高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第27练等差数列(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第27练等差数列(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了课本变式练，三数之，剩二；五，考点分类练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P24习题4.2T1变式）设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
2.（人A选择性必修二P24习题4.2T2变式）已知等差数列满足，，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修二P24习题4.2T8变式）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．
4. （人A选择性必修二P24习题4.2T7变式）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
二、考点分类练
(一)等差数列基本量的计算
5. （2022届黑龙江省哈尔滨市三中高三模拟）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
6. （多选）（2022届重庆市高三下学期3月考试）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864人派谴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
7. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
(二)等差数列的证明
8．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
9. （2022届四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高考适应性考试）已知首项为2的数列满足，记.
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前10项和.
(三)等差数列前n和的最值
10. 设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
11. （2022届辽宁省渤海大学附属高级中学高三考前测试）若函数，其中n是正整数，则的最小值是______．
(四)等差数列的性质
12.（2022届吉林省东北师范大学附属中学高三练习） 数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
13. （2023届广西柳州市新高三摸底）记等差数列的前n项和为，若，则___．
三、最新模拟练
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期五月模拟）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
15. （2022届江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16. （2022届浙江省绍兴市新昌中学高三下学期5月适应性考试）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17. （多选）（2022届河北省辛集市高三下学期3月质量检测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．当且仅当时，取最小值D．
18. （多选）（2022届湖北省华中师大一附中高三考前测试）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
19. （2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真）已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
20. （2022届湖北省武汉市第二中学高三下学期5月全仿真模拟）已知数列满足，且，，.
(1)求实数，使得数列为等差数列；
(2)在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围
21. （2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）已知数列的前项和为，，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是___________和___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
四、高考真题练
22. (2020高考全国卷甲)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形
石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比
上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层
共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
23. (2019高考全国卷乙)记为等差数列的前项和．已知，，则( )
24. (2019高考全国卷丙)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
25. （2020新高考全国卷1）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
26. （2022高考全国卷甲）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列,求的最小值．
五、综合提升练
27. （2022届重庆市第一中学校高三下学期5月月考）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个B．1009个C．1010个D．1011个
28. （多选）（2022届福建省南平市高三质量检测）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A．B．C．D．
29. （2022届浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.
30. （2022届上海市闵行区高考二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.A．
B．
C．
D．
第27练 等差数列
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P24习题4.2T1变式）设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由已知可得， ，解可得，
，故选C.
2.（人A选择性必修二P24习题4.2T2变式）已知等差数列满足，，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等差数列公差为，，，，解得：，，解得：，
的前项的和为.故选C.
3. （人A选择性必修二P24习题4.2T8变式）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．
【答案】1007
【解析】由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，所以，
当时，，当时，，所以，
数列共有135项，因此中位数为第68项，.
4. （人A选择性必修二P24习题4.2T7变式）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【解析】 (1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
二、考点分类练
(一)等差数列基本量的计算
5. （2022届黑龙江省哈尔滨市三中高三模拟）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
【答案】B
【解析】由题意知，，得，解得，所以.故选B
6. （多选）（2022届重庆市高三下学期3月考试）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864人派谴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
【答案】ACD
【解析】记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，即，是以192为首项，21为公差的等差数列，即，所以，B不正确.设第k天派遣完这1864人，则，解得（负值舍去），A正确；官府前6天共发放升大米，C正确，官府前6天比后6天少发放升大米，D正确.故选ACD
7. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
(二)等差数列的证明
8．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】 (1)因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
9. （2022届四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高考适应性考试）已知首项为2的数列满足，记.
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前10项和.
【解析】 (1)，
，即
故是首项为2，公差为2的等差数列，
.
(2)知，
，
故.
(三)等差数列前n和的最值
10. 设为等差数列的前n项和，且满足，.则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【解析】设公差为d，由于，即，即， 即，由于，所以，从而可得，所以当取得最小值时，n的值为6，故选B
11. （2022届辽宁省渤海大学附属高级中学高三考前测试）若函数，其中n是正整数，则的最小值是______．
【答案】100
【解析】易知，要使取得最小值，正整数n必然在区间上，
则
∵，∴或时有最小值100．
(四)等差数列的性质
12.（2022届吉林省东北师范大学附属中学高三练习） 数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，则，故数列为递增数列，
因为，，
且当时，，所以，当时，，
所以，满足当时，的最大值为.故选C.
