高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第06讲对数与对数函数(高频精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第06讲对数与对数函数(高频精讲)(原卷版+解析)，共93页。试卷主要包含了对数的概念，对数的性质，对数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22658" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22658 \h 2
\l "_Tc25152" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc25152 \h 3
\l "_Tc28951" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc28951 \h 4
\l "_Tc14859" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc14859 \h 4
\l "_Tc20919" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc20919 \h 5
\l "_Tc31307" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc31307 \h 5
\l "_Tc7223" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc7223 \h 6
\l "_Tc25641" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc25641 \h 7
\l "_Tc16670" ①求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc16670 \h 7
\l "_Tc4620" ②求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc4620 \h 7
\l "_Tc5453" ③根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc5453 \h 8
\l "_Tc24860" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc24860 \h 10
\l "_Tc5611" ①对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc5611 \h 10
\l "_Tc9211" ②根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc9211 \h 14
\l "_Tc21697" ③对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc21697 \h 16
\l "_Tc20536" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc20536 \h 17
\l "_Tc6252" ①对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc6252 \h 17
\l "_Tc9273" ②由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc9273 \h 18
\l "_Tc22277" ③由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc22277 \h 19
\l "_Tc29116" ④对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc29116 \h 20
\l "_Tc10036" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc10036 \h 21
\l "_Tc22817" ①求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc22817 \h 21
\l "_Tc25298" ②根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc25298 \h 21
\l "_Tc25608" ③对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc25608 \h 23
\l "_Tc20344" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc20344 \h 24
\l "_Tc8735" ①开放性试题 PAGEREF _Tc8735 \h 24
\l "_Tc1204" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc1204 \h 24
\l "_Tc16650" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc16650 \h 25
\l "_Tc17593" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc17593 \h 25
\l "_Tc8389" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc8389 \h 26
\l "_Tc25544" 第六部分：新文化题 PAGEREF _Tc25544 \h 27
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第一部分：知识点必背
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
3．（2022·全国（甲卷文）高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
5．（2022·全国（乙卷文）高考真题）若是奇函数，则_____，______．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）计算：_________．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）=_______
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）.=_____________
2．（2023·全国·高三专题练习）________
3．（2023·全国·高三专题练习）=______
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2023秋·重庆·高一校联考期末）设,则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知，则__________.
例题3．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）_________.
练透核心考点
1．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则___________．
3．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）已知______．
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数是以为底数的对数函数，则等于
A．3B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）若函数是对数函数，则 .
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数，
(1)求的值；
(2)解不等式．
练透核心考点
1．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点，则__________．
2．（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.
3．（2023·高一课时练习）已知对数函数，则______．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）函数的定义域为___．
练透核心考点
1．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）设函数的定义域A，函数的定义域为B，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）函数的定义域为__________．
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数 的值域为（ ）
A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]
例题2．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则函数的值域为（ ）
B．C．D．
②求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.
例题2．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.
例题3．（2023·山东临沂·高一校考期末）设函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数的最小值是______．
2．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数．
(1)求的定义域;
(2)求的值域．
3．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数（且）．
(1)若，求的值域；
③根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知函数.
(1)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；
例题4．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数的最小值为-6，求实数的值.
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
2．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为_____.
3．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是______.
高频考点六：对数函数的图象
①对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·湖南益阳·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知函数的图象关于直线对称，则函数图象的大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三对口高考）已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
A．B．
C．D．
②根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知，，函数的图象如图，则，的取值范围分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022秋·广东广州·高一广州市白云中学校考期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．D．3
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图象如图所示，则满足的关系是
A．B．
C．D．
2．（2022·高一单元测试）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（多选）（2023春·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考开学考试）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
③对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·四川成都·高一校考期末）已知函数（）的图像恒过定点，则点的坐标为____.
例题4．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为___________.
练透核心考点
1．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）函数（且）的图象恒过定点______．
2．（2023秋·上海金山·高一统考期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为__________．
3．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数（且）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______．
4．（2023·高一课时练习）已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________.
