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人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行达标测试
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行达标测试，共38页。
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
2．（2023云南）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
3．（2022上海）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
4．（2022山东）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
5．（2022湖北）下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
6．（2022河南）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
7．（2022北京）已知为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．（2022湖北）已知正方体，下列结论中，正确的是______．（填序号）
①；②；③平面．
9．（2022河南）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
10．（2022湖南）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
11．（2023北京）如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
12．（2022哈尔滨）如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
13．（2022西藏）如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
14．（2022甘肃）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
15．（2022陕西）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
16．（2022福建）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
17．（2022陕西省）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
18（2022四川省）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
19（2022北京）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
20．（2022湖北）如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
21．（2022黑龙江）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
22．（2023山东省）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
1．（2022山东省）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A．∥B．∥面
C．∥面D．三棱锥的体积不变
2．（2022辽宁）如图，在正方体中，为线段上任意一点（包括端点），则一定有（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平面平行D．与平面相交
3（2022天津）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上海）如图，在长方体中，
分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・
5．（2022辽宁）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
(1)求证：EF∥平面BDC1；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
6．（2023重庆）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
7．（2022浙江）如图，在长方体中，，E为CD中点．问：在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
8．（2022黑龙江）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
8.5 空间直线、平面的平行（精练）
1．（2022广西）如果直线平面，那么直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
【答案】D
【解析】由线面平行定义知：直线与平面无交点，直线与平面内的任意一条直线不相交.
故选：D.
2．（2023云南）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】A
【解析】，四点共面；
平面平面，平面平面，平面平面，，
四边形为平行四边形.故选：A.
3．（2022上海）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，所以．
又平面平面，所以平面．故选：A
4．（2022山东）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】D
【解析】A中，也可能成立；B中，，还有可能相交或异面；
C中，也可能成立；由直线与平面平行的性质定理可知D正确.故选：D
5．（2022湖北）下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；
对C，能推出与平行；
对D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.
6．（2022河南）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【答案】A
【解析】由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴，故选：A．
7．（2022北京）已知为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若，，则可能相交，A选项错误.
对于B选项，若，，则可能，B选项错误.
对于C选项，若，，则可能，C选项错误.
对于D选项，若，，根据平行的传递性可知，所以D选项正确.
故选：D
8．（2022湖北）已知正方体，下列结论中，正确的是______．（填序号）
①；②；③平面．
【答案】①③
【解析】因为，，所以四边形为平行四边形，故，故①正确；
如果，而，所以，而，因此不可能成立，故②错误；因为，平面，平面，所以平面，故③正确．
故答案为：①③
9．（2022河南）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
【答案】2
【解析】连接，交于点，连接，过点作，交于点.
∵平面，平面，平面平面，
∴.
∵，
∴，又，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵四边形是正方形，
∴是的中点，
又，∴.
∵，
∴.
故答案为：2
10．（2022湖南）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1)连接，，在中，因为，分别为，的中点，
所以，同理，在正方体中，因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.
(2)取的中点，连接，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，同理可证：，又与两边的方向均相反，所以.
11．（2023北京）如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：直线在平面外，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面．
（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接，易知，
则四边形是平行四边形，所以，
所以在平面上，根据判定定理可知，平面．
12．（2022哈尔滨）如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接．因为N，K分别为的中点，所以且，
于是四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以∥平面．
13．（2022西藏）如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，理由见解析
【解析】存在，当点E是DC的中点时，有平面．
连接BE，∵E是DC的中点，∴．
又∵，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
14．（2022甘肃）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
【答案】D为AC中点时，理由见解析
【解析】当D为AC中点时，平面．
理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面．
15．（2022陕西）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
16．（2022福建）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接．
因为，分别是，的中点，所以．
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
同理可证平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
17．（2022陕西省）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是的中点，
所以，
因为E是AB的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥的体积为：
＝．
18（2022四川省）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，
则有EFBM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，
所以EF平面BDD1B1．
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，
于是得EGBD，
而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG平面BDD1B1，
由（1）知EF平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，
因此，平面GEF平面BDD1B1，
所以当G是DC的中点时，
平面GEF平面BDD1B1．
19（2022北京）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【解析】（1）证明：如图，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
又，平面，
平面平面；
（2）证明：平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，
则，得，
为的中点，
为的中点．
20．（2022湖北）如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，由题得，
又
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
平面，平面，
平面，
在正方形中，，分别是棱，的中点，
且，
又 且，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面，平面，且，
平面平面．
21．（2022黑龙江）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．
因为为的中点，
所以，．
又，，
所以，．
因此四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
因此平面．
（2）解：如图所示，取的中点，连接，，
所以
又，所以．
又，所以四边形为平行四边形，
因此．
又平面，所以平面．
由（1）可知平面．
因为，故平面平面．
22．（2023山东省）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）∵，平面平面，∴平面.
∵平面，平面平面，∴.
∵平面平面，
∴平面.
（2）连接，设，，连接，
∵平面平面，平面平面，
∴，
∵，，所以，
∴，
∴点是的重心，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴.
