高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第4练一元二次不等式及其解法(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第4练一元二次不等式及其解法(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修一P55习题2.3T1（3）变式）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D.
2.（人A必修一P55习题2.3T1（2）变式）不等式的解集（ ）
A． B． C． D.
3. （人A必修一P55习题2.3T2变式）函数的定义域为 .
4. （人A必修一P55习题2.3T3变式）已知集合,若,则的取值范围是 .
二、考点分类练
(一)一元二次不等式的解法
5．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022届四川省攀枝花市高三第三次统考）设集合,,若,则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
7．（多选）（2022届辽宁省丹东市高三质量测试）如果关于的不等式的解集为,那么下列数值中,可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
8.已知,且,若恒成立,则的取值范围是__________.
9.解关于的不等式：.
(二)不等式恒成立问题
10．若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
11．（2022届重庆市南开中学高三下学期模拟）已知命题：“”为真命题,则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数的定义域为R,则的最大值是___________.
14．若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为____________．
三、最新模拟练
15．（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
16．（2022届新疆阿勒泰高三第三次联考）“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
17．（多选）（2022届重庆市巴蜀中学高三适应性月考）已知两个变量x,y的关系式,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意实数a,都有成立
C．若对任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是
D．若对任意正实数a,不等式恒成立,则实数x的取值范围是
18.（2022浙江省“山水联盟”高三上学期考试）若对恒成立,则实数的取值范围为______.
19．设二次函数（为实常数）的导函数为,若对任意不等式恒成立,则的最大值为__________.
20.（2022届上海市七宝中学高三下学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,若对一切恒成立,则实数的最大值为___________.
四、高考真题练
21.（2021新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
22．(2020全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
23．(2019全国卷Ⅰ)已知集合,,则( )
24．(2019全国卷Ⅱ)设集合,,则( )
A．B．C．D．
五、综合提升练
25．（2022届四川省攀枝花市高三第二次统考）已知函数,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
26．已知关于的不等式组仅有一个整数解,则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27. 已知,若关于x的不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)在区间[a－1,a＋1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
28. 存在实数,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________．
29．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为,求的取值范围；
（2）当时,解不等式；
（3）若不等式的解集为,若,求的取值范围．
30．设等比数列的公比为q,前n项和.
（1）求q的取值范围；
（2）设,记的前n项和为,试证明,并比较和的大小.A．
B．
C．
D．
第4练 一元二次不等式及其解法
一、课本变式练
1.（人A必修一P55习题2.3T1（3）变式）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D.
【答案】A
【解析】或,故选A.
2.（人A必修一P55习题2.3T1（2）变式）不等式的解集（ ）
A． B． C． D.
【答案】C
【解析】或或,故选C.
3. （人A必修一P55习题2.3T2变式）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数有意义,则,即,解得,所以的定义域为.
4. （人A必修一P55习题2.3T3变式）已知集合,若,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】,若,则,所以的取值范围是.
二、考点分类练
(一)一元二次不等式的解法
5．（2022届江西省南昌市高三第二次模拟）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵,,∴．
故选．
6．（2022届四川省攀枝花市高三第三次统考）设集合,,若,则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】或,因为,故可得,即实数的取值范围是.
故选D.
7．（多选）（2022届辽宁省丹东市高三质量测试）如果关于的不等式的解集为,那么下列数值中,可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【解析】由题设知,对应的,即,故,
所以数值中,可取到的数为1,2.故选.
8.已知,且,若恒成立,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵,且,∴,
∴,当且仅当,即时取等号,
又∵,则等号取不到,∴,∵恒成立,∴只需,∴.
所以的取值范围是
9.解关于的不等式：.
【答案】答案不唯一,见解析
【解析】当时,不等式即,解得.
当时,对于方程,
令,解得或；
令,解得或；
令,解得或,方程的两根为.
综上可得,当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
(二)不等式恒成立问题
10．若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】当时,,不符合题意,所以舍去；
当时,由题得且,所以.综上：.故选C
11．（2022届重庆市南开中学高三下学期模拟）已知命题：“”为真命题,则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】命题p：“,”,即,设,对勾函数在时取得最小值为4,在时取得最大值为,故,故选B．
12．不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令,对一切均大于0恒成立,
所以 ,或,
或,解得或,,或,
综上,实数的取值范围是,或.故选A.
13．已知函数的定义域为R,则的最大值是___________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为R,所以,恒成立,
所以,即,所以,
令,则,当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值是
14．若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由题意知：,即对任意的恒成立,
当,得： ,即对任意的恒成立,即对任意的恒成立,令,在上单减,所以,所以,.