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·上海松江·高一校考期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的单调递增区间是______．
练透核心考点
1．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．.
2．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________．
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．（－2，4]B．[－2，4）
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________．
例题4．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.
练透核心考点
1．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中学校考期末）已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设函数且在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的定义域为（ ）
A．[0，1)B．(－∞，1)C．(1，+∞)D．[0，+∞)
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知对数函数，且，则关于的不等式的解集为______．
练透核心考点
1．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
④对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．0D．6
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的最大值为________.
例题3．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知函数，，求的最大值及最小值.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数（）在上的最大值是（ ）．
A．0B．1C．3D．a
2．（2023·高一课时练习）函数的最小值是______．
3．（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）函数，的最大值为______.
②根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）已知函数（0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知函数定义域为，
(1)求的取值范围；
(2)若，函数在[-2,1]上的最大值与最小值和为0，求实数的值.
例题3．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数，且.
(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；
(2)已知函数.若的最大值为12，求实数的值.
练透核心考点
1．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________．
2．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数
若，求的单调区间；
是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
3．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，或.
(1)若，解关于x的不等式：；
(2)若函数的最小值为，求实数a的值．
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为___________.
例题3．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数在区间上的最大值为2，最小值为 ．
(1)求实数，的值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高一课时练习）若不等式（）恒成立，则实数m的取值范围是______．
3．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）已知函数，的图象过点(1，0)，且为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数满足①；②在定义域内单调递增.请写出一个符合条件①②的函数的表达式______.
2．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知函数满足：，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数__________.
3．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．
①对、，；②在其定义域内单调递增．
②劣够性试题
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）在“①函数是偶函数；②函数是奇函数.”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题.
已知函数，且___________.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）①；②且；③恒成立，且.在以上三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点，__________.
(1)求的解析式；
(2)若，求在的值域.
3．（2023·高一课时练习）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知函数满足______．
(1)求的值；
(2)若函数，证明：．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知函数，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为8
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程的解为，方程的解为，则___________．
4．（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知函数，若存在，满足，则的取值范围是___________.
②分类讨论的思想
1．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知函数为偶函数，且．
(1)求m的值，并确定的解析式；
(2)若（且），求在上值域．
2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)当（其中，且为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当时，求满足不等式的实数的取值范围.
3．（2023秋·广东汕头·高一统考期末）已知函数（且）
(1)当时，解不等式；
(2)，，求实数的取值范围．
第六部分：新文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（ ）
A．－1.519B．－1.726C．－1.609D．－1.316
2．（2023·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
3．（2023·全国·高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
4．（2023·全国·高三专题练习）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）____________天.
5．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
第06讲 对数与对数函数 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22658" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22658 \h 2
\l "_Tc25152" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc25152 \h 3
\l "_Tc28951" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc28951 \h 6
\l "_Tc14859" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc14859 \h 6
\l "_Tc20919" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc20919 \h 8
\l "_Tc31307" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc31307 \h 9
\l "_Tc7223" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc7223 \h 12
\l "_Tc25641" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc25641 \h 13
\l "_Tc16670" ①求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc16670 \h 13
\l "_Tc4620" ②求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc4620 \h 13
\l "_Tc5453" ③根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc5453 \h 16
\l "_Tc24860" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc24860 \h 19
\l "_Tc5611" ①对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc5611 \h 19
\l "_Tc9211" ②根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc9211 \h 25
\l "_Tc21697" ③对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc21697 \h 27
\l "_Tc20536" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc20536 \h 30
\l "_Tc6252" ①对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc6252 \h 30
\l "_Tc9273" ②由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc9273 \h 32
\l "_Tc22277" ③由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc22277 \h 36
\l "_Tc29116" ④对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc29116 \h 38
\l "_Tc10036" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc10036 \h 40
\l "_Tc22817" ①求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc22817 \h 40
\l "_Tc25298" ②根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc25298 \h 42
\l "_Tc25608" ③对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc25608 \h 47
\l "_Tc20344" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc20344 \h 50
\l "_Tc8735" ①开放性试题 PAGEREF _Tc8735 \h 50
\l "_Tc1204" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc1204 \h 51
\l "_Tc16650" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc16650 \h 55
\l "_Tc17593" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc17593 \h 55
\l "_Tc8389" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc8389 \h 58
\l "_Tc25544" 第六部分：新文化题 PAGEREF _Tc25544 \h 60
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第一部分：知识点必背
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【详解】原式
，
故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2022·全国（甲卷文）高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．（2022·全国（乙卷文）高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）计算：_________．
【答案】1
【详解】．
故答案为：1．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）____________
【答案】
【详解】原式
.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）=_______
【答案】1
【详解】
.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）.=_____________
【答案】##
【详解】原式
.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）________
【答案】.
