人教版九年级上册数学开学测试卷5（试卷+答案+解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．以下四个高校校徽主题图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x2+5B．ax2+bx+c＝0
C．x2+1＝﹣8D．2x2﹣y﹣1＝0
【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、a＝0时是一元一次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
3．将抛物线y＝x2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是：y＝（x+3）2．
故选：C．
4．如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】先根据旋转的性质得到BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BED的度数．
【解答】解：∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，
∴BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BED=12（180°﹣70°）＝55°．
故选：A．
5．用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2+1）2＝﹣1，y2＝﹣（1+1）2＝﹣4，y3＝﹣（2+1）2＝﹣9，
∵﹣1＞﹣4＞﹣9，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
7. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2与开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2与开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
9．如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（ ）
A．4.2B．4.8C．5.4D．6
【解答】解：∵直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，∴点A（3，0），点B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，∴AB=OA2+OB2=5，∵四边形OADC是菱形，
∴OE⊥AB，OE＝DE，∴OA•OB＝OE•AB，即3×4＝5×OE，
解得：OE＝2.4，∴OD＝2OE＝4.8．故选：B．
10．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x=5+p2+12（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （ ）．
A．②④B．①③C．②③D．①④
【解答】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x=5+p2+12（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝（x−52）2−14=（5+p2+12−52）2−14=p24=（p2）2，
当p为奇数时，p2不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：B．
二、填空题：（本题共6小愿，每小题4分，共24分）
11. 若是二次函数，则
【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解．
【详解】解：由是二次函数，则有：
，解得：，
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
12．点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 （﹣2，1） ．
【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
13．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是 10 ．
【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB=OM2+BM2=1+9=10，
∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC=10
14．已知a，b是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3b+5b的值是 22
【解答】解：根据根与系数的关系得到a+b＝4，ab＝﹣1，
∴1b=−a，
∴2a2+3b+5b＝2a2﹣3a+5b，
∵a是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的实数根，
∴a2﹣4a﹣1＝0，
∴a2＝4a+1，
∴2a2+3b+5b＝2（4a+1）﹣3a+5b
＝8a+2﹣3a+5b
＝5（a+b）+2
＝5×4+2
＝22．
15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60t−65t2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 120 m．
【解答】解：∵y＝60t−65t2=−65（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，飞机停下来并滑行750m，
把t＝25﹣10＝15代入y＝60t−65t2得y＝60×15−65×152＝630，
∴750﹣630＝120（m）．
故答案为：120．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t−32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，则当t＞13时，y1＞y2；④14b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是 ①②④ ．
【解答】解：∵抛物线开口向上，且交y轴于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵对称轴x=−b2a=12，即b＝﹣a，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），
∴0＝a﹣b+c，
∵a＝﹣b，
∴﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=12，点（t−32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，
∴当t−32+t+322＜12时，即t＜12时，
∴y1＞y2，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x=12，
∴当x=12时，抛物线y取得最小值y=14a+12b+c=14b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，
∴14b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）；
故④正确，
综上，结论①②④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
【解答】解：（1）∵a＝1、b＝﹣2、c＝﹣2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
则x=2±232=1±3，
∴x1＝1+3、x2＝1−3；
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，即3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝3或x＝1．
18．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（﹣1，0）．
（1）请画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，写出点A1，B1的坐标；
（2）连接AB1，A1B，求四边形AB1A1B的面积．
