高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第39练抛物线(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第39练抛物线(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A选择性必修一P133练习T2变式）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2.（人A选择性必修一P133练习T3变式）已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
3.（人A选择性必修一P138习题3.3T4变式）（多选）经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4.（人A选择性必修一P138习题3.3T2（1）变式）已知抛物线的准线方程为，则实数_________．
二、考点分类练
(一)抛物线的方程与性质
5. （2023届辽宁省鞍山市高三上学期质量监测）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6. （多选）（2023届福建省三明第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
7. （2023届海市宝山区高三上学期10月教学质量检测）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.
(二)抛物线定义及应用
8．（2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期第三次月考）已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．12B．9C．6D．3
9. （多选）（2023届湖南省湘潭市第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
10. （2022届辽宁省沈阳市五校协作体高三联考）已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______．
(三)抛物线中的长度与面积问题
11. （2023届贵州省贵阳第一中学高三月考）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
12. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
13. 已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得为常数．
(四)抛物线中的定点定值及范围问题
14. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
15. 已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
16. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
三、最新模拟练
17. （2022届云南省玉溪市民族中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
18. （2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月模块诊断）已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
19. （多选）（2023届河北省衡水市部分学校高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点.过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线，与x轴交于点D，则（ ）
A．当时，B．若，P是抛物线上一个动点，则的最小值为2
C．D．若点Q不在坐标轴上，直线AB的倾斜角为，则
20. （2023届江苏省南通市通州区高三上学期期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
21. （2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
22. （2022届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
四、高考真题练
23．(2021新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
24.（多选）(2022新高考全国II卷)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C
交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
25．（多选）(2022新高考全国I卷)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
26．(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一
点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
五、综合提升练
27. 已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
28.（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（ ）
A．
B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若，不是线段的三等分点，则一定有
D．若，不是线段的三等分点，则一定有
29. （2023届四川省成都市第七中学高三上学期第三次质量检测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
30.抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.
第39练 抛物线
一、课本变式练
1.（人A选择性必修一P133练习T2变式）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程是.故选D
2.（人A选择性必修一P133练习T3变式）已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：抛物线：的准线方程为，由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于.故选B
3.（人A选择性必修一P138习题3.3T4变式）（多选）经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.
故选AC．
4.（人A选择性必修一P138习题3.3T2（1）变式）已知抛物线的准线方程为，则实数_________．
【答案】
【解析】由可得，则其准线为：，得.
二、考点分类练
(一)抛物线的方程与性质
5. （2023届辽宁省鞍山市高三上学期质量监测）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，故选C
6. （多选）（2023届福建省三明第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
【答案】ACD
【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确，故选ACD．
7. （2023届海市宝山区高三上学期10月教学质量检测）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.
【答案】
【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，
将A（6，-3）代入，
得，∴，代入B得，
故水面宽为米，
(二)抛物线定义及应用
8．（2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期第三次月考）已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】C
【解析】因为在抛物线上，所以，即，所以，
设，
由得，
所以，即，
根据抛物线的定义可得
.故选C.
9. （多选）（2023届湖南省湘潭市第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
【答案】AC
【解析】由题可知,由，，所以，.
，故选AC．
10. （2022届辽宁省沈阳市五校协作体高三联考）已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意可得：抛物线的焦点，准线，
过点P作准线的垂线，垂足为D，则有，
∴的最小值为.
(三)抛物线中的长度与面积问题
11. （2023届贵州省贵阳第一中学高三月考）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【解析】由可得抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线焦半径公式知，将代入，可得，所以的面积为，故选A．
12. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
【解析】（1）解：因为点在抛物线上，所以，即，则，
所以抛物线方程为，则其焦点坐标为，准线方程为；
（2）解：设点，，因为的中点为，所以，，
所以，则，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，所以，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．
13. 已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得为常数．
【解析】（1）设N（x,y）为C上的点，则，
N到直线的距离为．
由题设得，
化简，得曲线C的方程为．
（2）设，
明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,kx＋k），从而．
在Rt△QMA中，
因为，
．
所以，
∴，
．
当k＝2时，，
从而所求直线l方程为2x−y＋2＝0，使得为常数
(四)抛物线中的定点定值及范围问题
14. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由题可知动圆圆心到定点的距离与定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以动圆圆心的轨迹方程为；
（2）设，由题意得(否则)，且，
由题意知直线的斜率存在，从而设的方程为，显然，
将与联立消去，得，
由韦达定理知，，
因为为定值，
当时，
，
所以，
所以直线的方程为，即，
所以直线恒过定点，
当时，则，可得，直线的方程为，恒过定点，
综上，当时，直线恒过定点，当时，直线恒过定点.
