人教A版（2019）必修第二册第10章概率重难点归纳总结(原卷版+解析)

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第10章 概率 重难点归纳总结考点一 古典概型【例1-1】（2023·陕西安康）某校动漫社团成员共6人，其中社长2人，现需要选派3人去参加动漫大赛，则至少有1名社长人选的概率为（    ）A． B． C． D．【例1-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加明显，为了有效阻断疫情的快速传播，全国各地均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做好此项工作，高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100位线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间的概率；(3)工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访问者恰有一名是80岁以上的概率．【一隅三反】1．（2022秋·云南玉溪）欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（    ）A． B． C． D．2．（2023春·河南）在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程有2个不相等的实数根的概率为（    ）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.4．（2023北京平谷）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．考点二 事件的运算与关系【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（    ）A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（    ）A．EF B．EF C．E D．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖）（多选）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（    ）A．事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中”B．事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生”C．事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生”D．事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生”2．（2022·湖北）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ）A．是对立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件3．（2022·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（    ）A． B． C．与互斥 D．与对立4．（2022·上海·高二专题练习）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（    ）A．事件A发生一定导致事件C发生B．事件B发生一定导致事件C发生C．事件发生不一定导致事件发生D．事件发生不一定导致事件发生5（2023上海徐汇）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）．A． B．C． D．考点三 事件的相互独立性【例3-1】（2023春·江苏南京）（多选）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为，，购买白色手机的概率分别为，，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（    ）A．恰有一人购买国产手机的概率为B．两人都没购买白色手机的概率为C．甲购买国产白色手机的概率为D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为【例3-2】（2023·全国·高一专题练习）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为【一隅三反】1．（2022广西）某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的概率为，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（    ）A． B． C． D．2．（2022山东淄博）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（    ）A． B． C． D．3．（2022广东佛山）甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是（    ）A． B． C． D．第10章 概率 重难点归纳总结考点一 古典概型【例1-1】（2023·陕西安康）某校动漫社团成员共6人，其中社长2人，现需要选派3人去参加动漫大赛，则至少有1名社长人选的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】记社长为A，，其他成员为，，，，所以从6人中任选3人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，20种，其中至少含一个社长的有16种，所以概率为，故选：D．【例1-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加明显，为了有效阻断疫情的快速传播，全国各地均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做好此项工作，高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100位线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间的概率；(3)工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访问者恰有一名是80岁以上的概率．【答案】(1)岁(2)(3)【解析】（1）该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄为（岁）（2）这100位线上采购爱好者的年龄位于区间的频率为.故估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间的概率.（3）参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下的人数为人，记为；80岁以上的人数为人，记为.从这三名中抽取两名进行电话访问，所有情况如下：，共10种.其中被访问者恰有一名是80岁以上的情况分别为，共6种.则被访问者恰有一名是80岁以上的概率为【一隅三反】1．（2022秋·云南玉溪）欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为、、、、、共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为、、共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：.故选：A.2．（2023春·河南）在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程有2个不相等的实数根的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】取为，，，，，，，，，，，共12种，其中使有2个不等实根，即，的有8个，所以.故选：D.3．（2023·全国·高一专题练习）某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.【答案】(1)15.(2).【解析】（1）因为，，所以该产品这一质量指数的中位数在内，设该产品这一质量指数的中位数为，则，解得；（2）由频率分布直方图可得，即在和的产品分别由件，采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在内的有4件，记为，这一质量指数在内的有2件，记为，从这6件产品中随机抽取2件的情况有，共15种；其中符合条件的情况有，共8种，故所求概率.4．（2023北京平谷）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】(1)(2)人(3)众数为；测评成绩的75%分位数为(4)【解析】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：，则分数在区间内的人数为：人，则总体中分数在区间内的人数为：人；（3）由频率分布直方图可得分数在区间的频率最高，则随机抽取的100名学生分数的众数估计为，由频率分布直方图可得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，则测评成绩的75%分位数落在区间上，则测评成绩的75%分位数为；（4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为人，因为样本中分数不小于70的男女生人数相等所以样本中分数不小于70的男生人数为人，又因为样本中有一半男生的分数不小于70，所以样本中的男生共有人，则样本中的女生共有人，所以总体中男生和女生人数的比例估计为.考点二 事件的运算与关系【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（    ）A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品【答案】D【解析】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.故选：D.【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（    ）A．EF B．EF C．E D．【答案】B【解析】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为.故选：B【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖）（多选）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（    ）A．事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中”B．事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生”C．事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生”D．事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生”【答案】ACD【解析】对于A，“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中”不能同时发生，故为互斥事件，故A正确.对于B，“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”，“选取的3人中至少有1名男生” 包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”，故可同时发生，故不为互斥事件，故B错误.对于C，“选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”， “选取的3人中恰有1名女生” 即为“选取的3人中1名女生，2名男生”，不能同时发生，故为互斥事件，故C正确.对于D，“选取的3人中至多有1名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”，故 “选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生”不能同时发生，故为互斥事件，故D正确.故选：ACD.2．（2022·湖北）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ）A．是对立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件【答案】C【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误.事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女.“至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女.故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确，故选：C.3．（2022·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（    ）A． B． C．与互斥 D．与对立【答案】C【解析】对于A，，，∴，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C4．（2022·上海·高二专题练习）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（    ）A．事件A发生一定导致事件C发生B．事件B发生一定导致事件C发生C．事件发生不一定导致事件发生D．事件发生不一定导致事件发生【答案】D【解析】由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图事件A，B，C用集合表示：则选项A，B正确，事件，则C正确，D错误故选：D．5（2023上海徐汇）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.考点三 事件的相互独立性【例3-1】（2023春·江苏南京）（多选）甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为，，购买白色手机的概率分别为，，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（    ）A．恰有一人购买国产手机的概率为B．两人都没购买白色手机的概率为C．甲购买国产白色手机的概率为D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为【答案】AD【解析】由已知，甲乙两人购买哪款手机互相独立，“甲购买国产手机”记为事件，；“乙购买国产手机”记为事件，；“甲购买白色手机”记为事件，；“乙购买白色手机”记为事件，，对于选项A，恰有一人购买国产手机的概率为，故选项A正确；对于选项B，两人都没购买白色手机的概率为，故选项B错误；对于选项C，“甲购买国产白色手机”记为事件，其概率为，故选项C错误；对于选项D，“乙购买国产白色手机”记为事件，其概率为，结合选项C的判断，甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为，（也可以用进行计算），故选项D正确.故选：AD.【例3-2】（2023·全国·高一专题练习）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为【答案】ACD【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．故选：ACD．【一隅三反】1．（2022广西）某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的概率为，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为抽奖中奖的概率为，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为：.故选：B.2．（2022山东淄博）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,∴.故选:C.3．（2022广东佛山）甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为，若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为，前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为，所以最后甲获胜的概率.故选：C