高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第32练直线、平面平行的判断与性质(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第32练直线、平面平行的判断与性质(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P143习题8.5T1（2）变式）．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
2.（人A选择性必修二P143习题8.5T12变式）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能
3. （人A选择性必修二P143习题8.5T13变式）如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
4. （人A选择性必修二P143习题8.5T5变式）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
求证：AF平面BDE；
二、考点分类练
(一)线性平行
5. （2022届云南师范大学附属中学高三适应性月考）若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，
D．，，
6. 正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是______．
7. 如图，直三棱柱中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
(二)线面平行
8．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
9. 已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
10. （2022届四川省名校联盟高三下学期联考）如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点.
(1)证明：平面MEF；
(2)若平面PDE⊥平面BCED，求四棱锥P－BCED的体积.
(三)面面平行
11. 以下条件能够判断平面与平面平行的是（ ）
A．平面内有两条直线与平面平行
B．两不同平面，平行于同一个平面
C．平面内的任意一条直线与平面无公共点
D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等
12. （2022届湖南师范大学附中高三下学期5月三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.
13. （2022届四川省大数据精准教学联盟高三下学期第二次统一监测）如图，在直棱柱中，点D，E，F分别为的中点，线段与线段交于点G．
(1)求证：平面∥平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
三、最新模拟练
14.（2022届浙江省嘉兴市海宁中学高三下学期押题卷） 已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15. （2022届广东省广州市天河区高三综合测试）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面
B．直线与直线异面
C．直线平面
D．直线平面
16. （多选）（2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
17. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
18. （2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
19. （2022届河南省洛阳市新安县高三考前模拟）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________．
20. （2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
21. （2022届江苏省泰州市高三下学期第四次调研测试）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．
(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．
22. （2022届安徽省卓越县中联盟高三下学期第二次联考）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点
(1)求证：平面平面；
(2)求点C到平面的距离.
四、高考真题练
23. （2022高考全国卷乙）在正方体中,E,F分别为的中点,则（）
A. 平面平面B. 平面平面
C. 平面平面D. 平面平面
24. (2019高考全国卷甲)设、为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面
25. (2019年高考全国卷乙)如图，直四棱柱的底面是菱形，
分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
26. (2022高考全国卷甲)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
五、综合提升练
27. 在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
28. （2022届河北省唐山市高三二模）如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，B，C到的距离分别为，1，2，则（ ）
A．平面B．平面平面
C．直线与所成角比直线与所成角大D．正方体的棱长为
29. 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______．
30. （2022届甘肃省酒泉市高三5月联考）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．
第32练 直线、平面平行的判断与性质
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P143习题8.5T1（2）变式）．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
【答案】D
【解析】过直线与点的平面有且只有一个,记该平面为.又因直线平面，点平面
所以过点且平行于直线的直线只有一条，且这条线为平面与平面的相交线.故选D.
2.（人A选择性必修二P143习题8.5T12变式）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能
【答案】B
【解析】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.
3. （人A选择性必修二P143习题8.5T13变式）如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
【答案】
【解析】连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，又，∴.
4. （人A选择性必修二P143习题8.5T5变式）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
求证：AF平面BDE；
【解析】证明：取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，
∴FGDC且FG＝CD，又AECD且CD＝2AE，
∴AEFG且AE＝FG，即四边形AFGE为平行四边形，
∴AFEG，又面BDE，面BDE，
∴AF平面BDE.
二、考点分类练
(一)线性平行
5. （2022届云南师范大学附属中学高三适应性月考）若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，
D．，，
【答案】A
【解析】对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；
对于B，如图，，可能异面，故B错误；
对于C，如图，，可能相交，故C错误；
对于D，如图，可能相交，故D错误.
故选A．
6. 正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是______．
【答案】平行
【解析】根据正方体的几何性质可知，由于平面,平面,所以平面，由于平面，平面平面，所以.
7. 如图，直三棱柱中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
【解析】证明：如图，在直三棱锥中，因为平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，所以.
(二)线面平行
8．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【解析】如图所示，
作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D．
9. 已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过作交延长线于，则，若为中点，连接，
而M为的中点，在长方体中，而且面，
由面，则面，由面，则面，
所以面即为平面，延长交于，
易知：为中点，则且，又且，
故为平行四边形，则且，故共面，
连接，即面为平面截长方体所得截面，
延长分别交于一点，而在中都为中位线，
由，，则，故交于同一点，
易知：△为等腰三角形且，，则，可得，又.故选A
10. （2022届四川省名校联盟高三下学期联考）如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点.
(1)证明：平面MEF；
(2)若平面PDE⊥平面BCED，求四棱锥P－BCED的体积.
【解析】 (1)证明：连接DF，DC，设DC与EF交于点Q，连接MQ.