【详解】根据指数幂与对数的运算法则，可得：
.
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）=______
【答案】
【详解】原式=
=
．
故答案为：.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2023秋·重庆·高一校联考期末）设,则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解:因为在上单调递减,
所以,
因为在上单调递增,
所以,即,
即,即,
因为,所以,
即,即,
所以.
故选:D
例题2．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知，则__________.
【答案】2
【详解】由题意： ，
；
故答案为：2.
例题3．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）_________.
【答案】
【详解】.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，
所以，，
所以.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则___________．
【答案】1
【详解】因为，所以
所以.
故答案为：1
3．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）已知______．
【答案】1
【详解】由已知，，
则，，
．
故答案为：1.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数是以为底数的对数函数，则等于
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数 为对数函数，
所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，
所以．
例题2．（2023·高一课时练习）若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【详解】解：根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数，
(1)求的值；
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）函数是对数函数，
，解得，，
（2）在定义域上单调递增，
可得到，解得，
不等式的解集为．
练透核心考点
1．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点，则__________．
【答案】
【详解】设对数函数（，且），因为函数图象过点，
所以，得，
所以.
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.
【答案】
【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）已知对数函数，则______．
【答案】2
【详解】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得，所以函数定义域为.
故选 ：A.
例题2．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）函数的定义域为___．
【答案】且
【详解】要使函数函数有意义，
需满足，解得且，
故函数的定义域为且，
故答案为：且
练透核心考点
1．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）设函数的定义域A，函数的定义域为B，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于函数，有，解得，
即；
对于函数，有，解得，
即，
故选：D.
2．（2023秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】根据题意可得，，解得
即函数的定义域为.
故答案为:
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数 的值域为（ ）
A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以,
即函数的值域为[3，＋∞).
故选：C
例题2．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】．故的值域为．
故选：B．
②求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.
【答案】
【详解】因为，对于函数，则有，
所以，.
故答案为：.
例题2．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.
【答案】(1)；
(2)时；时.
【详解】（1）因为，则，所以.
（2）由题设，，
令且，故，则，
当时；此时，
当时；此时.
例题3．（2023·山东临沂·高一校考期末）设函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得
所以即解得：．
所以的解析式为：
（2）由（1）知.
设，因为，所以.
令，所以当时，，
则，故的值域为．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数的最小值是______．
【答案】－2
【详解】设，
所以，
是单调递减函数，
所以当时，函数取得最小值，最小值是.
故答案为：
2．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数．
(1)求的定义域;
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
所以,解得,
所以的定义域为．
（2）因为
,
由(1)知的定义域为,
所以,,，
因为是增函数，所以，
故的值域为．
3．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数（且）．
(1)若，求的值域；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
因为，所以的定义域为，
令，
所以，即的值域为
③根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数的值域为，
可得真数部分取到所有的正数，
即函数取到所有的正数，
所以是函数的值域的子集，
所以解得：或，
所以实数的取值范围是：.
故选：A.
例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知函数.
(1)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；
【答案】(1)
【详解】（1）记①.
由函数是减函数及函数的值域为可知.
由①知的值域为，.