1．（2022山东省）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A．∥B．∥面
C．∥面D．三棱锥的体积不变
【答案】BCD
【解析】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误，
对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确，
对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确，
对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面，
所以∥平面，所以点到平面为常数，
因为三角形的面积为常数，所以为定值，
因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确，
故选：BCD.
2．（2022辽宁）如图，在正方体中，为线段上任意一点（包括端点），则一定有（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平面平行D．与平面相交
【答案】C
【解析】连接、，因为且，所以，四边形为平行四边形，
当为、的交点时，与相交，
当不为、的交点时，与异面，AB选项都不一定成立；
连接、，因为且，故四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，平面平面，
平面，平面，C选项一定满足，D选项一定不满足.
故选：C.
3（2022天津）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，则，同理可得，，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
当时，平面，则平面，
所以，点的轨迹为线段．
在中，．
在中，．
同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．
设的中点为，连接．
当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．
易求得，
因此，线段长度的取值范围是．
故选：B.
4．（2022上海）如图，在长方体中，
分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・
【答案】
【解析】如图，连结，
∵分别为的中点，
∴平面，平面，
∴平面
∵平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，
∴点在直线上，在中，，
∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.
故答案为：.
5．（2022辽宁）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
(1)求证：EF∥平面BDC1；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点G不存在，理由见解析
【解析】（1）证明：取AB的中点M，
∵AF=AB，
∴F为AM的中点，
又∵E为AA1的中点，
∴EF∥A1M
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，
∴A1D∥BM，A1D=BM，
∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，
∴EF∥平面BC1D．
（2）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，
∵
∴，
∴，
∴AG=AC>AC．
所以符合要求的点G不存在．
6．（2023重庆）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明 证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF，
则平面，且，．
∵在正方体中，，，
∴．
∴．
,∴．
又，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，
则平面．易知，
∴，
又，，∴，
∴，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
7．（2022浙江）如图，在长方体中，，E为CD中点．问：在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
【答案】存在，．
【解析】在棱上存在一点P，使得平面．求AP的长如下：
取中点F，连接，，取中点，连接，
当P在中点时，连接，
因为分别是中点，，
又长方体中，与平行且相等，是平行四边形，所以，则，，与共面，
分别是中点，则与平行且相等，而与平行且相等，因此与平行且相等，是平行四边形，，
在矩形上，与平行且相等，是平行四边形，，
所以，
是平面上的直线，PD是平面外的直线，所以平面．因为P为的中点，所以．
8．（2022黑龙江）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
【答案】，，
【解析】连接交平面于点，连接，，
因为平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因为，所以，
所以，
因为，，所以，，
所以，
因为平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，，.
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
2．（2023云南）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
3．（2022上海）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
4．（2022山东）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
5．（2022湖北）下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
6．（2022河南）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
7．（2022北京）已知为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．（2022湖北）已知正方体，下列结论中，正确的是______．（填序号）
①；②；③平面．
9．（2022河南）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
10．（2022湖南）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
11．（2023北京）如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
12．（2022哈尔滨）如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
13．（2022西藏）如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
14．（2022甘肃）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
15．（2022陕西）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
16．（2022福建）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
17．（2022陕西省）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
18（2022四川省）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
19（2022北京）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
20．（2022湖北）如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
21．（2022黑龙江）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
22．（2023山东省）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
1．（2022山东省）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A．∥B．∥面
C．∥面D．三棱锥的体积不变
2．（2022辽宁）如图，在正方体中，为线段上任意一点（包括端点），则一定有（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平面平行D．与平面相交
3（2022天津）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上海）如图，在长方体中，
分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・
5．（2022辽宁）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
(1)求证：EF∥平面BDC1；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
6．（2023重庆）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
7．（2022浙江）如图，在长方体中，，E为CD中点．问：在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
8．（2022黑龙江）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
8.5 空间直线、平面的平行（精练）
1．（2022广西）如果直线平面，那么直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
【答案】D
【解析】由线面平行定义知：直线与平面无交点，直线与平面内的任意一条直线不相交.
故选：D.
2．（2023云南）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】A
【解析】，四点共面；
平面平面，平面平面，平面平面，，
四边形为平行四边形.故选：A.
3．（2022上海）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，所以．
又平面平面，所以平面．故选：A
4．（2022山东）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】D
【解析】A中，也可能成立；B中，，还有可能相交或异面；
C中，也可能成立；由直线与平面平行的性质定理可知D正确.故选：D
5．（2022湖北）下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；
对C，能推出与平行；
对D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.
6．（2022河南）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【答案】A
【解析】由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴，故选：A．
7．（2022北京）已知为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若，，则可能相交，A选项错误.
对于B选项，若，，则可能，B选项错误.
对于C选项，若，，则可能，C选项错误.
对于D选项，若，，根据平行的传递性可知，所以D选项正确.
故选：D
8．（2022湖北）已知正方体，下列结论中，正确的是______．（填序号）
①；②；③平面．
【答案】①③
【解析】因为，，所以四边形为平行四边形，故，故①正确；
如果，而，所以，而，因此不可能成立，故②错误；因为，平面，平面，所以平面，故③正确．
故答案为：①③
9．（2022河南）长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
【答案】2
【解析】连接，交于点，连接，过点作，交于点.