∵D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴∥,且DE＝FC，
∴四边形DFCE为平行四边形，∴Q为DC的中点，
∵M为DP的中点，∴，
又∵平面MEF，平面MEF，∴∥平面MEF.
(2)取DE的中点O，连接OP，OF，则PO⊥DE，
∵平面PDE⊥平面BCED，平面平面BCED＝DE，
∴PO⊥平面BCED.
依题意可得，△PDE为正三角形，且DE＝2，则，
又∵四边形BCED的面积，
∴.
(三)面面平行
11. 以下条件能够判断平面与平面平行的是（ ）
A．平面内有两条直线与平面平行
B．两不同平面，平行于同一个平面
C．平面内的任意一条直线与平面无公共点
D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等
【答案】BC
【解析】对于选项，由面面平行的判定定理可知，若平面内有两条相交直线与平面平行，则平面与平面平行，则不正确；
对于选项,平行于同一个平面的两个平面平行，则正确；
对于选项,两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面内的任意一条直线与平面无公共点，则平面与平面无公共点，即平面与平面平行，则正确；
对于选项,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则不正确．故选.
12. （2022届湖南师范大学附中高三下学期5月三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.
【答案】
【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，
为等边三角形，，，，
，，，
设，由得：，
整理可得：，
动点的轨迹是以为球心，为半径的球；
延长到点，使得，，，
则，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面为平面，
则点到平面的距离即为点到直线的距离，
，，，即，
点到直线的距离，
截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，
即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.
13. （2022届四川省大数据精准教学联盟高三下学期第二次统一监测）如图，在直棱柱中，点D，E，F分别为的中点，线段与线段交于点G．
(1)求证：平面∥平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【解析】 (1)证明：连接DE，因为在三棱柱中，D、E分别为AB，的中点，所以DE∥，且DE=，则四边形是平行四边形，
故∥DC，
又平面，平面，
所以∥平面，
因为在三棱柱中，D、E分别为AB，的中点，
所以∥AD，且=AD，四边形是平行四边形，
所以EA∥，
又平面，平面，
所以EA∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面；
(2)连接，因为
所以，
过点G作GH⊥AC于点H，连接DF，则GH⊥平面，
因为D，F是AB，BC的中点，
所以，且DF∥AC，
所以，其中，
所以，因为△CGH是等腰直角三角形，
所以，
，故三棱锥的体积为
三、最新模拟练
14.（2022届浙江省嘉兴市海宁中学高三下学期押题卷） 已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；
对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；
对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立.故选C正确；
对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误.故选C
15. （2022届广东省广州市天河区高三综合测试）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面
B．直线与直线异面
C．直线平面
D．直线平面
【答案】B
【解析】由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；
由，平面，平面，则直线平面，C正确；
平面，平面，则直线平面，D正确.故选B.
16. （多选）（2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
【答案】BD
【解析】对A，如图，根据正方体的性质有且，故平行四边形，故，故当且仅当在点时才有，故A错误；
对B，如图，由正方体的性质可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，故，故B正确；
对C，当在时，，故平面不成立，故C错误；
对D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正确；故选BD
17. （多选）（2022届河北省邯郸市高三一模）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则（ ）
A．平面EGHFB．平面ABC
C．平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点
【答案】AD
【解析】因为，所以.
又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则.
易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误.
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，
所以平面ABC，平面ACD，
则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确.故选AD
18. （2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
【答案】2
【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故.同理，，所以四边形的周长为2.
19. （2022届河南省洛阳市新安县高三考前模拟）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________．
【答案】
【解析】根据题意，在平面内，过点作分别交于，
在平面内，过作交于，
在平面内，过作交于，连接，作图如下，
因为，则，
所以∽，设其相似比为，
则，
因为，所以在中，，
因为，所以，即，
因为，则，
所以，，即，
因为，
所以，即，
同理∽，即，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，
所以平面，平面，
因为平面，
所以，
因为
所以
因为，所以∽，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形是矩形，即，
所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.
20. （2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面平面，证明：；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
【解析】 (1)因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH.
∵平面PBC，平面平面，∴.
(2)∵圆锥的母线长为，，∴，，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
，为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为，
则，令，
则
所以当时，即时，最大，亦最大，此时，
所以.
21. （2022届江苏省泰州市高三下学期第四次调研测试）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．
(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．
【解析】 (1)取中点，连接，，为的中点，
所以，且，又因为为的中点，，
且，所以，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，
平面，所以平面．
(2)如图建立空间直角坐标系，
所以，，设，，，
设平面的一个法向量，
所以，所以，
所以，
平面的一个法向量为，
所以，整理得
，所以，所以，即．
22. （2022届安徽省卓越县中联盟高三下学期第二次联考）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点
(1)求证：平面平面；
(2)求点C到平面的距离.