15. 已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，
椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，
，解得，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，
联立，消去，得，
由，得，
直线，的斜率分别为，，，
为定值．
16. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]最优解
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以，且，
因此直线在x轴上的截距为．
三、最新模拟练
17. （2022届云南省玉溪市民族中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点，
因为，所以．
过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知，
所以，则，所以．故选C
18. （2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月模块诊断）已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】设，因为：，故，故切线的方程为，即，故.又由抛物线的定义可得，且，故，故，故直线的倾斜角为.所以，即，故.
所以直线的斜率为.故选C
19. （多选）（2023届河北省衡水市部分学校高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点.过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线，与x轴交于点D，则（ ）
A．当时，B．若，P是抛物线上一个动点，则的最小值为2
C．D．若点Q不在坐标轴上，直线AB的倾斜角为，则
【答案】ACD
【解析】设，，直线AB为，则整理得，，，.
当时，则，故，，∴，故，∴，故A正确；
M到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，当P的纵坐标为1时，的最小值是，故B错误；
不妨设A在第一象限，B在第四象限，则，，，则点A处切线斜率，，，则点B处切线斜率，所以，又因为，所以，所以，故C正确；
不妨设A在第一象限，B在第四象限，记直线AD与直线BD的倾斜角为，，
，因为直线AB倾斜角为，则，故，故D正确.故选ACD
20. （2023届江苏省南通市通州区高三上学期期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】由已知，，.如图，设点，则，
，
在中，有，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，.所以，的取值范围是.
21. （2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）设，则，∴，
由抛物线的定义得，
解得或，
因为，所以（舍去）
所以C的标准方程为．
（2）设，，，，由题可知l的斜率不为零，
设l：，代入抛物线方程消去x，得，
从而，①，
点F到直线PA与直线PB的距离相等，可得，故，
，
得，
将①代入得，于是得，
因此存在符合条件的点P，且P点坐标为.
22. （2022届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由题意得：，由抛物线定义可知：此时，
过点F作FD⊥PQ于点D，由三线合一得：D为PQ中点，
且，可得：
所以抛物线方程为
（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，
设，由得：直线斜率为，则可设直线：，
整理得：，联立得：
，
设，
则，
则，
由得直线OQ：，
联立直线OQ与直线l得：，
从而，可得：，解得：.
四、高考真题练
23．(2021新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
24.（多选）(2022新高考全国II卷)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C
交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，又，则，D正确．
故选ACD．
25．（多选）(2022新高考全国I卷)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确．故选BCD
26．(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一
点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
【解析】不妨设
因为，所以的准线方程为,故答案为．
五、综合提升练
27. 已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据抛物线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，
而，所以.
综上：的最大值为.故选B.
28.（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（ ）
A．
B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若，不是线段的三等分点，则一定有
D．若，不是线段的三等分点，则一定有
【答案】AB
【解析】抛物线的焦点为，准线
设直线方程为，，，
联立，消去y得，
由韦达定理得：，，
∴，，直线方程为，
对于A，∵共线，∴，，同理，
，，
∴，即，故A正确；
对于B，若P，Q是线段的三等分点，则，，即，
又，，
∴，∴，又，解得：，故B正确；
对于C，由得，，
，，∴，
又，∴，
当时，，故C错；
对于D，由图可知，而，只要，就有，故D错．
故选：AB．
29. （2023届四川省成都市第七中学高三上学期第三次质量检测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
【答案】4
【解析】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程为，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，
故，
由抛物线方程，可得函数与函数，则与
不妨设在第一象限，则，即，且，
由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，
由，则，
综上可得，解得，故.
30.抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.
【解析】（1）由对称性可知：，
设，由焦半径可得：，
，
解得：
圆的方程为：
（2）由题意得：直线的斜率一定存在，其中，
设关于直线的对称点为，
则，解得：，
联立与得：，
设，
则，
则，
则
，
解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，
所以
，