高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第5练基本不等式(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第5练基本不等式(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修一P48习题2.2T1（1）变式）已知,则函数的最小值为（ ）
A． B．2 C． D.4
2.（人A必修一P48习题2.2T1（2）变式）已知,则 取得最大值时（ ）
A． B． C． D.
3. （人A必修一P48习题2.2T5变式）,则的最小值为 .
4. （人A必修一P57复习参考题2T5变式）若,且,则 最小值为 .
二、考点分类练
(一)利用基本不等式求最值
5．（2022届安徽省“皖东县中联盟”高三期末联考）已知,,,则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6. (2022届天津市红桥区高三下学期一模)设,,若,则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．18
7.（2022届天津市南开区高三下学期一模）若,,,,则的最小值为______．
(二)利用基本不等式判断不等关系
8．（2022届宁夏银川高三二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9.（2022届四川省攀枝花市高三5月统考）已知函数,若不相等的实数,,成等比数列,,,,则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
10. （2022届江苏省泰州市靖江市高三调研）十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,则下面结论正确的有（ ）
A．若,则
B．
C．若,则有最大值
D．若,则
(三)利用基本不等式求参数范围
11．（2022届山西省吕梁市高三核心模拟）“,使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
12.（2022届上海市复兴高级中学高三4月自我定位检测） 已知,,,,.若a,b,c构成三角形的三边,则m的取值范围是_______.
(四)基本不等式在其他知识中的应用
13．（2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期月考）已知,为平面的单位向量,且其夹角为,若,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14. 已知点P为抛物线上一动点,,,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
三、最新模拟练
15．（2022届安徽省宣城市高三下学期第二次调研）已知正实数a,b满足,则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
16．（2022届湖北省十堰市高三4月月考）函数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
17．（2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）已知,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022届广西南宁市高三第二次适应性测试）已知,,命题,命题,则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
19．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第三次模拟）已知x,y都是正数,且,则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（多选）（2022届广东省韶关市高三综合测试）已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数是上的奇函数,且,若非零正实数满足,则的小值是_______．
22．（2022届广东省潮州市高三下学期二模）设函数,点在图象上,点为坐标原点,设向量,若向量,且是与的夹角,则的最大值是______．
23．（2022届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试）已知x、,且,给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
四、高考真题练
24. （2021新高考Ⅰ卷）已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
25． （2020新高考山东卷）11.已知a>0,b>0,且a+b=1,则（ ）
A. B.
C. D.
五、综合提升练
26.（2022届新疆高三第二次适应性检测） 实数,,分别满足,,,则,,的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
27.（上海市七宝中学高三下学期期中）设为中边上的中线,且.若,则的最大值为_________
28. （2022届江西省八所重点中学高三4月联考）已知正数满足,则的取值范围是___________.
29. （2022届内蒙古赤峰市高三模拟）已知为非直角三角形,.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
30．（2022届山东省德州市高三12月月考）椭圆的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,直线的斜率为,的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M,N（异于椭圆顶点,且MN与x轴不垂直）,证明：当的面积最大时,直线与的斜率之积为定值．
第5练 基本不等式
一、课本变式练
1.（人A必修一P48习题2.2T1（1）变式）已知,则函数的最小值为（ ）
A． B．2 C． D.4
【答案】D
【解析】当时,当时取等号,故选D.
2.（人A必修一P48习题2.2T1（2）变式）已知,则 取得最大值时（ ）
A． B． C． D.
【答案】A
【解析】=,当,即时取等号,故选A.
3. （人A必修一P48习题2.2T5变式）,则的最小值为 .
【答案】
【解析】,当时取等号.
4. （人A必修一P57复习参考题2T5变式）若,且,则 最小值为 .
【答案】6
【解析】因为,所以,所以,当时取等号.
二、考点分类练
(一)利用基本不等式求最值
5．（2022届安徽省“皖东县中联盟”高三期末联考）已知,,,则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,,,则,
当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选D.
6. (2022届天津市红桥区高三下学期一模)设,,若,则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．18
【答案】B
【解析】,,且,且,
,
当且仅当,即且时取等号,故的最小值为9；故选B
7.（2022届天津市南开区高三下学期一模）若,,,,则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意,,,,得：,
设 ,则 ,
故
,
当且仅当 ,即 时取得等号,
故的最小值为
(二)利用基本不等式判断不等关系
8．（2022届宁夏银川高三二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项,当时,不等式显然不成立,故错误；对于B选项,成立的条件为,故错误；对于C选项,当时,不等式显然不成立,故错误；对于D选项,由于,故,正确.故选D
9.（2022届四川省攀枝花市高三5月统考）已知函数,若不相等的实数,,成等比数列,,,,则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,均为偶函数,故函数为偶函数,
,令,,
,,,故单调递增,即单调递增,
又,∴在恒成立,故在函数递增,且,
故函数在递减,在递增,且函数恒成立,,,成等比数列,
当,均为正数时,由均值不等式有：,①,
当,均为负数时,由均值不等式有：,②,
由①②有：,又,,互不相等,故,故,
,故选D．
10. （2022届江苏省泰州市靖江市高三调研）十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,则下面结论正确的有（ ）
A．若,则
B．
C．若,则有最大值
D．若,则
【答案】AC
【解析】因为,,若,则,当且仅当且,即,时取等号,A正确；
因为,即,当且仅当时取等号,
所以,B错误；若,则,当且仅当时取等号,C正确；
若,则,解得,所以,D错误.故选AC.