例题4．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数的最小值为-6，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【详解】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
2．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】由函数的值域为及对数函数的图像和性质可得，
是值域的子集，
当即时，的值域为，显然成立；
当即时，二次函数的对称轴为，
所以由一元二次函数的图像可得，解得，.
综上，
故答案为：
3．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：因为函数的值域为，
所以，是函数的值域的子集，
所以，当时，的值域为，满足题意；
当时，要使是函数的值域的子集，则需满足，解得，
综上，的取值范围是
故答案为：
高频考点六：对数函数的图象
①对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，
又时，，A正确，B错误；
对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.
故选：A.
例题2．（2023秋·湖南益阳·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，函数定义域为，
有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.
故选：C.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】的定义域为，
因为，所以是偶函数，
当时，单调递增，
由此可判断出选A
故选：A
例题4．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知函数的图象关于直线对称，则函数图象的大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为的图象关于对称，所以，解得，则，所以的图象可由函数的图象沿轴翻折，再向右平移2个单位得到.
故选：A.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三对口高考）已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由得，，且，即，
进而得，或，．
当，时，两个函数都为增函数；
当，时，两个函数都为减函数，
故选：．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由（且，且），
可得，则，则
则，又，则与互为反函数，
则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称
故选：B
3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，函数满足，解答或，
即函数的定义域为，排除A、B，
又由，所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称的偶函数，
当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，
可排除C.
故选：D.
4．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称．
因此y＝lga|x|的图象应大致为选项B.
②根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知，，函数的图象如图，则，的取值范围分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1．
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
例题3．（2022秋·广东广州·高一广州市白云中学校考期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】AC
【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误；
由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确；
故选：AC
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图象如图所示，则满足的关系是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由图可知函数递增，所以，故，即，，即，故选D.
2．（2022·高一单元测试）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
3．（多选）（2023春·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考开学考试）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此，
故选：BD．
③对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
则，（且），
因为（且）过定点，所以的图象过定点.
故选：C
例题2．（多选）（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】在函数的解析式中，令可得，且，
则函数的图象过定点，，所以，故A错误；
由不等式，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确；
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BD.
例题3．（2023秋·四川成都·高一校考期末）已知函数（）的图像恒过定点，则点的坐标为____.
【答案】
【详解】∵，∴当时，，
∴函数的图像恒过定点
故答案为：
例题4．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为___________.
【答案】8
【详解】对于函数，令，则该函数图象过定点，
将代入，得，
故，
当且仅当且，即时取等号，
故答案为：8
练透核心考点
1．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）函数（且）的图象恒过定点______．
【答案】
【详解】解：由，
令，得，
所以函数（且）的图象恒过定点，
故答案为：
2．（2023秋·上海金山·高一统考期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为__________．
【答案】
【详解】因为的图像必过，即，
当，即时，，
从而图像必过定点.
故答案为：.
3．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数（且）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______．
【答案】
【详解】令，解得，此时，故定点坐标为．
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）已知正数，，函数（且）的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值为________.
【答案】
【详解】因为函数，恒过点，
所以，
代入直线的方程得，其中，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为:
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，解得：，故函数的定义域是，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域内是单调递减函数，
根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是.
故选：D
例题2．（2023秋·上海松江·高一校考期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数定义域为，
令，，则，
函数在定义域上为单调减函数，
函数，，在上单调递增，在上单调递减，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故选：C.
例题3．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的单调递增区间是______．
【答案】##
【详解】由，得，
则函数的定义域为，
，
令，在上递增，在上递减，
又在定义域上是增函数，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．.
【答案】C
【详解】由有：，解得或，
根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有：
函数的单调递增区间为：，故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得，解得或
即函数的定义域为
因为在上单调递减，
故的单调减区间即为的单调增区间,
故的单调减区间为.
故选：D.
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【详解】解：令，因为在定义域上单调递减，
又在区间上是减函数，
所以在上单调递增且恒大于零，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设函数，
因为在上为减函数，
所以在上为减函数，则解得，
又因为在恒成立，
所以解得，
所以a的取值范围为，
故选:B.