三、最新模拟练
15．（2022届河北省秦皇岛市高三二模）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,,所以,故选B.
16．（2022届新疆阿勒泰高三第三次联考）“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“使成立”为假命题,则“使成立”为真命题,当时成立,当,则,,∴,综合得,则“”是的充分不必要条件.故选B.
17．（多选）（2022届重庆市巴蜀中学高三适应性月考）已知两个变量x,y的关系式,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．对任意实数a,都有成立
C．若对任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是
D．若对任意正实数a,不等式恒成立,则实数x的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于选项A,,,即,则A选项错误；
对于选项B,,则B选项正确；
对于选项C, 恒成立,
即 恒成立,则,解得,即实数a的取值范围是,则C选项正确；对于选项D, 恒成立,令,当时,该函数看成关于的一次函数,函数单调递减,不可能恒大于0,当时,成立,当时,该函数看成关于的一次函数,函数单调递增,当时,,则实数的取值范围是,则D选项错误；故选.
18.（2022浙江省“山水联盟”高三上学期考试）若对恒成立,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为对恒成立,
当时,或恒成立,
因此；
当时,恒成立,
因此；
综上：
19．设二次函数（为实常数）的导函数为,若对任意不等式恒成立,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】∵,
∴,
∵对任意,不等式恒成立,
∴恒成立,
即恒成立,
故,且,
即,
∴,
∴,
∴,可令,即,
当时,,；
当时,
,
当且仅当时,取得最大值.
20.（2022届上海市七宝中学高三下学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,若对一切恒成立,则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为,故的图象关于中心对称,当时,,故的图象如图所示：
结合图象可得：只需当时,即可,即,故
四、高考真题练
21.（2021新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【解析】(1)由等差数列的性质可得：,则：,
设等差数列的公差为,从而有：,
,
从而：,由于公差不为零,故：,
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：,则：,
则不等式即：,整理可得：,
解得：或,又为正整数,故的最小值为.
22．(2020全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a=( )
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：,求解一次不等式可得：．由于,故,解得．故选B．
23．(2019全国卷Ⅰ)已知集合,,则( )
【答案】C
【解析】．
24．(2019全国卷Ⅱ)设集合,,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】或,,
故,故选A．
五、综合提升练
25．（2022届四川省攀枝花市高三第二次统考）已知函数,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时,由恒成立,二次函数的对称轴为,
（1）当时,在上单调递减,则恒成立,
（2）当时,,所以
综上可知,当时,在上恒成立；
当时,恒成立,即在上恒成立,
令,则,
当时,,函数单增,又,所以；
综上可知,的取值范围是,故选D
26．已知关于的不等式组仅有一个整数解,则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解不等式,得或,解方程,得,
（1）当,即时,不等式的解为：,此时不等式组的解集为,若不等式组的解集中仅有一个整数,则,即；
（2）当,即时,不等式的解为：,此时不等式组的解集为,若不等式组的解集中仅有一个整数,则,即；
综上,可知的取值范围为,故选B
27. 已知,若关于x的不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)在区间[a－1,a＋1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】在上单调递增,在上单调递增,
,所以,在上单调递增,
因为不等式f(x＋a)＞f(2a－x2)在区间[a－1,a＋1]上恒成立,所以,
在区间[a－1,a＋1]上恒成立,当时,,
,,,当时,
,,,,当时,
,,或,,综上：或
28. 存在实数,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为,所以,或,
即或,当时,则时,,即此时不等式不成立,当时,设为满足较小的根,则时,满足,即此时不等式恒成立
当时,即
因此,故答案为
29．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为,求的取值范围；
（2）当时,解不等式；
（3）若不等式的解集为,若,求的取值范围．
【解析】（1）①时,,不合题意,舍去；
②时,
.
综上：.
（2）即,所以,
①时,解集为：；
②时,,
因为,所以解集为：；
③时,,
因为,所以解集为：.
（3）因为不等式的解集为,且,
即对任意的,不等式恒成立,
即恒成立,因为,
所以,设,
所以,
当且仅当时取“=”.
所以的最大值为：,
所以.
30．设等比数列的公比为q,前n项和.
（1）求q的取值范围；
（2）设,记的前n项和为,试证明,并比较和的大小.
【解析】（1）因为是等比数列,,可得.
当时,,
当时,,即
等价于不等式组：① 或②
解①式得；解②式,由于n可为奇数,可为偶数,得
综上,的取值范围是.
（2）由得
,.
于是.
又因为,且或,
所以,当或时,,即；
当或时,,即；
当,或时,,即.
A．
B．
C．
D．