高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第45练二项分布与正态分布(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第45练二项分布与正态分布(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A选择性必修三P87习题7.5T2变式）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.6B．0.4C．0.2D．0.9
2.（人A选择性必修三P87习题7.5T3变式）随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（ ）
附：
A．0.8186B．0.4772C．0.84D．0.9759
3.（人A选择性必修三P76练习T1变式）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
4.（人A选择性必修三P80习题7.4T1变式）某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
二、考点分类练
(一)二项分布
5. 设，其中，且，那么（ ）
A．B．C．D．
6. 2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7. （多选）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
8. （2023届黑龙江省大庆铁人中学2高三上学期月考）已知随机变量，，且，，则______.
9. 某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
10．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
(二)正态分布
11．（2023届江苏省徐州市高三上学期期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185B．0.84C．0.954D．0.9755
12. （2023届四川省南江中学高三上学期12月阶段考）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ）
[附：若，则，
．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
13. （多选）（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）试题）已知，则．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩，乙校成绩，则（ ）
A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校
B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校
C．甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同
D．甲校成绩在85~95分与乙校成绩在90~100分的人数占比相同
14. （2023届河北省高三上学期省级联测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.（附：若，则，，）
15.（2023届福建省福州延安中学高三上学期12月检测） 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
16. 2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
三、最新模拟练
17．（2023届江苏省南京市高三上学期期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.5B．0.625C．0.75D．0.875
18. （2023届上海市华东师范大学第二附中高三上学期期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
19. （多选）（2023届广东省广州市高三上学期12月月考）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准偏差为，深度的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．不是孤立点D．是孤立点
20. （多选）（2022届湖北省襄阳市高三下学期考试）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
21. （2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期10月月考）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
22. （2023届北京市高三“极光杯”跨年线上测试）设随机变量，，，则______.
23. （2023届广东省广州市高三一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
24. （2022届辽宁省大连市高考最后一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
25. （2023届广东省东莞市高三上学期期末）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；
(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
四、高考真题练
26．(2022新高考全国 = 2 \* ROMAN II卷) 已知随机变量X服从正态分布,且,则____________．
五、综合提升练
27. 已知随机变量的分布服从，记，记在上的最大值为，若正整数，满足，则和的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
28. （多选）已知随机变量服从，若，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
29. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
30. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．
①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队 ，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值．
参考数据：．概率
P(μ－σ≤X＜μ＋σ)
P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)
P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)
近似值
0.6827
0.9545
0.9973
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.4
15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4
20
12
13
15
16
14
12
18
第45练 二项分布与正态分布
一、课本变式练
1.（人A选择性必修三P87习题7.5T2变式）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.6B．0.4C．0.2D．0.9
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，故选A.
2.（人A选择性必修三P87习题7.5T3变式）随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（ ）
附：
A．0.8186B．0.4772C．0.84D．0.9759
【答案】A
【解析】由题意可得：
∴，故选A.
3.（人A选择性必修三P76练习T1变式）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，所以，故选D
4.（人A选择性必修三P80习题7.4T1变式）某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
【答案】
【解析】某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，所以
二、考点分类练
(一)二项分布
5. 设，其中，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得，即，
解得或（舍去），故.故选D
6. 2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
7. （多选）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】设，依题意，，对于A选项，，A对；
对于B选项，，由二项式系数的性质可知中，最大，则，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选ABD.
8. （2023届黑龙江省大庆铁人中学2高三上学期月考）已知随机变量，，且，，则______.
【答案】
【解析】由题意，，，，
又，故，即，解得.
9. 某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【解析】（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
10．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【解析】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，
36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，，
，
所以.
（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，
由，得.
所以理论上至少要进行12轮测试.
(二)正态分布
11．（2023届江苏省徐州市高三上学期期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185B．0.84C．0.954D．0.9755
【答案】A
【解析】由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.故选A.
12. （2023届四川省南江中学高三上学期12月阶段考）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ）
[附：若，则，
．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
【答案】A
【解析】使在R上单调递增的充要条件是，即，故.
由于随机变量，则，即，即，.