例题2．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．（－2，4]B．[－2，4）
C．D．
【答案】A
【详解】函数在区间上单调递减，要使得函数在区间上单调递
减，则在区间上单调递增，对称轴为，则
.
故选：A
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数，
都满足不等式，所以在区间上单调递增.
在上递减；
的开口向上，对称轴为，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
例题4．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】∵函数在R上单调递增，
∴，
即实数a的取值范围是．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中学校考期末）已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为时,恒成立,
所以,
设,
因为函数是增函数,所以要使在上是增函数,
则需函数是减函数,可得,
所以,
实数的取值范围为.
故选:A.
2．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调递减，
所以有，
故选：A
3．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】令，则在为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，
即的取值范围为．
故答案为：
4．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设函数且在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为且，所以的定义域为，
当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，
因为当时，由对勾函数可得的单调递增区间为，所以，解得；
当时，因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
因为当时，由对勾函数可得的单调递减区间为，所以，解得，与相矛盾，不符合题意.
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的定义域为（ ）
A．[0，1)B．(－∞，1)C．(1，+∞)D．[0，+∞)
【答案】A
【详解】已知，
则，解得，即函数的定义域为.
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】构造函数，
，则函数为偶函数，且该函数在上为减函数，
由可得，即，
所以，，可得，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知对数函数，且，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【详解】因为，
当时，则有，无解；当时，则有，解得：，
所以，则对数函数在上单调递增，
又关于x的不等式，所以，解得：，
所以关于x的不等式的解集为，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件.
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数是定义域为的偶函数，则，
，
函数在区间上单调递增，于是得：，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
3．（2023秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
由
，所以不等式的解集为；
④对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为且，
，
故.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
，，
又，
由于，
故，
综合可得，
故选：A
例题3．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，即.
因为，所以，所以，即.
即.
故选：D
练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由对数函数单调性可知，，可得；
又因为，即，所以，即；
而，即，所以，即，可得；
所以.
故选：A
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由于，所以，而，所以，
又 ，所以 ，因此，
故选：D
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，，，
所以.
故选：B
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．0D．6
【答案】B
【详解】由题意，所以，则，设，，
又，而，所以时，，
所以函数的最小值为．
故选：B．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的最大值为________.
【答案】##
【详解】
，
故当时，.
故答案为:.
例题3．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知函数，，求的最大值及最小值.
【答案】最小值：最大值：7.
【详解】解：令，
∵，在定义域递减，
则，
∴ ，
∴ ，
∴当时，取最小值；当t＝－1时，取最大值7.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数（）在上的最大值是（ ）．
A．0B．1C．3D．a
【答案】C
【详解】因为，
所以该函数是单调递增函数，
所以，
故选：C
2．（2023·高一课时练习）函数的最小值是______．
【答案】－2
【详解】设，
所以，
是单调递减函数，
所以当时，函数取得最小值，最小值是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）函数，的最大值为______.
【答案】-2
【详解】因为 ，则，
由于 是减函数，所以，
故答案为：-2
②根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）已知函数（0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，
因为函数在的值域为，则，即，
由，得，则有或，
当时，，有，
当时，，有，
令方程的两个根为，如图，
因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，
于是，解得或，而的最小值为，
则有或，解得或，
所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
例题2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知函数定义域为，
(1)求的取值范围；
(2)若，函数在[-2,1]上的最大值与最小值和为0，求实数的值.
【答案】(1)0≤a<1；
(2).
【详解】（1）由题设，在上恒成立，
当时，易知不等号恒成立；
当时，有，可得；
综上，.
（2）由及（1）结论，令，
∴由已知及，有，又为增函数，
∴，即，
∴或，由（1）知：，
∴.
例题3．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数，且.
(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；
(2)已知函数.若的最大值为12，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或2
【详解】（1）因为函数，且）的图象与函数的图象关于直线对称，
所以（，且），
因为点在函数的图象上，所以，解得，或（舍去）.
