江苏如东高级中学2024年高二上学期开学第一次考试数学试题+答案

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1.若直线的倾斜角为，则（ ）．【答案】C
A．0B．C．D．不存在
2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
故选：C.
3. 已知直线：和直线：，则是“∥”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】由题意得，圆的标准方程为，
故，，又点在圆外，所以，
，或，所以m的取值范围为．故选：D.
5.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解.
【详解】由直线，可得，
可得直线的斜率为，且恒过定点，则，
如图所示，要使得直线与线段有交点，则或，
可得或，即实数的取值范围为.
故选：A.
6.已知直线：与直线：交于点Px0,y0，则的最大值为（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点Px0,y0得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，x=6，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
7.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.
【详解】设中点为C，则，
∵，∴，∴，
∵，即，
又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.
故选：C．
8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：
①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点
③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③D．①
【答案】B
【分析】①根据曲线特征，分别令，，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和等腰三角形的面积比较；②将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到，时，曲线经过的点即可；③由时，利用基本不等式求解.
【解析】①由方程，令，得，令，得，
如图所示：
由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，，
x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积， ，
所以曲线C所围成的 “心形”区域的面积大于2+2=3，故正确；
②由方程，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称，
令，得，即曲线C经过，
当时，方程变为，由，解得，
所以，此时，解得或，则曲线经过，
再由对称性知，曲线经过，所以曲线一共经过6个整点，故错误；
③当时，方程为，则，即（当且仅当时等号成立），
所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确.故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，故选：BD.
10.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为
C．存在点使 D．直线过定点
【答案】ABD
【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.
【详解】圆心到直线的距离为，
所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，
当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；
因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；
因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；
对于D，设，则，，以PC为直径的圆的圆心为，半径为，所以以PC为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以PC为直径的圆的公共弦，
联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；
故选：ABD
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4
【答案】ACD
【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C.
【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确；
对于B，设，则，B错误；
对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：
由曼哈顿距离的定义可知，而点，
当不与重合时，由直线的斜率为，得，
则；当与重合时，，
于是，因此，C正确．
对于D，如图②所示，取，，则，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.圆与圆的位置关系为 ．【答案】外离
13.经过两条直线与的交点，且在y轴上的截距是x轴上的3倍的直线方程为 .
【答案】或
14.已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ．
①无论k取何值，圆心始终在直线上；
②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为；
③若圆O与圆的公共弦长为，则或；
④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为．
【答案】①③④
【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④.
【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确；
对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误；
对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，
则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确；
对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确．
故答案为：①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
（1）已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程．
（2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.
【详解】（1）易知A−1,2到直线的距离为圆A半径r，
所以，则圆A方程为
过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由A−1,2到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
（2）两圆的圆心之间的距离为.
当两圆外切时，圆的半径为；
当两圆内切时，圆的半径为.
∴圆的方程为或.
故答案为：或.
16.已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【详解】（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
（3）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最大值，
此时直线的方程为，即.
17.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，A、B异于原点
(1)求证：的面积为定值．
(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.
【详解】（1）由题意可得圆的方程为：，
化简可得，
与坐标轴的交点分别为：，，
为定值.
（2）如图所示，，原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则，，三点共线，
又的斜率，，解得，又，所以，可得圆心，圆的方程为：；
（3）如图所示，由（2）可知：圆心，半径，，
设点关于直线的对称点为，
则中点为，
且，解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，此时直线的方程为：，
点为直线与直线的交点，
则，解得，即点.
18.已知圆过点，且与圆关于直线对称．
(1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由；
(2)过点作两条相异直线分别与相交于，．
①若直线和直线互相垂直，求的最大值；
②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得，则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切．
（2）方法一：令、即，为过点的两条弦，
设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在）
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为
方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在，
则，此时
若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，，
点到的距离为，同理可得点到的距离为，
，
，
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为
②直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设，
，
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ，
同理，所以， ，
所以，直线和一定平行．
19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．
(1)若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
【详解】（1）解：根据题意，在中，可得，
由正弦定理得：，
可得，因为为锐角，所以，
所以应在矩形区域内，按照与夹角为30°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功.
（2）解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设，根据题意，可得，所以，
所以，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分，
所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．