高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第24练平面向量的数量积及应用(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第24练平面向量的数量积及应用(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修二P22习题6.2T18变式）已知，，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2.（人A必修二P22习题6.2T11变式）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
3. （人A必修二P59复习参考题6T8变式）已知，，，且，则______．
4. （人A必修二P59复习参考题6T19变式）已知向量的夹角为60°，，则________.
二、考点分类练
(一)求向量的数量积
5.（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．－1B．C．－2D．1
6.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
7.（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
(二)求向量的模
8．（2022届青海省海东市第一中学高考模拟（二））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
9.（2022届上海市虹口区高三二模）已知向量，满足，，，则_________.
(三)求向量的夹角
10.已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022届甘肃省高台县第一中学高三下学期检测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
(四)数量积中的最值与范围问题
12.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022届浙江省长兴、余杭、缙云三校高三下学期5月联考）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
三、最新模拟练
14.（2022届江苏省苏州大学高三下学期5月高考前指导）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
15.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆的直径，P为圆上的点，则（ ）
A．4B．C．8D．
16.（2022届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期高考前热）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
17.（多选）（2022届湖北省荆州中学等四校高三下学期四模）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
18．（2022届上海市金山区高三一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
19.（多选）（2022届河北省沧州市沧县中学高三上学期11月月考）关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A．若，则
B．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．对于非零向量，，则
D．单位向量和，满足，则与的夹角为
20.（2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷）已知向量满足，则_________．
21.（2022届上海市普陀区高考二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
四、高考真题练
22. （2022新高考全国卷2）已知向量,若,则
A. B. C. 5D. 6
23．(2020高考全国卷丙)已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
24．(2019高考全国卷甲)已知，，，则( )
A．B．C．D．
25. （2022高考全国卷甲）设向量的夹角的余弦值为,且,则=_____．
26．(2020高考全国卷乙年)设为单位向量，且，则______________．
五、综合提升练
27．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2B．3C．D．
28.（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
29.（2022届浙江省绍兴一中高三下学期5月适应性考试）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．
30.已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.
第24练 平面向量的数量积及应用
一、课本变式练
1.（人A必修二P22习题6.2T18变式）已知，，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设与的夹角为，因为，且，所以，即，解得，又，所以．故选B
2.（人A必修二P22习题6.2T11变式）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为，，且与的夹角为，所以，
，故选C
3. （人A必修二P59复习参考题6T8变式）已知，，，且，则______．
【答案】
【解析】由题意，又，则，故．
4. （人A必修二P59复习参考题6T19变式）已知向量的夹角为60°，，则________.
【答案】
【解析】因为的夹角为60°，，所以，
则.
二、考点分类练
(一)求向量的数量积
5.（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．－1B．C．－2D．1
【答案】A
【解析】，故选A
6.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，故选B
7.（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
【答案】BCD
【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．故选BCD.
(二)求向量的模
8．（2022届青海省海东市第一中学高考模拟（二））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
【答案】A
【解析】两非零向量，满足，且，可得，.故选A
9.（2022届上海市虹口区高三二模）已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
(三)求向量的夹角
10.已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，故选A.
11．（2022届甘肃省高台县第一中学高三下学期检测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
【答案】
【解析】因为，所以.因为，所以，所以.设与夹角为，所以.因为，所以.
(四)数量积中的最值与范围问题
12.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选D
13．（2022届浙江省长兴、余杭、缙云三校高三下学期5月联考）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】设，由，根据三角不等式，有
，
得，
故
.
三、最新模拟练
14.（2022届江苏省苏州大学高三下学期5月高考前指导）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得：，,
因为，分别为，的中点，所以，，
所以，又，即，解得.
故选D.
15.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆的直径，P为圆上的点，则（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】设圆柱的高为，底面半径为
若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，
则：，
因为AB为圆的直径，P为圆上的点，所以在中，为AB中点
又在中，，且，则
如图：为圆柱的一个轴截面
所以
故选C.
16.（2022届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期高考前热）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选D．
17.（多选）（2022届湖北省荆州中学等四校高三下学期四模）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．与共线的单位向量只有一个为
D．向量与夹角的余弦值范围是
【答案】AB
【解析】对于A选项：若，则，
，．故A正确；
对于B：若，则，即，
所以，即，由A可知，，因为，所以，故B正确；
对于C选项：与共线的单位向量为，故为或，故C选项错误；
对于D选项：设向量与夹角为，则，
因为，所以，所以，故，故D错误；
故选AB．
18．（2022届上海市金山区高三一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选C
19.（多选）（2022届河北省沧州市沧县中学高三上学期11月月考）关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A．若，则
B．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．对于非零向量，，则
D．单位向量和，满足，则与的夹角为
【答案】CD
【解析】当，且时，与可以不相等，故A错误；
因为，，与的夹角为锐角，
所以且与不同向，
由，得，即，
当与同向时，存在正数，使得，因为、不共线，所以，所以当与不同向时，，所以的取值范围为，故B错误；
又对于非零向量，，∵，故C正确；
当时，有，得，
得，因为，所以，即与的夹角为.故D正确；
故选CD．
20.（2022届安徽省合肥市第八中学高三下学期最后一卷）已知向量满足，则_________．
【答案】3
【解析】由，得，两边平方，得，
因为，所以，得.
21.（2022届上海市普陀区高考二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
设,则,作交OC的延长线于点
由余弦定理
所以,即
,因为,所以
所以
所以
四、高考真题练
22. （2022新高考全国卷2）已知向量,若,则
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】因为,所以,所以由得,即 ,解得,故选C
23．(2020高考全国卷丙)已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．故选D．
24．(2019高考全国卷甲)已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，则．
25. （2022高考全国卷甲）设向量的夹角的余弦值为,且,则=_____．
【答案】
【解析】设向量的夹角为,则,又,所以=,所以=.
26．(2020高考全国卷乙年)设为单位向量，且，则______________．
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：，所以
五、综合提升练
27．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2B．3C．D．
【答案】B
【解析】是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是,故选B
28.（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；
C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.
故选ACD
29.（2022届浙江省绍兴一中高三下学期5月适应性考试）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】当且时，；
当且、时，则，当且仅当时等号成立；
同理且、或且、时，的最小值也为；
当时，则，
由，设，则，
所以，当时等号成立.
综上，的最小值为．
30.已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.
【答案】
【解析】设，，满足，
即满足①，都存在，使得恒成立，
即存在，使得②，
由①②可知：存在，使得成立
即，即，
化简得：③，
即③式恒成立，则必须满足，解得：，即，
所以的最大值为.