（2）.
令.
①当时，由，有，
二次函数的对称轴为，
最大值为，解得或（舍去）；
②当时，由，有，
二次函数的对称轴为，
可得最大值为，解得或（舍去），综上，实数的值为或2.
练透核心考点
1．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】解：因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，，
则问题转化为在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图象，
要想满足在上恒成立，只需，即，解得．
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
2．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数
若，求的单调区间；
是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.
【详解】且，
可得函数
真数为
函数定义域为
令
可得：当时，t为关于x的增函数；
当时，t为关于x的减函数．
底数为
函数的单调增区间为，单调减区间为
设存在实数a，使的最小值为0，
由于底数为，可得真数恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当时，t值为1．
因此存在实数，使的最小值为0．
3．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，或.
(1)若，解关于x的不等式：；
(2)若函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若，不等式即为，
因为函数在上为增函数，
则，解得，
故不等式的解集为.
（2），
由，解得，所以函数的定义域为.
令，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数在上为减函数，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
，即，因此，.
当时，函数在上为增函数，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
在定义域没有最小值.
综上，.
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查数形结合法及恒成立问题．由和图像知：
只需且，故实数的取值范围为 ．
例题2．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】结合函数及在上的图像易知，
只需满足条件：，且即可，
从而得到.
故答案为：
例题3．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数在区间上的最大值为2，最小值为 ．
(1)求实数，的值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）,令，设，，
∵，对称轴为，∴在上单调递增，
则 即 解得，
∴实数a的值为1，b的值为0．
（2）由，得，
令，则，，
当时，恒成立，即；
当时，，
令，则只需，
由于均为上的单调递增函数，所以，在上单调递增，
∴，∴，
综上，实数k的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为函数,且，在上恒正,
令，
所以当时，的对称轴方程为，知，
即.
当时，，满足
或或
解不等式得：，
所以实数的取值范围是.
故选：.
2．（2023·高一课时练习）若不等式（）恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意，不等式即在上恒成立，
因为在上的最小值为，
所以.
故答案为：.
3．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）已知函数，的图象过点(1，0)，且为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为为二次函数，且为偶函数，
可得，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
（2）令，
由，，则，，
不等式，即，
可得在，上恒成立，
因为函数在，上单调递增，
易得当时，，即为最大值，
故的取值范围是，.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数满足①；②在定义域内单调递增.请写出一个符合条件①②的函数的表达式______.
【答案】（答案不唯一）
【详解】取，
则，满足①；
因为所以在定义域内单调递增，满足②，
故符合条件①②的函数的表达式可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
2．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知函数满足：，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数__________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】对于函数，
，
且当时，，
所以函数满足条件，
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．
①对、，；②在其定义域内单调递增．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【详解】取，、，则，满足①，
在定义域内单调递增满足②，
故答案为：（答案不唯一，均满足）．
②劣够性试题
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）在“①函数是偶函数；②函数是奇函数.”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题.
已知函数，且___________.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选①，，选②，.
(2)答案见解析
【详解】（1）若选择①函数是偶函数.
解法一：根据题意，易得函数的定义域为.
由为偶函数，因此，
所以，
解得，经检验符合题设，
所以.
解法二：由题，在上恒成立，
则恒成立，
则有，即恒成立，
所以，.
所以.
若选择②函数是奇函数.
解法一：根据题意，易得函数的定义域为.
由为奇函数，因此，
所以，
解得，经检验符合题设，
所以.
解法二：在上恒成立，
恒成立，
即恒成立，
所以，.
所以.
（2）若选择①，函数在上单调递减.
证明：，且，有
，
由，得，
所以，
于是，
所以，
所以，
即，
所以，函数在上单调递减.
若选择②，函数在上单调递增.
证明：，且，
则
由，得，
所以，即，
于是，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）①；②且；③恒成立，且.在以上三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点，__________.
