人教版九年级上册数学开学测试卷11（试卷+答案+解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册+九上第1章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意；
B、，若，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．下列运算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减、乘、除运算．熟练掌握二次根式的加减、乘、除运算是解题的关键．
根据二次根式的加减、乘、除运算对各选项判断作答即可．
【详解】解：A中，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故符合要求；
故选：D．
3．用配方法解方程，变形后的结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一般步骤是：先把二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，即完成了配方；根据配方过程即可完成．
【详解】解：配方，得：，
即，
则；
故选：C．
4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A、B、D；根据三角形的内角和定理即可判断C．
【详解】解：A、，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、，
，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、，，
，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，
故本选项符合题意；
故选：D
5．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当时，
B．
C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则
D．若点和点在直线上，则
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确；
B、由图象可知，，原选项错误；
C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误；
D、由图象可知，随的增大而增大，
∵，
∴，原选项错误；
故选A．
6．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④．
【详解】解：连接，且令，相交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴只要满足，那么四边形就是平行四边形，
∵点E，F是上的动点，
∴存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故②错误；
只要，则四边形是矩形，
∵，
∴当时，不存在矩形，故③错误；
当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
8．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解．
【详解】解：∵该方程是一元二次方程，
∴，
即；
∵关于的一元二次方程有一个根为，
故将代入方程为，
整理得：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
9．若点，都在一次函数的图象上，则 （填“”或“”）．
【答案】
【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而增大，即可求解．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∵点，都在一次函数的图象上，，
∴，
故答案为：．
10．已知a，b分别是方程的两根，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程解的定义、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，再根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a，b分别是方程的两根，
∴，
把代入方程得，，即，
∴，
故答案为：3．
11．如图，已知钓鱼杆的长为10米，露在水面上的鱼线长为6米，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为 米．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解．
【详解】解：在中,,,
,
在中,，,
，
，
故答案为：2.
12．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．

【答案】或或
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，

则，
菱形的边长为4，，
，
，
是等腰三角形，，
，
如图，当时，
，
点F与点H重合，
；
如图，当时，
，
点E与点H重合，
；
如图，当时，
，
，
；
综上，的长为或或，
故答案为：或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
13．计算
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶
（1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式．
．
（2）解：原式
．
14．解方程：
(1)（配方法）；
(2)（自选方法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把原方程整理得到，再配方解方程即可；
（2）先利用平方差公式把原方程变形为，据此解方程即可．
【详解】（1）解：原方程整理得，
配方，得．
∴，或．
，．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴或，
∴，．
15．如图，在中，．
(1)直接写出的形状是_________；
(2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：直角三角形.
（2）解：由（1）得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
16．如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．
(1)如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点；
(2)如图2，点，在平面内找一点G，使与全等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等：
（1）如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求；
（2）如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求；
易证明点G为三条中线的交点，则点F即为所求；
（2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求；
易证明，则，据此易证明．
17．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价；
【答案】(1)
(2)售价为60元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：，
解得，
∴，
（2）解：根据题意，得，
解得，
∵售价不得高于100元，
∴，
∴售价为60元；
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
18．定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
(1)与是关于______的共轭二次根式；
(2)若与是关于2的共轭二次根式，则______；
(3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)．
【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
（1）根据共轭二次根式的定义，即可得解；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；
（3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；
【详解】（1）解：，
∴ 与是关于1的共轭二次根式，
故答案为：1；
（2）解：∵与是关于2的共轭二次根式，
∴
∴，
故答案为：；
（3）解：∵与是关于12的共轭二次根式，
∴
∴，
∴．
19．如图，四边形为平行四边形，以为边，在平行四边形外侧作菱形，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的性质和勾股定理，
（1）根据题意得，．结合菱形的性质得，，可得，，即可判定；
（2）过点E作，交的延长线于点G，则．进一步得，．在中，求得，则，在中，利用勾股定理求得，结合（1）知．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图，过点E作，交的延长线于点G，
∴．
∵四边形为平行四边形，四边形为菱形，
∴，．
在中，∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形为平行四边形，
∴．
20．某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
(1)表中______；______．
(2)求出乙得分的方差．
(3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)乙的方差为
(3)应选甲参赛较好（答案不唯一），理由见解析
【分析】（1）先把甲的成绩按照从小达到排列，再根据中位数与众数的含义求解即可；
（2）直接利用方差公式进行计算即可得到答案；
（3）可以从平均数，中位数与众数的角度进行分析，从而可得答案．
【详解】（1）解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
甲的中位数，
出现了次，出现的次数最多，
众数是．
（2）解：乙的方差为：
（3）应选甲参赛较好答案不唯一，
理由：从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
∴应选甲参赛；
【点睛】本题考查的是平均数，中位数，众数，方差的含义与计算，利用平均数，中位数，众数，方差作判断，理解以上统计量的含义是解本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足．
(1)求点的坐标；
(2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）设点的坐标为，证明，得到，，即可求出答案；
（2）求出直线的解析式，表示出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：点在正比例函数上，
设点的坐标为．
，．
，
，
．
四边形为矩形，
，．
．
．
，
．
，．
点的坐标为，
．
即．
．
∴
∴
点的坐标为；
（2）解：设所在直线的解析式为，由（1）得，，
，
直线的解析式为
点在线段上，
点的坐标为．
．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
(3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)点的坐标为
【分析】本题综合考查一次函数的应用．
（1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标；
（3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
【详解】（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
23．【问题情景】
如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足．
【初步探究】
（1）求证：；
【解决问题】
（2）如图2，连接，当，时，
①求线段的长；
②求的度数；
【类比探究】
（3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________．
【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）方法一：连接，根据菱形的性质，证明，得到，，结合，，得到，证明，进而证明，利用等角对等边得到，由此得证；方法二：过点作交于点，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形菱形，可证四边形为平行四边形，由此得证；
（2）① 连接交于点，可得，根据勾股定理求得、，由此可得的长；
② 方法一：过点作于点，证明四边形为矩形，从而得到，即可得解；方法二：过点作交延长线于点，证明四边形为矩形，即可得解；
（3）过点作，连接，连接交于点，由已知可证四边形是正方形，设，则，，利用勾股定理，可求得，进而求得，从而证明四边形为平行四边形，为中点，证明，，进而证得，设，在和中，利用勾股定理，求得，由此得解．
【详解】（1）方法一：证明：连接，如图，
四边形菱形，
，．
，
．
，．
，
又，
．
．
．
．
．
．
方法二：证明：过点作交于点，连接，．
，
又，
．
．
，，
四边形是平行四边形，
，
又 四边形菱形，
，，
，．
四边形为平行四边形．
．
（2）解：①连接交于点，
四边形菱形，
，，．
由（1）得，，
为的中位线．
在中，．
在中，．
．
②方法一：过点作于点，
．
由（1）得，，
．
．
四边形为矩形．
，，．
．
．
．
．
方法二：过点作交延长线于点，如图所示，
，
，
由（1）得，，
，
，
四边形为矩形．
，，，
，
，又，
，
．
（3）解：过点作，连接，连接交于点，如图，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，，，
设，则，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
根据第（1）问，，又，
为中位线，
，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
设，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
销售单价x（元／件）
55
60
70
销售数量y（件）
75
70
60
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分）
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180