13. （2023届广西柳州市新高三摸底）记等差数列的前n项和为，若，则___．
【答案】33
【解析】等差数列中，，由得，则公差，
首项，所以.
三、最新模拟练
14. （2022届湖北省武汉市高三下学期五月模拟）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，，故，又，故，
则，故.故选C.
15. （2022届江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，则，因为，可得，则，设等差数列的公差为，则，由题意可得，可得.即的取值范围是.故选C.
16. （2022届浙江省绍兴市新昌中学高三下学期5月适应性考试）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，则得，即，
令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得
即，所以，即
因此当或11时，的最小值为.故选C
17. （多选）（2022届河北省辛集市高三下学期3月质量检测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．当且仅当时，取最小值D．
【答案】AB
【解析】设数列的公差为d，由，，得 解得，，
所以，，则，，A，B正确；
令，得，且，则或时，取最小值，C不正确；因为，所以，D不正确．故选AB
18. （多选）（2022届湖北省华中师大一附中高三考前测试）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；对于C, 由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.故选ACD.
19. （2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真）已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【答案】330
【解析】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，
20. （2022届湖北省武汉市第二中学高三下学期5月全仿真模拟）已知数列满足，且，，.
(1)求实数，使得数列为等差数列；
(2)在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围
【解析】 (1)若存在实数,使得数列为等差数列,则必是与无关的常数
又
所以,经检验,符合题意
所以
(2)由（1）知数列是等差数列,其首项为2,公差为1,则
所以
所以
又递增所以
所以
21. （2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）已知数列的前项和为，，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是___________和___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
【解析】 (1)选①②时：
解法1：由
可知数列是以公差的等差数列，
又得，
得，
故，即
解法2： 由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
则，
即
选②③时：
由可知数列是以公差的等差数列，
由可知，即
得，
故，即
选①③这两个条件无法确定数列.
(2)
所以
四、高考真题练
22. (2020高考全国卷甲)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形
石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比
上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层
共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，
即
即，解得，所以．故选C
23. (2019高考全国卷乙)记为等差数列的前项和．已知，，则( )
【答案】A
【解析】，
所以，故选A．
24. (2019高考全国卷丙)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，所以．
25. （2020新高考全国卷1）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）∵,∴,∴,
又∵是公差为的等差数列,
∴,∴,
∴,
∴,
整理得,所以,
即,
所以数列是常数数列,所以,
∴的通项公式.
（2）
∴.
26. （2022高考全国卷甲）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列,求的最小值．
【解析】（1）因为,即①,
当时,②,
①②得,,
即,
即,所以,且,
所以是公差的等差数列．
（2）由（1）可得,,,
又,,成等比数列,所以,
即,解得,
所以,
所以,
所以,当或时取得最小值．
五、综合提升练
27. （2022届重庆市第一中学校高三下学期5月月考）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个B．1009个C．1010个D．1011个
【答案】C
【解析】由题意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程无实数解，则，
显然第1011个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是a1=a2021.
所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，
……，和至多一个成立，且，
综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个，故选C
28. （多选）（2022届福建省南平市高三质量检测）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.故选ABD
29. （2022届浙江省宁波市北仑中学高三上学期考试）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________.
【答案】
【解析】
又，即
数列是首项为，公差为的等差数列，①，
又分别构成等差数列，根据①式可得
②，
③，
④，
由②+③，得，
又是等差数列，所以必为常数，
所以，
或，
由①得，即，
，，又，
，即或(舍去)，
，
是首项为1，公差为的等差数列，，
同理，由③+④得，，
所以或，
，，，
即或(舍去)，
，
是首项为a，公差为的等差数列，，
从而，
所以.
30. （2022届上海市闵行区高考二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)由题意得：，解得：，
由，解得：，
所以；
(2)假设存在，使对任意恒成立，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时，，
所以且，因此符合题意得不存在，证毕.A．
B．
C．
D．