故，
，
所以
．故选A．
13. （多选）（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）试题）已知，则．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩，乙校成绩，则（ ）
A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校
B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校
C．甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同
D．甲校成绩在85~95分与乙校成绩在90~100分的人数占比相同
【答案】AB
【解析】当时，，当时，，
由标准正态分布可知，故A正确；
当时，，当时，，
所以，故B正确；
由于甲乙学校成绩在90~95分的转化为标准正态分布对应概率分别为，，由正态分布对称性知，，甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比不同，故C错误；
由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校对应概率小于乙校对应概率，故D错误.故选AB
14. （2023届河北省高三上学期省级联测）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.（附：若，则，，）
【答案】0.00135
【解析】又，则，
随机变量服从正态分布，且，
即，所以，即，，即，
所以，所以.
故答案为：0.00135.
15.（2023届福建省福州延安中学高三上学期12月检测） 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
【解析】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）
解：参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为，，，
所以，，.
所以的分布列为
∴.
（3）解：由（1）知，，
所以.
得分高于77分的人数最有可能是.
16. 2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【解析】（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
三、最新模拟练
17．（2023届江苏省南京市高三上学期期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.5B．0.625C．0.75D．0.875
【答案】C
【解析】因为，并且
又因为，所以，所以
所以，所以，故选C
18. （2023届上海市华东师范大学第二附中高三上学期期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】C
【解析】由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，
；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，
；
故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，
．
故C正确，D错误．故选C．
19. （多选）（2023届广东省广州市高三上学期12月月考）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准偏差为，深度的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．不是孤立点D．是孤立点
【答案】BC
【解析】由表可知，A错误；
，B正确；
所以，
因为，所以，
则，，
所以、不是孤立点，C正确，D错误；故选BC
20. （多选）（2022届湖北省襄阳市高三下学期考试）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【解析】对于A，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，则，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；
对于C，显然，则有，解得，C正确；
对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，
于是有，又，从而得，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.
故选ACD
21. （2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期10月月考）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
【答案】1359
【解析】根据题意可知，，所以，，所以，所以株高在的约有株.
22. （2023届北京市高三“极光杯”跨年线上测试）设随机变量，，，则______.
【答案】
【解析】由于随机变量，所以概率分布关于对称，
且，
所以，解得.
23. （2023届广东省广州市高三一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
【解析】（1）因为三个社区的居民人数之比为，
设三个社区的居民人数为，
所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率.
（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，
所以，由（1）知，，
所以，
因为随机变量服从正态分布，且关于对称，
所以，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
.
24. （2022届辽宁省大连市高考最后一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【解析】（1）
估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）
∵，
∴.
（3）
由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
25. （2023届广东省东莞市高三上学期期末）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；
(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
【解析】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），
则，
即，则，即，则，
又，故，
所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.
（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），
记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
四、高考真题练
26．(2022新高考全国 = 2 \* ROMAN II卷) 已知随机变量X服从正态分布,且,则____________．
【答案】．
【解析】因为,所以,因此．
五、综合提升练
27. 已知随机变量的分布服从，记，记在上的最大值为，若正整数，满足，则和的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】B
【解析】，
，
设，，，
当时，，故，
当时，，，，故，
所以在上递增，所以.
故，所以，故选B.
28. （多选）已知随机变量服从，若，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
【答案】BCD
【解析】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误；
对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥，
，选项B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，
由得，即，
因为，所以且，又，
即时，概率最大，故选项D正确．故选BCD
29. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
【答案】②④
【解析】因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为②④.
30. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．
①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队 ，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值．
参考数据：．
【解析】（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，得，．
（2）①，
，
．
②记，
则，
当时，，单增；
当时，，单减；
当时，取得最大值，即取得最大值．
在团体提出的函数模型中，
记函数，，
当时，，单增；
当时，，单减．
当时，取得最大值，则不可以估计．
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则是的最大似然估计．
概率
P(μ－σ≤X＜μ＋σ)
P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)
P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)
近似值
0.6827
0.9545
0.9973
0
1
2
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.4
15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4
20
12
13
15
16
14
12
18