∵平面，平面，平面平面，
∴.
∵，
∴，又，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵四边形是正方形，
∴是的中点，
又，∴.
∵，
∴.
故答案为：2
10．（2022湖南）在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1)连接，，在中，因为，分别为，的中点，
所以，同理，在正方体中，因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.
(2)取的中点，连接，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，同理可证：，又与两边的方向均相反，所以.
11．（2023北京）如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：直线在平面外，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面．
（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接，易知，
则四边形是平行四边形，所以，
所以在平面上，根据判定定理可知，平面．
12．（2022哈尔滨）如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接．因为N，K分别为的中点，所以且，
于是四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以∥平面．
13．（2022西藏）如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，理由见解析
【解析】存在，当点E是DC的中点时，有平面．
连接BE，∵E是DC的中点，∴．
又∵，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
14．（2022甘肃）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
【答案】D为AC中点时，理由见解析
【解析】当D为AC中点时，平面．
理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面．
15．（2022陕西）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
16．（2022福建）如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接．
因为，分别是，的中点，所以．
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
同理可证平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
17．（2022陕西省）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是的中点，
所以，
因为E是AB的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥的体积为：
＝．
18（2022四川省）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，
则有EFBM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，
所以EF平面BDD1B1．
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，
于是得EGBD，
而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG平面BDD1B1，
由（1）知EF平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，
因此，平面GEF平面BDD1B1，
所以当G是DC的中点时，
平面GEF平面BDD1B1．
19（2022北京）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【解析】（1）证明：如图，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
又，平面，
平面平面；
（2）证明：平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，
则，得，
为的中点，
为的中点．
20．（2022湖北）如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，由题得，
又
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
平面，平面，
平面，
在正方形中，，分别是棱，的中点，
且，
又 且，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面，平面，且，
平面平面．
21．（2022黑龙江）如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．
因为为的中点，
所以，．
又，，
所以，．
因此四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
因此平面．
（2）解：如图所示，取的中点，连接，，
所以
又，所以．
又，所以四边形为平行四边形，
因此．
又平面，所以平面．
由（1）可知平面．
因为，故平面平面．
22．（2023山东省）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）∵，平面平面，∴平面.
∵平面，平面平面，∴.
∵平面平面，
∴平面.
（2）连接，设，，连接，
∵平面平面，平面平面，
∴，
∵，，所以，
∴，
∴点是的重心，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴.
1．（2022山东省）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A．∥B．∥面
C．∥面D．三棱锥的体积不变
【答案】BCD
【解析】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误，
对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确，
对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确，
对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面，
所以∥平面，所以点到平面为常数，
因为三角形的面积为常数，所以为定值，
因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确，
故选：BCD.
2．（2022辽宁）如图，在正方体中，为线段上任意一点（包括端点），则一定有（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平面平行D．与平面相交
【答案】C
【解析】连接、，因为且，所以，四边形为平行四边形，
当为、的交点时，与相交，
当不为、的交点时，与异面，AB选项都不一定成立；
连接、，因为且，故四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，平面平面，
平面，平面，C选项一定满足，D选项一定不满足.
故选：C.
3（2022天津）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，则，同理可得，，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
当时，平面，则平面，
所以，点的轨迹为线段．
在中，．
在中，．
同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．
设的中点为，连接．
当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．
易求得，
因此，线段长度的取值范围是．
故选：B.
4．（2022上海）如图，在长方体中，
分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・
【答案】
【解析】如图，连结，
∵分别为的中点，
∴平面，平面，
∴平面
∵平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，
∴点在直线上，在中，，
∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.
故答案为：.
5．（2022辽宁）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
(1)求证：EF∥平面BDC1；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点G不存在，理由见解析
【解析】（1）证明：取AB的中点M，
∵AF=AB，
∴F为AM的中点，
又∵E为AA1的中点，
∴EF∥A1M
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，
∴A1D∥BM，A1D=BM，
∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，
∴EF∥平面BC1D．
（2）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，
∵
∴，
∴，
∴AG=AC>AC．
所以符合要求的点G不存在．
6．（2023重庆）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明 证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF，
则平面，且，．
∵在正方体中，，，
∴．
∴．
,∴．
又，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，
则平面．易知，
∴，
又，，∴，
∴，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
7．（2022浙江）如图，在长方体中，，E为CD中点．问：在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
【答案】存在，．
【解析】在棱上存在一点P，使得平面．求AP的长如下：
取中点F，连接，，取中点，连接，
当P在中点时，连接，
因为分别是中点，，
又长方体中，与平行且相等，是平行四边形，所以，则，，与共面，
分别是中点，则与平行且相等，而与平行且相等，因此与平行且相等，是平行四边形，，
在矩形上，与平行且相等，是平行四边形，，
所以，
是平面上的直线，PD是平面外的直线，所以平面．因为P为的中点，所以．
8．（2022黑龙江）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
【答案】，，
【解析】连接交平面于点，连接，，
因为平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因为，所以，
所以，
因为，，所以，，
所以，
因为平面平面，平面平面于，平面平面于，
所以，所以，，
又因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，，.
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