高中数学6.4 平面向量的应用同步测试题

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用同步测试题，共32页。试卷主要包含了平面向量在几何中的应用，正余弦定理在实际生活应用，正余弦定理与三角函数性质，正余弦定理的最值问题，正余弦定理在几何中应用等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
考点一 平面向量在物理上应用
【例1】（2023·哈尔滨）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为
C．当时， D．当时，
【一隅三反】
1．（2022·山东）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小D．船受到的浮力保持不变
考点二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．7
2．（2022·贵州）是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川雅安）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
考点三 正余弦定理在实际生活应用
【例3】（2022·湖南）一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·安徽）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东临沂·高一期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
考点四 正余弦定理与三角函数性质
【例4】（2022·新疆）设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
【一隅三反】
1．（2022·广东揭阳）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
2．（2022·青海）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
3．（2022·甘肃）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
考点五 正余弦定理的最值问题
【例5-1】（2022·山东）在锐角中，角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【例5-2】（2022·江苏）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.
【一隅三反】
1．（2022·广东）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
2．（2022·北京）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，是的面积,．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
3．（2022·广东）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
考点六 正余弦定理在几何中应用
【例6】（2022·甘肃）如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．
【一隅三反】
1．（2022·山西）在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
2（2022·广东）如图，在平面四边形中，，．
(1)若平分，证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值．
3．（2022·安徽）如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
6.4.2 平面向量的应用（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 平面向量在物理上应用
【例1】（2023·哈尔滨）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为
C．当时， D．当时，
【答案】B
【解析】如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·山东）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，故选：C.
2．（2022·全国·高一）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，
所以.故选：D.
3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小D．船受到的浮力保持不变
【答案】AC
【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为，
则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，
故 不断增大.因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小；故选：AC.
考点二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的坐标系,
则,设,则,且,
故当时,的最小值为,故选：D.
【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，在中，边的中点为D
由，可得：，
，可得：，，
，可得：，（当且仅当时等号成立）
则的最大值为4.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．7
【答案】D
【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设，，因为，，
所以，，，所以，，
，所以，所以，
所以当，即时，的最小值为7，故选：D．
2．（2022·贵州）是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，
设，则，，则，
所以，则
则的最小值为，故选：D.
3．（2022·四川雅安）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【解析】因为在等腰直角中，斜边，所以，
因为、，所以，设，则，

所以当时，取得最小值，故选：B
考点三 正余弦定理在实际生活应用
【例3】（2022·湖南）一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里
【答案】A
【解析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，
由题意知，，．
由余弦定理得，
所以，化简得，
解得或（舍去），
所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，
故选：A
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在，，，，
又，
由正弦定理得：，，
树的高度为(m).故选：A．
2．（2022·安徽）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在中，，则，
∴
，
由正弦定理可得，则，
在Rt中，，
∵，则.故选：A．
3．（2022·山东临沂·高一期末）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
【答案】B
【解析】 如图所示，
设水柱CD的高度为h，
在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，
∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，
又∵B，A，C在同一水平面上，
∴是以C为直角顶点的直角三角形，
在中，∠CBD=30°，∴BC=，
在中，由余弦定理可得，
∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故选：B.
考点四 正余弦定理与三角函数性质
【例4】（2022·新疆）设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题设，，
所以，当时的最小值为.
(2)由，得：，则，又，
所以，故，则.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，所以.
由，则.
【一隅三反】
1．（2022·广东揭阳）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
2．（2022·青海）已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.
3．（2022·甘肃）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
考点五 正余弦定理的最值问题
【例5-1】（2022·山东）在锐角中，角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：因为，
所以，
即，即，
又，所以，因为，所以；
（2），
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，即的取值范围为．
【例5-2】（2022·江苏）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C，即，
由正弦定理可得，结合余弦定理可得，
又，故可得.
（2）由三角形面积可得，解得；
又，故
即，当且仅当时取得等号.
故CD的最小值为.
【一隅三反】
1．（2022·广东）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)(2)．
【解析】（1）选①，由得：，
即，所以，因为，故角；
选②，由得：，
，所以，
因为，，所以，解得：；
选③，因为，
又因为，
所以，∴，
∵，∴，∴，因为，所以．
（2）根据（1）可知：，又因为，
由余弦定理得：，
所以，即，当且仅当时取得等号，
又因为根据三角形的三边关系有：所以，所以△ABC周长的取值范围为．
2．（2022·北京）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，是的面积,．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：由，即，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴B＝π－3C，
∵为锐角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，则，且，
设,，设，则，
∴，， 所以,为减函数，
∴．
3．（2022·广东）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知．
(1)求A；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得：
由正弦定理得：
又，所以，
故，即，则；
（2）由正弦定理得：
所以
又因为，所以，又，故，
故，则，所以故的取值范围为．
考点六 正余弦定理在几何中应用
【例6】（2022·甘肃）如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
又，故，
由于，所以，因此，
（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,
由于为三角形内角,所以，由(1)知,故
因此,
进而得
【一隅三反】
1．（2022·山西）在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）解：连接，
因为，，故为等边三角形，，
，则，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，四边形周长的最大值为.
2（2022·广东）如图，在平面四边形中，，．
(1)若平分，证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）平分，，则，
由余弦定理得：，
即，解得：；
，
，
，又，，
（2），
，整理可得：；
，
，当时，取得最大值，最大值为.
3．（2022·安徽）如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：在中，
，
因此，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是．
（2）解：设，则，．
在中，，
在中，．
两式相除得，，，
因为，
，
，故．