(1)求的解析式；
(2)若，求在的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选①：设，
则，
由可得，解得，
则，由可得，
；
选②：因为，所以函数的图象关于直线对称，
因为，设，
则，可得，
所以；
选③：因为且，可设，其中，
则，可得，
所以；
（2）解：当时，，
令，则，
，
，
令，则，
因为函数在上单调递增，
因此函数值域为，
所以在的值域为．
3．（2023·高一课时练习）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知函数满足______．
(1)求的值；
(2)若函数，证明：．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）选①，
因为，所以，
所以．
所以，解得；
选②，
因为，所以，
所以，所以，所以．
（2）由（1）知，，，
所以，
所以．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
联立，得，在R上单调递减，
在同一坐标系中作，，，的图象，如图，
所以，故.
故选：B.
2．（多选）（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知函数，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为8
【答案】AB
【详解】依题意函数，且，
所以，其中，
所以C选项错误.
A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
D选项，由于，所以，
则表示曲线图象上的点，
表示曲线图象上的点与点的距离的平方，
函数在区间上单调递减，
由得，即，解得，，
即直线与曲线相切，如图所示，
所以，所以D选项错误.
故选：AB
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程的解为，方程的解为，则___________．
【答案】6
【详解】由方程得，由方程得.
由于与互为反函数，图像关于对称.
如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标，
因为与图像关于对称，且与垂直，所以
两点为与的交点，且关于对称.
由解得：，则．
故答案为：6．
4．（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知函数，若存在，满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】根据题意作的图象如图所示，
若存在，满足，则与的图象有两个交点，
由图象可得，此时，，即，
所以，
故答案为：
②分类讨论的思想
1．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知函数为偶函数，且．
(1)求m的值，并确定的解析式；
(2)若（且），求在上值域．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得.
因为，所以或或.
当或时，，为奇函数，不是偶函数，不合题意，舍去；
当时，是偶函数，符合题意.
所以.
（2）由（1）知.
设，则，此时在上的值域，就是函数的值域；
当时，在区间上是增函数，所以；
当时，在区间上是减函数，所以；
所以当时，函数的值域为，当时，的值域为．
2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)当（其中，且为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当时，求满足不等式的实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析
(3)
【详解】（1）由可得或，
解得，即函数的定义域为.
（2）设，则，
∵，∴，，∴，
①当时，则在上是减函数，又，
∴时，有最小值，且最小值为；
②当时，，则在上是增函数，又，
∴时，无最小值.
（3）由于的定义域为，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，
即有，解得，
所以x的取值范围是.
3．（2023秋·广东汕头·高一统考期末）已知函数（且）
(1)当时，解不等式；
(2)，，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：时，，
由，解得，即函数定义域为，
因为，即，所以，
即，解得或，
又，
所以不等式的解集为．
（2）解：因为，，即成立，
又，
函数在上为增函数，
①若，则在单调递减，
所以，即，
所以，，即，解得或，
又，所以．
②若，则在单调递增，
所以，，即，
所以，，即，解得，
又，所以．
综上，a的取值范围为．
第六部分：新文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（ ）
A．－1.519B．－1.726C．－1.609D．－1.316
【答案】C
【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，
所以，
所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【答案】D
【详解】因此存款金额用十进制计算，故，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
，
故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，
存款金额的首位数字是7的概率为，
因为，故，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，
存款金额的首位数字是9的概率为，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为，
故D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
【答案】C
【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）____________天.
【答案】24.8##
【详解】解：，，，，解得：．
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天．
故答案为：．
5．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
【答案】6
【详解】设为第n次操作去掉的区间长度和，，第1次操作后剩下两个长度为的闭区间，
则第2次操作去掉的区间长度和，第2次操作后剩下4个长度为的闭区间，
则第3次操作去掉的区间长度和，如此下去，
第次操作后剩下个长度为的闭区间，则第n次操作去掉的区间长度和，
显然，数列是等比数列，首项，公式，其前n项和，
由得：，，而，则，
所以需要操作的次数n的最小值为6.
故答案为：6
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数