可解答．
【详解】∵点D是的中点，
∴，
由题意得：是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为9，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：C．
二、填空题
11. 计算：____．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据二次根式的除法法则，再化简二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则、二次根式的性质是解决本题的关键．
12. 若3，5，6，8，x的平均数为5，则x的值为___________
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是平均数的求法及运用，熟记计算公式是解本题的关键．根据平均数是计算公式即可得出结论．
【详解】解：数据3，5，6，8，的平均数是5，
，
解得．
故答案为：3．
13. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题关键是找出公因式，熟悉平方差公式．
14. 某电梯从1层（地面）直达3层用了，若电梯的运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需要的时间是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】设电梯每运行一层的时间是，根据题意，由1层到3层用列出方程求出x 值，再计算求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设电梯每运行一层的时间是，根据题意，由1层到3层用，
得，
解得，
当从2层到8层用时间为，
故答案为：．
15. 如图，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交于两点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，以为端点作射线，在射线上截取线段，则点到的距离为______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出是的角平分线是解题关键．过点M作于点E，直接利用角平分线的作法得出是的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】过点M作于点E，
由题意可得：是的角平分线，
则，
∴．
则点到的距离为4，
故答案为：4
三、计算题（每题5分，共10分）
16. （1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
（1）求出每个不等式的解集取公共部分即可；
（2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可．
【详解】（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集是
（2）
两边同乘以得，，
解方程得，，
当时，，
∴是分式方程的解
四、简答题（每题8分，共40分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法和除法化简分式，再求出a的值代入化简结果计算即可．
【详解】
当时，
原式
18. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕原点旋转后的图形；
（2）是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
（3）将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可；
（2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可；
（3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标．
【小问1详解】
解：根据题意可知和关于原点中心对称，
则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，
分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接，
如图所示，即为所求：
【小问3详解】
解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ，
分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、，
平移后的和关于点成中心对称，且、、，
设对称中心，由题意可知，点为和的中点
那么，
，
．
故答案为：．
19. 某福利院组织部分小朋友去旅游，由两位职工带队．联系了甲、乙两家服务质量相同且报价相同的旅行社，经过协商，甲旅行社表示可以两位大人全额付款，其余人七五折优惠：乙旅行社表示可以所有人八折优惠，该福利院选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
【答案】当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少
【解析】
【分析】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．设该公司有x人参加旅游，票价为a元每张，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，根据题意即可分别写出、与x的函数关系式，然后根据和的大小关系分类讨论，求出每一种情况下x的取值范围即可得出结论．
【详解】解：设该公司有x人参加旅游，票价为a元每张，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，则：


当=时，两家旅行社收费一样：
则
解得：；
当时，乙旅行社收费较少：
则
解得：
当时，甲旅行社收费较少：
则
解得：
答：当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少．
20. 如图，在中，过点D作于点E，点F在上，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析.
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识：
（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分．
21. 为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如下表所示：
（1）分别求出甲、乙两名学生在四次测试中的平均分：
（2）分别求出甲、乙两名学生测试成绩的方差，从方差的角度判断选择谁参加比赛更合适．
【答案】（1）90分；90分；
（2）选择甲参加比赛更合适，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了方差与平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
（1）由平均数的公式计算即可；
（2）先分别求出两位同学测试成绩的方差，再根据方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：（分，
（分，
【小问2详解】
解：选择甲参加比赛更合适，理由如下：
，
，
甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛更合适．
五、解答题（本题25分）
22. 如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到相应条件，证明，得到，继而推出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
，
．
又，
，即．
又，
四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．
23. 如图，直线过点A-4,0，交y轴正半轴于点B，且，C从A点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，同时D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为t
（1）求的解析式；
（2）在运动过程中，以为对角线作正方形，除C、D外正方形另外两个顶点中有一个顶点落在坐标轴上，求此时t的值.
【答案】（1）
（2）、或
【解析】
【分析】本题主要考查求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和直须恰噶人性质等知识：
（1）求出点B 坐标，运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）分①当E落在x轴上，②当F点落在y轴正半轴上，③当E 点落在y轴负半轴上三种情形讨论求解即可
【小问1详解】
解：∵A-4,0，
∴，
∵，
∴,
在中，根据勾股定理得：，
∴，
设直线得解析式，
把代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：①当E落在x轴上时，如图1，
由题意得，，，
∵四边形为正方形，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得： （舍去）
②当F点落在y轴正半轴上时，如图2，作，，，根据勾股定理可得，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又，
∴，
又
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又
∵，
∴，
解得： ；
③当E 点落在y轴负半轴上时，如图3，作，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
又，，
，
∴，
解得，，
综上：、或
24. 定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）．
（1）由定义可知，一次函数的“亮点”为________．
（2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值．
（3）若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”．
①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．
②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②或；
【解析】
【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可；
（2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可；
（3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案；
【小问1详解】
解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得，
一次函数的“亮点”为；
【小问2详解】
解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点又在上，
，
又，
，
解得，
；
【小问3详解】
①直线上没有“亮点”，
直线与平行，
，
，令，，
令，则，
，
，
设，
，
，
，
，
即或，
解得或，
或；
②由①得：，
而点Q与边上的三点能构成平行四边形，
如图，的临界位置为：，，

∵点Q在直线（）上，
∴当过时，
∴，
解得：；
当过时，
∴，
解得：，
∴的取值范围为：或；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
25. 如图，是的中线，，交于点F，且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）的长为．
【解析】
【分析】（1）证明得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形；
（2）过点Q作于M，作于N， 连接，由角平分线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，进而得出结论；
（3）由平行四边形的性质得出， 由（2）得出，过C作于K，连接，由直角三角形的性质得出 得出，由线段垂直平分线的性质得出在 中，由勾股定理得出即解方程即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明：过点Q作于M，作于N，连接，如图：
∵平分，
∴，
∴，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（2）得：，
∴，
过C作于K，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
最高温度（）
29
28
26
31
32
31
31
26
甲
90
85
95
90
乙
98
82
88
92