(三)利用基本不等式求参数范围
11．（2022届山西省吕梁市高三核心模拟）“,使得成立”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,,等价于,
又,当且仅当时等号成立,
即,故．故选A．
12.（2022届上海市复兴高级中学高三4月自我定位检测） 已知,,,,.若a,b,c构成三角形的三边,则m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】若a,b,c为三边可构成三角形,则,且成立,即,且成立,即成立,而,令,则,令,
则,易知在上递减,
所以,所以,
又成立,而,
当且仅当时,等号成立,所以；所以.
(四)基本不等式在其他知识中的应用
13．（2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期月考）已知,为平面的单位向量,且其夹角为,若,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在等式两边平方得,,
所以,得,当时,满足题意,
故选B
14. 已知点P为抛物线上一动点,,,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据抛物线的对称性,不妨设,若,则,,,所以；若,则,,,所以；若且,此时且,
,所以,
因为,所以,则,当且仅当时取“=”,
而,所以.综上：的最大值为.故选B.
三、最新模拟练
15．（2022届安徽省宣城市高三下学期第二次调研）已知正实数a,b满足,则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【解析】设,则,故,其中,
,
由,
当且仅当,时等号成立,
此时,满足,
故的最小值为,故选D.
16．（2022届湖北省十堰市高三4月月考）函数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为,当且仅当,即时等号成立,
,当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为4.故选A
17．（2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）已知,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵,
（当且仅当时等号成立）,故选A.
18．（2022届广西南宁市高三第二次适应性测试）已知,,命题,命题,则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,,由,得,则,
当且仅当,即,时取等号,因此；
因为,,由,可取,,
则,,此时,因此,
所以p是q的充分不必要条件．故选A．
19．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第三次模拟）已知x,y都是正数,且,则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】x,y都是正数,由基本不等式,,,,这三个不等式都是当且仅当时等号成立,而题中,因此等号都取不到,所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号,如即可取等号,D中不等式不恒成立．故选D．
20．（多选）（2022届广东省韶关市高三综合测试）已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】由题可知,,又,所以 ,D错误；因为,有．所以A正确；由基本不等式得,所以,当且仅当时,取等号；又因为,,所以,故,B正确；由于,,所以,C正确.故选ABC．
21．（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数是上的奇函数,且,若非零正实数满足,则的小值是_______．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,可得,
由,可得,
又因为,可得,所以函数为单调递增函数,
所以,即,即,
则,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的小值是.
22．（2022届广东省潮州市高三下学期二模）设函数,点在图象上,点为坐标原点,设向量,若向量,且是与的夹角,则的最大值是______．
【答案】
【解析】由向量的线性运算,得,
因为点在函数的图象上,
为坐标原点,向量,是与的夹角,
所以,
（当且仅当,即时取等号）,即的最大值是．
23．（2022届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试）已知x、,且,给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】对于①,∵,
∴由得,,
即,解得(当且仅当时取等号),故①一定成立；
对于②,当3时,成立,但不成立,故②不一定成立；
对于③,当时,由得,
则,即,故③不一定成立；
④将两边平方得,
∴,
由①可知：
,
∴,当且仅当时取等号,因此④一定成立﹒故答案为①④﹒
四、高考真题练
24. （2021新高考Ⅰ卷）已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】,是椭圆的两个焦点,点在上,,
所以,当且仅当时,取等号,
所以的最大值为9．故选．
25． （2020新高考山东卷）11.已知a>0,b>0,且a+b=1,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A,,
当且仅当时,等号成立,故A正确；
对于B,,所以,故B正确；
对于C,,
当且仅当时,等号成立,故C不正确；
对于D,因为,
所以,当且仅当时,等号成立,故D正确；故选ABD
五、综合提升练
26.（2022届新疆高三第二次适应性检测） 实数,,分别满足,,,则,,的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得,,,则
,
因为,
所以,
所以,
设,则,当时,,所以在上单调递减,所以,即,所以,
所以,所以,所以,所以,
因为,所以,所以,故选B
27.（上海市七宝中学高三下学期期中）设为中边上的中线,且.若,则的最大值为_________
【答案】
【解析】①
为中点,为中点(由得到)
代入①式
得
又
代入得
由余弦定理得
由结合基本不等式得
所以
当且仅当取等
,最大值为
28. （2022届江西省八所重点中学高三4月联考）已知正数满足,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由可得：,因为,以及,
可得,故
,
令,则,
又在单调递增,
故可得,于是.
29. （2022届内蒙古赤峰市高三模拟）已知为非直角三角形,.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
【解析】 (1)∵,,
∴,∴,
∴.
又∵为非直角三角形,
∴.
(2)由,,得
及正弦、余弦定理,得
∴,即,
∴.
当且仅当时等号成立.∴的最小值为.
30．（2022届山东省德州市高三12月月考）椭圆的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,直线的斜率为,的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M,N（异于椭圆顶点,且MN与x轴不垂直）,证明：当的面积最大时,直线与的斜率之积为定值．
【解析】（1）椭圆的右顶点,上顶点,
由题知,解得
所以椭圆的标准方程为
（2）由已知MN与x轴不垂直,可知直线的斜率存在,
设直线方程为,设,,
联立,整理得：
其中,即
且,
又原点O到直线的距离
所以
,当且仅当,即时,等号成立,
所以
又,可得
所以当的面积最大时,直线与的斜率之积为定值．