【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把平行四边形的面积看成两个三角形面积的和即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，﹣2），B1（﹣5，0）；
（2）四边形AB1A1B的面积＝2×12×8×2＝16．
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：
（1）其图象与x轴的交点坐标为 （1，0）和（5，0） ；
（2）当x满足 1＜x＜5 时，y＜0；
（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 ﹣4≤y≤12 ．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴它与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；
故答案为：（1，0）和（5，0）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+5开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；
∴当1＜x＜5 时，y＜0；
故答案为：1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4），
∴x＝3时，有最小值﹣4，
当x＝﹣1时，y＝1+6+5＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，y的范围是﹣4≤y≤12．
故答案为：﹣4≤y≤12．
20. （8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，点F．连接AF、CE．试判断AF与CE的关系并说明理由．
【答案】AF=CE，．理由见解答．
【解析】
【分析】先证，再证△ABE≌△CDF得AE=CF，得四边形AECF是平行四边形；由平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解∶ AF=CE， ，理由如下∶
∵四边形ABCD是矩形，
∴， AB=CD ．
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴，
∴，
在△A BE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF ( AAS )，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）甲、乙两名队员的10次射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图，并整理分析数据如下表：0平均成绩/环中位数/坏众数/环方差甲a 7 7 1.2 乙7 b 8 c
（1）求a，b，c的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
【解答】解：（1）甲的平均数为：5+6×2+7×4+8×2+910=7，故：a＝7；
乙的成绩中位数为：（7+8）÷2＝7.5，故：b＝7.5；
乙的方差为：S2=12(16+9+1+0+0+1+1+1+4+9)=4.1，故：c＝4.1
答：a，b，c的值分别为：7，7.5，4.1．
（2）从平均数上看，甲、乙二人相同，
从中位数看，甲的为7，乙的为7.5，乙的好一些；
从众数看，甲的是7，乙的是8，乙的较好，
从方差上看；甲的1.2，乙的4.1，甲比乙稳定，
但综合考虑，乙虽然不稳定，但他的中位数大，有打到满分的可能性，即有创造奇迹的可能，我认为乙的成绩较好．
22.（10分） 如图，在中，∠ACB为钝角．
（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；
（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD•tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，
解得：z＝120，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；
（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，
整理得：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10，
此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；
（3）设利润为W元，由题意
W＝[150（1+x%）﹣120﹣a]•（﹣2x+24）＝﹣3x2+（2a﹣24）x+720﹣24a，
对称轴x=−2a−24−6=a3−4，
由题意，a3−4≤−2a≥1，
解得：1≤a≤6．
24．（12分）如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC=3+1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN=2，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．
【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，由“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得∠ABE＝∠ACD＝60°，由余角的性质可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求BG=12BD，DG=32BD，FG＝EG=32BD，由全等三角形的性质可得BE＝CD=32BD−12BD，即可求解；
（3）由等腰直角三角形的性质可求OG＝1，由三角形的三边关系可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠DBG＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝60°，
∵点D关于直线BE的对称点为F，
∴BG⊥DF，FG＝DG，
∴∠BDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）∵∠BDF＝30°，GB⊥DF，
∴BG=12BD，DG=3BG=32BD，
∵∠EFG＝45°，BG⊥DF，
∴∠EFG＝∠FEG＝45°，
∴FG＝EG=32BD，
∴BE＝EG﹣BG=32BD−12BD，
∵△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD=32BD−12BD，
∵AC＝BC＝BD+CD=3+1，
∴BD+32BD−12BD=3+1，
∴BD＝2；
（3）如图2，连接OG，
∵∠DNM＝90°，DN＝MN=2，
∴DM=2DN＝2，
∵DG＝FG＝EG=32BD，BD＝2，
∴DG＝FG＝EG=3，
又∵点O为FM的中点，
∴OG=12DM＝1，
在△EGO中，EO＜EG+GO，
∴当点G，点O，点E三点共线时，EO的最大值＝EG+GO=3+1，
∵BC=3+1，
∴EO的最大值等于BC．
25. （14分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，
①当，求点P的坐标；
②过点P作PD//BC，交x轴于点D，求PD的最大值．
【答案】（1），A(﹣4，0)
（2）①P(﹣1，3)或(﹣3，2)；②
【解析】
【分析】（1）将B（1，0），C（0，2）代入，即可求函数的解析式；
（2）①先求直线AC的解析式，过P作PG//y轴交AC于点G，设，则，则S△APC＝﹣t2﹣4t＝3，求出t的值即可求P（﹣1，3）或（﹣3，2）；②先求直线BC的解析式，设，则直线PD的解析式为，可求，再由，则当时，PD有最大值．
【小问1详解】
将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴，
令y＝0，则，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴A（﹣4，0）；
【小问2详解】
①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴，
过P作PG//y轴交AC于点G，
设，则，
∴，
∴，
解得t＝﹣1或t＝﹣3，
∴P(﹣1，3)或(﹣3，2)；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2，
∵PD//BC，
设，则直线PD的解析式为，
∴，
∴PD＝，
∵，
∴=（t-1）（t+4）