【解析】 (1)在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，因为，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
同理，，又平面，平面，
所以平面.又平面，
所以平面平面.
(2)如图所示，连接，
因为正方体的棱长为2，
所以，
所以，.
设点C到平面的距离为d.
由，得，
即，解得，故点C到平面的距离为.
四、高考真题练
23. （2022高考全国卷乙）在正方体中,E,F分别为的中点,则（）
A. 平面平面B. 平面平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】A
【解析】在正方体中,且平面,平面,所以,因为分别为的中点,所以,所以,又,所以平面,又平面,所以平面平面,故A正确；
对于选项B,如图所示,设,,则为平面与平面的交线,在内,作于点,在内,作,交于点,连结,则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角,
由勾股定理可知：,,
底面正方形中,为中点,则,
由勾股定理可得,
从而有：,
据此可得,即,
据此可得平面平面不成立,选项B错误；
对于选项C,取的中点,则,
由于与平面相交,故平面平面不成立,选项C错误；
对于选项D,取的中点,很明显四边形为平行四边形,则,
由于与平面相交,故平面平面不成立,选项D错误；故选A
24. (2019高考全国卷甲)设、为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B.
25. (2019年高考全国卷乙)如图，直四棱柱的底面是菱形，
分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）连结．因为分别为的中点，所以，且．
又因为为的中点，所以．由题设知，可得，故，
因此四边形为平行四边形，．又平面，所以平面．
（2）由已知可得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．
设为平面的法向量，则，所以可取．
设为平面的法向量，则所以可取．
于是，所以二面角的正弦值为．
26. (2022高考全国卷甲)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】如图所示,分别取的中点,连接,因为为全等的正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,同理可得平面,根据线面垂直的性质定理可知,而,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面．
（2）如图所示,分别取中点,由（1）知,且,同理有,,,,由平面知识可知,,,,所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为,,点到平面的距离即为点到直线的距离,,所以该几何体的体积．
五、综合提升练
27. 在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
【答案】D
【解析】对于A，假设存在，使得平面，如图1所示，
因为平面，平面平面，故，但在平面内，是相交的，故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误.
对于B，如图2，
取的中点分别为，连接，
因为为等边三角形，故，
因为，故
所以均为等边三角形，故，，
因为，，，故共线，
所以，因为，故平面，
而平面，故平面平面，
若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以，
此时，这与矛盾，故B错误.
对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接）
因为，所以为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，故，所以，
而，故平面，因平面，故.
因为，所以.
在中，，
在中，，故C错.
对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接），
作在底面上的射影，则在上.
因为，所以且，所以其.
又
，
令，则，
当时，；当时，.
所以在为增函数，在为减函数，
故.故D正确.故选D.
28. （2022届河北省唐山市高三二模）如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，B，C到的距离分别为，1，2，则（ ）
A．平面B．平面平面
C．直线与所成角比直线与所成角大D．正方体的棱长为
【答案】BD
【解析】因为B，C到的距离分别为1，2，显然不相等，
所以BC不可能与平面平行，因此选项A不正确；
设的交点为，显然是的中点，
因为平面， C到的距离为2，
所以O到的距离分别为1，而B到的距离为1，
因此，即，设平面，
所以，
因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，
所以，因为平面，
所以平面，因此有平面，而，
所以平面平面，因此选项B正确；
设到平面的距离为，
因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为，1，
所以有，
设正方体的棱长为，
设直线与所成角为，所以，
设直线与所成角为，所以，
因为，所以，因此选项C不正确；
因为平面平面，平面平面，
所以在平面的射影与共线，
显然，如图所示：
由，
，
由（负值舍去），
因此选项D正确，故选BD
29. 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______．
【答案】#
【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
则根据向量加法法则易知，，
即，则．
根据共面向量定理的推论知，，其中x＋y＋z＝1．
连接BD，
∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD，
设，则，又G为PC的中点，
∴，
则，，解得，
AB=2，BD=2×ABsin60°=，则．
连接AG，∵PA＝AC＝4，G为PC的中点，故．
易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，
又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，
因此．
故答案为：．
解法二：连接BD，设AC与BD交于点K，连接AG、PK，设AG与PK交于点L，
由题易得BD∥EF，则，
作KN∥AG交PC于N，易知CK＝3AK，则CN＝3GN，从而PG＝4GN，
故，即．以下解法同上．
30. （2022届甘肃省酒泉市高三5月联考）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．
【解析】 (1)证明：如下图，取的中点，取上一点，使得，连接，，．
因为，分别为，的中点，所以，．
又，，所以，．
因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
(2)如下图，作交于点．
又平面平面，且平面平面，
所以平面．因为，，
所以．又，所以四边形为矩形，
所以，取的中点，连接，
则，，
所以，所以，
所以．