高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第37练椭圆(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第37练椭圆(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A选择性必修一P115习题3.1T6变式）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2.（人A选择性必修一P115习题3.1T5变式）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A．B．C．D．3
3.（人A选择性必修一P115习题3.1T12变式）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．
4. （人A选择性必修一P115习题3.1T4变式）已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．
二、考点分类练
(一)椭圆的定义
5. （2022届湖南省湘潭市高三下学期三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(二)椭圆的方程
7．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8. （2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
(三)椭圆的几何性质
9. （2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10. （2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期冲刺卷）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
11. 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
(四)定点定值及最值问题
12. （2022届天津市部分区高三上学期期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
13. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.
14.（2023届安徽省十校联考高三上学期第一次教学质量检测） 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.
三、最新模拟练
15. （2022届上海市位育中学高三冲刺）已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16. （2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
17.（多选）（2023届云南省昆明市五华区高三上学期8月质量检测） 椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．C的离心率为
B．
C．的周长为18
D．设的面积为，的面积为，则
18. （2022届四川省泸县第五中学高三下学期适应性考试）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．
19. （2023届浙江省杭州市桐庐中学高三阶段性测试）如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
20. （2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
21. （2023届广东省六校高三上学期第一次联考）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.
22. （2022届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.
四、高考真题练
23.(2022高考全国卷甲) 椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称．若直线的斜率之积为,则C的离心率为（）
A. B. C. D.
24. （2022新高考全国卷1）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．
25. （2022新高考全国卷2）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．
26. （2022高考全国卷乙）已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足．证明：直线HN过定点．
五、综合提升练
27. 已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
28. （多选）（2022届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为e，点A、B、P在椭圆E上，且满足(其中O为坐标原点)，则下列说法正确的是( )
A．若是等腰直角三角形，则
B．的取值范围是
C．直线过定点(定点坐标与a，b有关)
D．为定值(定值与a，b有关)
29. （2023届四川省成都市高三摸底测试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
30. （2022届上海市徐汇区高三下学期三模）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.
第37练 椭圆
一、课本变式练
1.（人A选择性必修一P115习题3.1T6变式）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．
故选C．
2.（人A选择性必修一P115习题3.1T5变式）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选C.
3.（人A选择性必修一P115习题3.1T12变式）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．
【答案】
【解析】由题意，即为一个短轴端点到一个焦点的距离
4. （人A选择性必修一P115习题3.1T4变式）已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．
【答案】
【解析】由题意，设椭圆的方程为，由题可知，解得，
椭圆的方程为.
二、考点分类练
(一)椭圆的定义
5. （2022届湖南省湘潭市高三下学期三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，
则，所以，则椭圆的离心率为.故选A.
6. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.故选C
(二)椭圆的方程
7．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，又点M在椭圆C上，则有，解得，又椭圆C的右焦点为，则，结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.故选A
8. （2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
【解析】 (1)由题知：，解得.
所以的方程为．
(2)当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．
当的斜率存在时，设，，．
因为与圆相切，则到的距离为，所以．
联立方程，得，
则，可得的中点为．
则MN的中垂线方程为，即．
因此到中垂线的距离为
（当且仅当，时等号成立）．
综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．
(三)椭圆的几何性质
9. （2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，
故选A.
10. （2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期冲刺卷）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
【答案】ABC
【解析】由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
故C正确；
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大. 此时
故D不成立.故选ABC．
11. 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
【答案】(，]
【解析】设，由，知，因为，在椭圆上，，
所以四边形为矩形，；
由，可得1，
由椭圆的定义可得， ①，
平方相减可得②，
由①②得；
令t，令，
所以，即，
所以，
所以，
所以，解得.
(四)定点定值及最值问题
12. （2022届天津市部分区高三上学期期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
【解析】 (1)依题意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线的斜率
∴直线的斜率，令得点坐标为，
∴直线的方程为，即
∴直线恒过定点.
13. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，下顶点为A，右顶点为B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点的直线交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：为定值.
【解析】 (1)依题意，b=1， ，解得 ，
椭圆C的方程为： ；
(2)依题意作下图：
设 ，直线l的方程为 ，
将点(2,-1)代入得：m=-2k-1， 直线l：y=kx-(2k+1)；
由于椭圆C：，∴A（0，-1），B（2,0），
联立方程 ，得 ，
， ，
直线AB的方程为：x-2y-2=0，
直线BQ的方程为： ，
， ，
运用 …①易证得： …②，
下面证明②：
，
运用①中的韦达定理：
=0，
即②成立，
∴ ，即点E和P的纵坐标之和等于D点纵坐标的2倍，
∴D点是线段EP的中点，即 ；
综上，椭圆C的方程为：，，故为定值.
14.（2023届安徽省十校联考高三上学期第一次教学质量检测） 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.
【解析】（1）由题意可得，直线恒过定点，
因为为的中点， 所以， 即.
因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设.
由得 恒成立，
则，
则
又因为点到直线的距离，
所以
令， 则，
因为，时，，在上单调递增，
所以当时，时，故.
即S的最大值为 .
三、最新模拟练
15. （2022届上海市位育中学高三冲刺）已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题设有，故
，而，故，同理，，
若 成等差数列，则，故，
若，则即，
故 成等差数列，
故“ 成等差数列” 是 “”的充要条件，故选C
16. （2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，，∵C，D分别是线段的两个三等分点，∴，，则，得，
利用点差法，由两式相减得，
整理得到，即，所以.故选C．
17.（多选）（2023届云南省昆明市五华区高三上学期8月质量检测） 椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．C的离心率为
B．
C．的周长为18
D．设的面积为，的面积为，则
【答案】ABCD
【解析】如图所示：
设，联立，得，
解得，，则，所以，
因为直线与直线的斜率之积为，所以，即，
则，所以，，
则，
，，
所以，，则，
故选ABCD
18. （2022届四川省泸县第五中学高三下学期适应性考试）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．
【答案】6
【解析】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，解得，则，故短轴长为.
19. （2023届浙江省杭州市桐庐中学高三阶段性测试）如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
20. （2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于两点，过点作，垂足为C点，直线AC与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）由已知得，解得，所以．
（2）由已知，不妨设，则，，
所以，，所以，
代入椭圆的方程得：，
设，则，即，
所以，即，
所以，即，
即，也即为定值．
21. （2023届广东省六校高三上学期第一次联考）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）椭圆经过点，,
椭圆的离心率为，则，即,
即，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为，
则 ，则不妨取，故，
解得 ，故方程为，
直线过中点，即为轴，得，，
故；
直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则①，
②， ③，
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
将②③两式代入，整理得，
即④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，
不妨设，得，
又∵，∴，
又由，则点坐标为，
化简可得，代回椭圆方程可得即，
则，
综上，四边形面积的最大值为.
22. （2022届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知椭圆：经过点，离心率为，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)设，分别为的左、右顶点，为上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：，，三点共线.
【解析】 (1)由题意，得，，
又因为，所以，，
故椭圆的方程为
(2)证明：，，
设，则，
所以直线的方程为，
令，得点的坐标为，
设，由，得显然，
直线的方程为，
将代入，得，即，
故直线的斜率存在，
且
又因为直线的斜率，
所以，即，，三点共线．
四、高考真题练
23.(2022高考全国卷甲) 椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称．若直线的斜率之积为,则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,设,则,则,
故,又,则,
所以,即,所以椭圆的离心率.故选A.
24. （2022新高考全国卷1）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴C的方程可化为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,直线的方程：,代入椭圆方程,整理化简得,
∴,
∴ , 得, ∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得周长为.
25. （2022新高考全国卷2）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．
【答案】
【解析】解法一：设的中点为,因为,所以,
设,,则,,
所以,即
所以,即,设直线,,,
令得,令得,即,,所以,
即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直线,即
解法二： ,设的中点为,则 ,设,,
则,,
所以,即
所以,即,所以,由得,两式联立解得,所以所以直线AB方程为,即
26. （2022高考全国卷乙）已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足．证明：直线HN过定点．
【解析】（1）设椭圆E的方程为,过,
则,解得,,
所以椭圆E方程为：.
（2）,所以,
①若过点的直线斜率不存在,直线.代入,
可得,,代入AB方程,可得
,由得到.求得HN方程：
,过点.
②若过点的直线斜率存在,设.
联立得,
可得,,
且
联立可得
可求得此时,
将,代入整理得,
将代入,得
显然成立,
综上,可得直线HN过定点
五、综合提升练
27. 已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程，知，
，设右焦点为，即
设,，
由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为
由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，
所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，
联立方程，消去x得：
由韦达定理得，，
令，则，，则
，当且仅当，即时，等号成立，
故三角形ABF面积最大值为，故选A
28. （多选）（2022届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为e，点A、B、P在椭圆E上，且满足(其中O为坐标原点)，则下列说法正确的是( )
A．若是等腰直角三角形，则
B．的取值范围是
C．直线过定点(定点坐标与a，b有关)
D．为定值(定值与a，b有关)
【答案】BD
【解析】对于A，若是等腰直角三角形，则当为斜边时，离心率；
当为直角边时，，离心率，故错误；
对于B，
，
，，
，故B正确；
对于C，易知存在两条平行直线：和使得，故直线不经过定点，故C错误；
∵，故，
则，
∵，不妨设，
则，，
则，
因为A在椭圆上，则，则，
同理可得：，
则为定值，则也为定值，故D正确．故选BD．
29. （2023届四川省成都市高三摸底测试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．
故半径,即 ，且.
又离心率，
因为，结合题意有，
设，则，易得对勾函数在上单调递增，
故在上单调递增，
故，即
30. （2022届上海市徐汇区高三下学期三模）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.
【解析】 (1)由题意得：焦距为，得，
点坐标代入椭圆方程得：，
，解得：，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)设直线的方程为，由
消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为.
(3)设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
由，及①，代入可得，
又，所以，所以，
同理可得.
故，，
因为､､三点共线，所以.
将点，的坐标代入，通分化简得，即.